Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsumcl Structured version   Unicode version

Theorem lincsumcl 32767
 Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lincsumcl.b
Assertion
Ref Expression
lincsumcl LinCo LinCo LinCo

Proof of Theorem lincsumcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5
2 eqid 2443 . . . . 5 Scalar Scalar
3 eqid 2443 . . . . 5 Scalar Scalar
41, 2, 3lcoval 32748 . . . 4 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
51, 2, 3lcoval 32748 . . . 4 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
64, 5anbi12d 710 . . 3 LinCo LinCo Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
7 simpll 753 . . . . . 6 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
8 simpll 753 . . . . . . 7 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
98adantl 466 . . . . . 6 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
10 simprl 756 . . . . . . 7 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
1110adantl 466 . . . . . 6 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
12 lincsumcl.b . . . . . . 7
131, 12lmodvacl 17400 . . . . . 6
147, 9, 11, 13syl3anc 1229 . . . . 5 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
152lmodfgrp 17395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar
16 grpmnd 15936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar Scalar
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar finSupp Scalar linC Scalar
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar finSupp Scalar linC Scalar
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
273, 26ofaddmndmap 32666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar
2819, 21, 25, 27syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar Scalar
2917anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar
31 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar
33 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar
3432, 33anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar finSupp Scalar
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC finSupp Scalar finSupp Scalar
363mndpfsupp 32704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar finSupp Scalar Scalar finSupp Scalar
3730, 25, 35, 36syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar
38 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 linC linC linC linC
3938expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 linC linC linC linC
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 finSupp Scalar linC linC linC linC
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Scalar finSupp Scalar linC linC linC linC
4241com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 linC linC
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 linC linC
5112, 49, 50, 2, 3, 26lincsum 32765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar finSupp Scalar finSupp Scalar linC linC Scalar linC
5248, 25, 35, 51syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC linC linC Scalar linC
5347, 52eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar linC
54 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar finSupp Scalar Scalar finSupp Scalar
55 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar linC Scalar linC
5655eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar linC Scalar linC
5754, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar Scalar linC
5857rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
5928, 37, 53, 58syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6059exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6160rexlimiva 2931 . . . . . . . . . . . 12 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6261expd 436 . . . . . . . . . . 11 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6362impcom 430 . . . . . . . . . 10 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6463com13 80 . . . . . . . . 9 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6564rexlimiva 2931 . . . . . . . 8 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6665impcom 430 . . . . . . 7 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6766impcom 430 . . . . . 6 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
6867impcom 430 . . . . 5 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC
691, 2, 3lcoval 32748 . . . . . 6 LinCo Scalar finSupp Scalar linC
7069adantr 465 . . . . 5 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC LinCo Scalar finSupp Scalar linC
7114, 68, 70mpbir2and 922 . . . 4 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC LinCo
7271ex 434 . . 3 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar linC LinCo
736, 72sylbid 215 . 2 LinCo LinCo LinCo
7473imp 429 1 LinCo LinCo LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wrex 2794  cpw 3997   class class class wbr 4437  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523   cmap 7422   finSupp cfsupp 7831  cbs 14509   cplusg 14574  Scalarcsca 14577  c0g 14714  cmnd 15793  cgrp 15927  clmod 17386   linC clinc 32740   LinCo clinco 32741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388  df-linc 32742  df-lco 32743 This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  32769
 Copyright terms: Public domain W3C validator