Theorem lincsum 40275

Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincsum.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincsum.x	|- X = ( A ( linC ` M ) V )
lincsum.y	|- Y = ( B ( linC ` M ) V )
lincsum.s	|- S = (Scalar ` M )
lincsum.r	|- R = ( Base ` S )
lincsum.b	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
lincsum	|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2		eqid 2451	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
3		lincsum.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` M )
4		lmodcmn 18136	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
5	4	adantr 467	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. CMnd )
6	5	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. CMnd )
7		simpr 463	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
8	7	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
9		simpl 459	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
10	9	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. LMod )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
12		elmapi 7493	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
13		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
14	13	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
16	15	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
17	16	3ad2ant2 1030	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
18	17	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
19		elelpwi 3962	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
20	19	expcom 437	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
21	20	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
22	21	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
23	22	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
24		lincsum.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` M )
25		eqid 2451	. . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
26		lincsum.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` S )
27	1, 24, 25, 26	lmodvscl 18108	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
28	11, 18, 23, 27	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
29		elmapi 7493	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
30		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : V --> R /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
31	30	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( B : V --> R -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
32	29, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
33	32	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
34	33	3ad2ant2 1030	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
35	34	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
36	1, 24, 25, 26	lmodvscl 18108	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
37	11, 35, 23, 36	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
38		eqidd 2452	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
39		eqidd 2452	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
40		id 22	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
41		simpl 459	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) )
42		simpl 459	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> A finSupp ( 0g ` S ) )
43	24, 26	scmfsupp 40216	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3an 1310	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
45		simpr 463	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B e. ( R ^m V ) )
46		simpr 463	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> B finSupp ( 0g ` S ) )
47	24, 26	scmfsupp 40216	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ B e. ( R ^m V ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
48	40, 45, 46, 47	syl3an 1310	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
49	1, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48	gsummptfsadd 17557	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
50	7	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
51		elmapfn 7494	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V )
52	51	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V )
53		elmapfn 7494	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V )
54	53	ad2antll 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V )
55	50, 52, 54	offvalfv 40177	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
56	55	3adant3 1028	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
57	24	lmodfgrp 18100	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> S e. Grp )
58		grpmnd 16678	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> S e. Mnd )
60	59	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> S e. Mnd )
61		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : V --> R /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
62	61	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : V --> R -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
63	12, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
64	63	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
65	64	imp 431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
66	24	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
67	26, 66	eqtri 2473	. . . . . . . . . 10 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
68	65, 67	syl6eleq 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
69		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. R )
70	69, 67	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
71	70	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : V --> R -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
72	29, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
73	72	ad2antll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
74	73	imp 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
75	24	eqcomi 2460	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` M ) = S
76	75	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
77		lincsum.b	. . . . . . . . . 10 |- .+b = ( +g ` S )
78	76, 77	mndcl 16545	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
79	60, 68, 74, 78	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
80		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) )
81	79, 80	fmptd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
82		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
83		elmapg 7485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
84	82, 50, 83	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
85	81, 84	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
86	85	3adant3 1028	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87	56, 86	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
88		lincval 40255	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
89	10, 87, 8, 88	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
90	51, 53	anim12i 570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
91	90	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
92	91	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
93	50	anim1i 572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) )
94		fnfvof 6545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Fn V /\ B Fn V ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
95	92, 93, 94	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
96	77	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> .+b = ( +g ` S ) )
97	96	oveqd 6307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
98	95, 97	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
99	98	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
100	9	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
101	100	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
102	15	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
103	102	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
104	32	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
105	104	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
106	21	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
107	106	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
108		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
109	24	fveq2i 5868	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` (Scalar ` M ) )
110	1, 3, 108, 25, 67, 109	lmodvsdir 18115	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( A ` x ) e. R /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
111	101, 103, 105, 107, 110	syl13anc 1270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
112	99, 111	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
113	112	mpteq2dva 4489	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
114	113	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
115	114	3adant3 1028	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
116	89, 115	eqtrd 2485	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
117		lincsum.x	. . . 4 |- X = ( A ( linC ` M ) V )
118		lincsum.y	. . . 4 |- Y = ( B ( linC ` M ) V )
119	117, 118	oveq12i 6302	. . 3 |- ( X .+ Y ) = ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) )
120	67	oveq1i 6300	. . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
121	120	eleq2i 2521	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
122	121	biimpi 198	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
123	122	ad2antrl 734	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
124		lincval 40255	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
125	100, 123, 50, 124	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
126	120	eleq2i 2521	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) <-> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
127	126	biimpi 198	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
128	127	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
129		lincval 40255	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
130	100, 128, 50, 129	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
131	125, 130	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
132	131	3adant3 1028	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
133	119, 132	syl5eq 2497	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
134	49, 116, 133	3eqtr4rd 2496	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   oFcof 6529   ^m cmap 7472   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535   Grpcgrp 16669  CMndccmn 17430   LModclmod 18091   linC clinc 40250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252

This theorem is referenced by:  lincsumcl  40277