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Theorem lincsum 31978
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincsum.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincsum.y  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
lincsum.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincsum.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincsum.b  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
lincsum  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 lincsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
4 lmodcmn 17334 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e. CMnd )
653ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e. CMnd )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
873ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
1093ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
12 elmapi 7430 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
13 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
1413ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
17163ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `
 x )  e.  R ) )
1817imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
19 elelpwi 4014 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
2019expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
22213ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M
) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
24 lincsum.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  M )
25 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
26 lincsum.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
271, 24, 25, 26lmodvscl 17305 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
2811, 18, 23, 27syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
29 elmapi 7430 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
30 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x
)  e.  R )
3130ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
34333ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( B `
 x )  e.  R ) )
3534imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
361, 24, 25, 26lmodvscl 17305 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3711, 35, 23, 36syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
38 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
39 eqidd 2461 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
40 id 22 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
41 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
42 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  A finSupp  ( 0g
`  S ) )
4324, 26scmfsupp 31919 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1265 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
45 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V ) )
46 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  B finSupp  ( 0g
`  S ) )
4724, 26scmfsupp 31919 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  B  e.  ( R  ^m  V )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4840, 45, 46, 47syl3an 1265 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 16724 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
507adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
51 elmapfn 7431 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
5251ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
53 elmapfn 7431 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
5453ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
5550, 52, 54offvalfv 31871 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B
)  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) )
56553adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) ) )
5724lmodfgrp 17297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
58 grpmnd 15856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Grp  ->  S  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Mnd )
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  S  e.  Mnd )
61 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y
)  e.  R )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( A `  y
)  e.  R ) )
6312, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  R )
6624fveq2i 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6726, 66eqtri 2489 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6865, 67syl6eleq 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
69 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  R )
7069, 67syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7229, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7372ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
7524eqcomi 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  M )  =  S
7675fveq2i 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
7876, 77mndcl 15726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7960, 68, 74, 78syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
80 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) )
8179, 80fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
82 fvex 5867 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
83 elmapg 7423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8482, 50, 83sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8581, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
86853adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
8756, 86eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
88 lincval 31958 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A  oF  .+b  B
)  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF 
.+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
8910, 87, 8, 88syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) ) )
9051, 53anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9291adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9350anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  V )
)
94 fnfvof 6528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
)  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  V ) )  -> 
( ( A  oF  .+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  .+b  =  ( +g  `  S ) )
9796oveqd 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) )
9895, 97eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) )
9998oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
1009adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  M  e.  LMod )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
10215ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
103102imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
10432ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
105104imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
10621adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
107106imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
108 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
10924fveq2i 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  (Scalar `  M ) )
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 17312 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( A `  x
)  e.  R  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( ( A `
 x ) ( +g  `  S ) ( B `  x
) ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) ( .s `  M
) x )  =  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
11299, 111eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
113112mpteq2dva 4526 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
114113oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
1151143adant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
11689, 115eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
117 lincsum.x . . . 4  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
118 lincsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
119117, 118oveq12i 6287 . . 3  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( ( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )
12067oveq1i 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
121120eleq2i 2538 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
122121biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
124 lincval 31958 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
125100, 123, 50, 124syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
126120eleq2i 2538 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  <->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
127126biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
128127ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
129 lincval 31958 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
130100, 128, 50, 129syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
131125, 130oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
1321313adant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A ( linC  `  M ) V )  .+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
133119, 132syl5eq 2513 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
13449, 116, 1333eqtr4rd 2512 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479   +g cplusg 14544  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716  CMndccmn 16587   LModclmod 17288   linC clinc 31953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-linc 31955
This theorem is referenced by:  lincsumcl  31980
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