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Theorem lincsum 32740
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincsum.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincsum.y  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
lincsum.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincsum.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincsum.b  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
lincsum  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 lincsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
4 lmodcmn 17426 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e. CMnd )
653ad2ant1 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e. CMnd )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
873ad2ant1 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
1093ad2ant1 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
12 elmapi 7438 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
13 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
1413ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
17163ad2ant2 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `
 x )  e.  R ) )
1817imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
19 elelpwi 4004 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
2019expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
22213ad2ant1 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M
) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
24 lincsum.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  M )
25 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
26 lincsum.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
271, 24, 25, 26lmodvscl 17397 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
2811, 18, 23, 27syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
29 elmapi 7438 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
30 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x
)  e.  R )
3130ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
34333ad2ant2 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( B `
 x )  e.  R ) )
3534imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
361, 24, 25, 26lmodvscl 17397 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3711, 35, 23, 36syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
38 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
39 eqidd 2442 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
40 id 22 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
41 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
42 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  A finSupp  ( 0g
`  S ) )
4324, 26scmfsupp 32681 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1269 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
45 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V ) )
46 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  B finSupp  ( 0g
`  S ) )
4724, 26scmfsupp 32681 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  B  e.  ( R  ^m  V )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4840, 45, 46, 47syl3an 1269 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 16809 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
507adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
51 elmapfn 7439 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
5251ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
53 elmapfn 7439 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
5453ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
5550, 52, 54offvalfv 32640 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B
)  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) )
56553adant3 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) ) )
5724lmodfgrp 17389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
58 grpmnd 15931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Grp  ->  S  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Mnd )
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  S  e.  Mnd )
61 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y
)  e.  R )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( A `  y
)  e.  R ) )
6312, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  R )
6624fveq2i 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6726, 66eqtri 2470 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6865, 67syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
69 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  R )
7069, 67syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7229, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7372ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
7524eqcomi 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  M )  =  S
7675fveq2i 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
7876, 77mndcl 15798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7960, 68, 74, 78syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
80 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) )
8179, 80fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
82 fvex 5862 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
83 elmapg 7431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8482, 50, 83sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8581, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
86853adant3 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
8756, 86eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
88 lincval 32720 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A  oF  .+b  B
)  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF 
.+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
8910, 87, 8, 88syl3anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) ) )
9051, 53anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9291adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9350anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  V )
)
94 fnfvof 6534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
)  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  V ) )  -> 
( ( A  oF  .+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  .+b  =  ( +g  `  S ) )
9796oveqd 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) )
9895, 97eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) )
9998oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
1009adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  M  e.  LMod )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
10215ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
103102imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
10432ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
105104imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
10621adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
107106imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
108 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
10924fveq2i 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  (Scalar `  M ) )
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 17404 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( A `  x
)  e.  R  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( ( A `
 x ) ( +g  `  S ) ( B `  x
) ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) ( .s `  M
) x )  =  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
11299, 111eqtrd 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
113112mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
114113oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
1151143adant3 1015 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
11689, 115eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
117 lincsum.x . . . 4  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
118 lincsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
119117, 118oveq12i 6289 . . 3  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( ( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )
12067oveq1i 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
121120eleq2i 2519 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
122121biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
124 lincval 32720 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
125100, 123, 50, 124syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
126120eleq2i 2519 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  <->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
127126biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
128127ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
129 lincval 32720 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
130100, 128, 50, 129syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
131125, 130oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
1321313adant3 1015 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A ( linC  `  M ) V )  .+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
133119, 132syl5eq 2494 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
13449, 116, 1333eqtr4rd 2493 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519    ^m cmap 7418   finSupp cfsupp 7827   Basecbs 14504   +g cplusg 14569  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   0gc0g 14709    gsumg cgsu 14710   Mndcmnd 15788   Grpcgrp 15922  CMndccmn 16667   LModclmod 17380   linC clinc 32715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-lmod 17382  df-linc 32717
This theorem is referenced by:  lincsumcl  32742
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