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Theorem lincsumcl 30977
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lincsumcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumcl
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
41, 2, 3lcoval 30958 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( C  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
51, 2, 3lcoval 30958 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
64, 5anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  <->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
7 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M )
)
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M
) )
10 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M )
)
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M
) )
12 lincsumcl.b . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  M )
131, 12lmodvacl 16974 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( C  .+  D )  e.  (
Base `  M )
)
147, 9, 11, 13syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
) )
152lmodfgrp 16969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
16 grpmnd 15562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  M )  e.  Grp  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
(Scalar `  M )  e.  Mnd )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  (Scalar `  M )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  M )
)
273, 26ofaddmndmap 30746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )  ->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2819, 21, 25, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2917anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
(Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
31 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3432, 33anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )
363mndpfsupp 30802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
3730, 25, 35, 36syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
38 oveq12 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
3938expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  =  ( x ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4241com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y ( linC  `  M
) V )  .+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( linC  `  M ) V )  =  ( y ( linC  `  M
) V )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( linC  `  M ) V )  =  ( x ( linC  `  M
) V )
5112, 49, 50, 2, 3, 26lincsum 30975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5248, 25, 35, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5347, 52eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
54 breq1 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  <->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) ) )
55 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s
( linC  `  M ) V )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5655eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V )  <-> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )
5754, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( (
s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) )  <->  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) ) )
5857rspcev 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( (
y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
5928, 37, 53, 58syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  E. s  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
6059exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6160rexlimiva 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6261expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  e.  ( Base `  M
)  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) ) )
6362impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6463com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6564rexlimiva 2848 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6766impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
691, 2, 3lcoval 30958 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7114, 68, 70mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
736, 72sylbid 215 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7473imp 429 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728   ~Pcpw 3872   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330    ^m cmap 7226   finSupp cfsupp 7632   Basecbs 14186   +g cplusg 14250  Scalarcsca 14253   0gc0g 14390   Mndcmnd 15421   Grpcgrp 15422   LModclmod 16960   linC clinc 30950   LinCo clinco 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-linc 30952  df-lco 30953
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  30979
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