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Theorem lincsum 33132
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincsum.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincsum.y  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
lincsum.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincsum.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincsum.b  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
lincsum  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2457 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 lincsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
4 lmodcmn 17684 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e. CMnd )
653ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e. CMnd )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
873ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
1093ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
12 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
13 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
1413ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
17163ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `
 x )  e.  R ) )
1817imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
19 elelpwi 4026 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
2019expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
22213ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M
) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
24 lincsum.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  M )
25 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
26 lincsum.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
271, 24, 25, 26lmodvscl 17655 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
2811, 18, 23, 27syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
29 elmapi 7459 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
30 ffvelrn 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x
)  e.  R )
3130ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
34333ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( B `
 x )  e.  R ) )
3534imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
361, 24, 25, 26lmodvscl 17655 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3711, 35, 23, 36syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
38 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
39 eqidd 2458 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
40 id 22 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
41 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
42 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  A finSupp  ( 0g
`  S ) )
4324, 26scmfsupp 33073 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
45 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V ) )
46 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  B finSupp  ( 0g
`  S ) )
4724, 26scmfsupp 33073 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  B  e.  ( R  ^m  V )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4840, 45, 46, 47syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 17066 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
507adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
51 elmapfn 7460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
5251ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
53 elmapfn 7460 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
5453ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
5550, 52, 54offvalfv 33034 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B
)  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) )
56553adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) ) )
5724lmodfgrp 17647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
58 grpmnd 16188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Grp  ->  S  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Mnd )
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  S  e.  Mnd )
61 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y
)  e.  R )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( A `  y
)  e.  R ) )
6312, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  R )
6624fveq2i 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6726, 66eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6865, 67syl6eleq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
69 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  R )
7069, 67syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7229, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7372ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
7524eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  M )  =  S
7675fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
7876, 77mndcl 16055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7960, 68, 74, 78syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
80 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) )
8179, 80fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
82 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
83 elmapg 7451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8482, 50, 83sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8581, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
86853adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
8756, 86eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
88 lincval 33112 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A  oF  .+b  B
)  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF 
.+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
8910, 87, 8, 88syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) ) )
9051, 53anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9291adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9350anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  V )
)
94 fnfvof 6552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
)  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  V ) )  -> 
( ( A  oF  .+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  .+b  =  ( +g  `  S ) )
9796oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) )
9895, 97eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) )
9998oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
1009adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  M  e.  LMod )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
10215ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
103102imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
10432ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
105104imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
10621adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
107106imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
108 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
10924fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  (Scalar `  M ) )
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 17662 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( A `  x
)  e.  R  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( ( A `
 x ) ( +g  `  S ) ( B `  x
) ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) ( .s `  M
) x )  =  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
11299, 111eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
113112mpteq2dva 4543 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
114113oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
1151143adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
11689, 115eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
117 lincsum.x . . . 4  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
118 lincsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
119117, 118oveq12i 6308 . . 3  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( ( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )
12067oveq1i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
121120eleq2i 2535 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
122121biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
124 lincval 33112 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
125100, 123, 50, 124syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
126120eleq2i 2535 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  <->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
127126biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
128127ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
129 lincval 33112 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
130100, 128, 50, 129syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
131125, 130oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
1321313adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A ( linC  `  M ) V )  .+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
133119, 132syl5eq 2510 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
13449, 116, 1333eqtr4rd 2509 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    ^m cmap 7438   finSupp cfsupp 7847   Basecbs 14643   +g cplusg 14711  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   0gc0g 14856    gsumg cgsu 14857   Mndcmnd 16045   Grpcgrp 16179  CMndccmn 16924   LModclmod 17638   linC clinc 33107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640  df-linc 33109
This theorem is referenced by:  lincsumcl  33134
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