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Theorem lincsumcl 32330
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lincsumcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumcl
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
41, 2, 3lcoval 32311 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( C  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
51, 2, 3lcoval 32311 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
64, 5anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  <->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
7 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M )
)
98adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  C  e.  ( Base `  M
) )
10 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M )
)
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M
) )
12 lincsumcl.b . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  M )
131, 12lmodvacl 17338 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( C  .+  D )  e.  (
Base `  M )
)
147, 9, 11, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
) )
152lmodfgrp 17333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
16 grpmnd 15876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (Scalar `  M )  e.  Grp  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Mnd )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
(Scalar `  M )  e.  Mnd )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
23 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
2422, 23anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  (Scalar `  M )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  M )
)
273, 26ofaddmndmap 32228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ) )  ->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2819, 21, 25, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
2917anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
(Scalar `  M )  e.  Mnd  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
3029adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
31 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )
3432, 33anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) ) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )
363mndpfsupp 32267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (Scalar `  M
)  e.  Mnd  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
3730, 25, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
38 oveq12 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
3938expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  =  ( x ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4241com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  =  ( y ( linC  `  M ) V )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
) )  /\  (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  =  ( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y ( linC  `  M
) V )  .+  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( linC  `  M ) V )  =  ( y ( linC  `  M
) V )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( linC  `  M ) V )  =  ( x ( linC  `  M
) V )
5112, 49, 50, 2, 3, 26lincsum 32328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5248, 25, 35, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( y ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5347, 52eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  -> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
54 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  <->  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) ) )
55 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( s
( linC  `  M ) V )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) )
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V )  <-> 
( C  .+  D
)  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )
5754, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  ->  ( (
s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) )  <->  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M )
) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) ) )
5857rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( (
y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( ( y  oF ( +g  `  (Scalar `  M ) ) x ) ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
5928, 37, 53, 58syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )  /\  ( y finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) ) )  /\  ( x  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  /\  ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) ) )  ->  E. s  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
6059exp41 610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  D  e.  ( Base `  M )
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6160rexlimiva 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6261expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( C  e.  ( Base `  M
)  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) ) )
6362impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M )  ->  (
( x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6463com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6564rexlimiva 2951 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( ( C  e.  ( Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( y finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  C  =  ( y ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  (
( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6766impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (
Base `  M )  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
691, 2, 3lcoval 32311 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  (
( C  .+  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .+  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( s finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .+  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7114, 68, 70mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
7271ex 434 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( ( C  e.  ( Base `  M
)  /\  E. y  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( y finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  C  =  ( y
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
736, 72sylbid 215 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7473imp 429 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  ( M LinCo  V )  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .+  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oFcof 6523    ^m cmap 7421   finSupp cfsupp 7830   Basecbs 14493   +g cplusg 14558  Scalarcsca 14561   0gc0g 14698   Mndcmnd 15729   Grpcgrp 15730   LModclmod 17324   linC clinc 32303   LinCo clinco 32304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-lmod 17326  df-linc 32305  df-lco 32306
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  32332
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