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Theorem lincsumcl 32767
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lincsumcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumcl
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
41, 2, 3lcoval 32748 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( C  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
51, 2, 3lcoval 32748 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
64, 5anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  <->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
7 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M )
)
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M
) )
10 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M )
)
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M
) )
12 lincsumcl.b . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  M )
131, 12lmodvacl 17400 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( C  .+  D )  e.  (
Base `  M )
)
147, 9, 11, 13syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
) )
152lmodfgrp 17395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
16 grpmnd 15936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  M )  e.  Grp  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
(Scalar `  M )  e.  Mnd )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  (Scalar `  M )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  M )
)
273, 26ofaddmndmap 32666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )  ->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2819, 21, 25, 27syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2917anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
(Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
31 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
33 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3432, 33anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )
363mndpfsupp 32704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
3730, 25, 35, 36syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
38 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
3938expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  =  ( x ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4241com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y ( linC  `  M
) V )  .+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( linC  `  M ) V )  =  ( y ( linC  `  M
) V )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( linC  `  M ) V )  =  ( x ( linC  `  M
) V )
5112, 49, 50, 2, 3, 26lincsum 32765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5248, 25, 35, 51syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5347, 52eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
54 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  <->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) ) )
55 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s
( linC  `  M ) V )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5655eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V )  <-> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )
5754, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( (
s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) )  <->  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) ) )
5857rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( (
y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
5928, 37, 53, 58syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  E. s  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
6059exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6160rexlimiva 2931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6261expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  e.  ( Base `  M
)  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) ) )
6362impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6463com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6564rexlimiva 2931 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6766impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
691, 2, 3lcoval 32748 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7114, 68, 70mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
736, 72sylbid 215 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7473imp 429 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   ~Pcpw 3997   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   +g cplusg 14574  Scalarcsca 14577   0gc0g 14714   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15927   LModclmod 17386   linC clinc 32740   LinCo clinco 32741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388  df-linc 32742  df-lco 32743
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  32769
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