Theorem lincsum 39495

Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincsum.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincsum.x	|- X = ( A ( linC ` M ) V )
lincsum.y	|- Y = ( B ( linC ` M ) V )
lincsum.s	|- S = (Scalar ` M )
lincsum.r	|- R = ( Base ` S )
lincsum.b	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
lincsum	|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2422	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2		eqid 2422	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
3		lincsum.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` M )
4		lmodcmn 18123	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
5	4	adantr 466	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. CMnd )
6	5	3ad2ant1 1026	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. CMnd )
7		simpr 462	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
8	7	3ad2ant1 1026	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
9		simpl 458	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
10	9	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. LMod )
11	10	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
12		elmapi 7497	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
13		ffvelrn 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
14	13	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
16	15	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
17	16	3ad2ant2 1027	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
18	17	imp 430	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
19		elelpwi 3990	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
20	19	expcom 436	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
21	20	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
22	21	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
23	22	imp 430	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
24		lincsum.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` M )
25		eqid 2422	. . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
26		lincsum.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` S )
27	1, 24, 25, 26	lmodvscl 18095	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
28	11, 18, 23, 27	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
29		elmapi 7497	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
30		ffvelrn 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : V --> R /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
31	30	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( B : V --> R -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
32	29, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
33	32	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
34	33	3ad2ant2 1027	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
35	34	imp 430	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
36	1, 24, 25, 26	lmodvscl 18095	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
37	11, 35, 23, 36	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
38		eqidd 2423	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
39		eqidd 2423	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
40		id 23	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
41		simpl 458	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) )
42		simpl 458	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> A finSupp ( 0g ` S ) )
43	24, 26	scmfsupp 39436	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3an 1306	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
45		simpr 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B e. ( R ^m V ) )
46		simpr 462	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> B finSupp ( 0g ` S ) )
47	24, 26	scmfsupp 39436	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ B e. ( R ^m V ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
48	40, 45, 46, 47	syl3an 1306	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
49	1, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48	gsummptfsadd 17544	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
50	7	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
51		elmapfn 7498	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V )
52	51	ad2antrl 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V )
53		elmapfn 7498	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V )
54	53	ad2antll 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V )
55	50, 52, 54	offvalfv 39397	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
56	55	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
57	24	lmodfgrp 18087	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> S e. Grp )
58		grpmnd 16665	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> S e. Mnd )
60	59	ad3antrrr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> S e. Mnd )
61		ffvelrn 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : V --> R /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
62	61	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : V --> R -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
63	12, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
64	63	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
65	64	imp 430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
66	24	fveq2i 5880	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
67	26, 66	eqtri 2451	. . . . . . . . . 10 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
68	65, 67	syl6eleq 2520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
69		ffvelrn 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. R )
70	69, 67	syl6eleq 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
71	70	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : V --> R -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
72	29, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
73	72	ad2antll 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
74	73	imp 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
75	24	eqcomi 2435	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` M ) = S
76	75	fveq2i 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
77		lincsum.b	. . . . . . . . . 10 |- .+b = ( +g ` S )
78	76, 77	mndcl 16532	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
79	60, 68, 74, 78	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
80		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) )
81	79, 80	fmptd 6057	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
82		fvex 5887	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
83		elmapg 7489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
84	82, 50, 83	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
85	81, 84	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
86	85	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87	56, 86	eqeltrd 2510	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
88		lincval 39475	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
89	10, 87, 8, 88	syl3anc 1264	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
90	51, 53	anim12i 568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
91	90	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
92	91	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
93	50	anim1i 570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) )
94		fnfvof 6555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Fn V /\ B Fn V ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
95	92, 93, 94	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
96	77	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> .+b = ( +g ` S ) )
97	96	oveqd 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
98	95, 97	eqtrd 2463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
99	98	oveq1d 6316	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
100	9	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
101	100	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
102	15	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
103	102	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
104	32	ad2antll 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
105	104	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
106	21	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
107	106	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
108		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
109	24	fveq2i 5880	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` (Scalar ` M ) )
110	1, 3, 108, 25, 67, 109	lmodvsdir 18102	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( A ` x ) e. R /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
111	101, 103, 105, 107, 110	syl13anc 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
112	99, 111	eqtrd 2463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
113	112	mpteq2dva 4507	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
114	113	oveq2d 6317	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
115	114	3adant3 1025	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
116	89, 115	eqtrd 2463	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
117		lincsum.x	. . . 4 |- X = ( A ( linC ` M ) V )
118		lincsum.y	. . . 4 |- Y = ( B ( linC ` M ) V )
119	117, 118	oveq12i 6313	. . 3 |- ( X .+ Y ) = ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) )
120	67	oveq1i 6311	. . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
121	120	eleq2i 2500	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
122	121	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
123	122	ad2antrl 732	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
124		lincval 39475	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
125	100, 123, 50, 124	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
126	120	eleq2i 2500	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) <-> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
127	126	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
128	127	ad2antll 733	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
129		lincval 39475	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
130	100, 128, 50, 129	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
131	125, 130	oveq12d 6319	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
132	131	3adant3 1025	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
133	119, 132	syl5eq 2475	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
134	49, 116, 133	3eqtr4rd 2474	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   ~Pcpw 3979   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   oFcof 6539   ^m cmap 7476   finSupp cfsupp 7885   Basecbs 15108   +g cplusg 15177  Scalarcsca 15180   .scvsca 15181   0gc0g 15325   gsum_g cgsu 15326   Mndcmnd 16522   Grpcgrp 16656  CMndccmn 17417   LModclmod 18078   linC clinc 39470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-lmod 18080  df-linc 39472

This theorem is referenced by:  lincsumcl  39497