Theorem lincsum 32740

Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincsum.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincsum.x	|- X = ( A ( linC ` M ) V )
lincsum.y	|- Y = ( B ( linC ` M ) V )
lincsum.s	|- S = (Scalar ` M )
lincsum.r	|- R = ( Base ` S )
lincsum.b	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
lincsum	|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2		eqid 2441	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
3		lincsum.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` M )
4		lmodcmn 17426	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
5	4	adantr 465	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. CMnd )
6	5	3ad2ant1 1016	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. CMnd )
7		simpr 461	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
8	7	3ad2ant1 1016	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
9		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
10	9	3ad2ant1 1016	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> M e. LMod )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
12		elmapi 7438	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
13		ffvelrn 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
14	13	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
15	12, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
17	16	3ad2ant2 1017	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
18	17	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
19		elelpwi 4004	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` M ) )
20	19	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
21	20	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
22	21	3ad2ant1 1016	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
23	22	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
24		lincsum.s	. . . . 5 |- S = (Scalar ` M )
25		eqid 2441	. . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
26		lincsum.r	. . . . 5 |- R = ( Base ` S )
27	1, 24, 25, 26	lmodvscl 17397	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
28	11, 18, 23, 27	syl3anc 1227	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
29		elmapi 7438	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B : V --> R )
30		ffvelrn 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : V --> R /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
31	30	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( B : V --> R -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
32	29, 31	syl 16	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
33	32	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
34	33	3ad2ant2 1017	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
35	34	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
36	1, 24, 25, 26	lmodvscl 17397	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
37	11, 35, 23, 36	syl3anc 1227	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) e. ( Base ` M ) )
38		eqidd 2442	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
39		eqidd 2442	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
40		id 22	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
41		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> A e. ( R ^m V ) )
42		simpl 457	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> A finSupp ( 0g ` S ) )
43	24, 26	scmfsupp 32681	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3an 1269	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
45		simpr 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> B e. ( R ^m V ) )
46		simpr 461	. . . 4 |- ( ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> B finSupp ( 0g ` S ) )
47	24, 26	scmfsupp 32681	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ B e. ( R ^m V ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
48	40, 45, 46, 47	syl3an 1269	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
49	1, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48	gsummptfsadd 16809	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
50	7	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
51		elmapfn 7439	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A Fn V )
52	51	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A Fn V )
53		elmapfn 7439	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B Fn V )
54	53	ad2antll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B Fn V )
55	50, 52, 54	offvalfv 32640	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
56	55	3adant3 1015	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) )
57	24	lmodfgrp 17389	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> S e. Grp )
58		grpmnd 15931	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Grp -> S e. Mnd )
59	57, 58	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> S e. Mnd )
60	59	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> S e. Mnd )
61		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : V --> R /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
62	61	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : V --> R -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
63	12, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
64	63	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( A ` y ) e. R ) )
65	64	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. R )
66	24	fveq2i 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
67	26, 66	eqtri 2470	. . . . . . . . . 10 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
68	65, 67	syl6eleq 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
69		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. R )
70	69, 67	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : V --> R /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : V --> R -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
72	29, 71	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( R ^m V ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
73	72	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
74	73	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
75	24	eqcomi 2454	. . . . . . . . . . 11 |- (Scalar ` M ) = S
76	75	fveq2i 5855	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
77		lincsum.b	. . . . . . . . . 10 |- .+b = ( +g ` S )
78	76, 77	mndcl 15798	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ ( A ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( B ` y ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
79	60, 68, 74, 78	syl3anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ y e. V ) -> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
80		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) = ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) )
81	79, 80	fmptd 6036	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
82		fvex 5862	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
83		elmapg 7431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
84	82, 50, 83	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
85	81, 84	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
86	85	3adant3 1015	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( y e. V |-> ( ( A ` y ) .+b ( B ` y ) ) ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87	56, 86	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
88		lincval 32720	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A oF .+b B ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
89	10, 87, 8, 88	syl3anc 1227	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
90	51, 53	anim12i 566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
92	91	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A Fn V /\ B Fn V ) )
93	50	anim1i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) )
94		fnfvof 6534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A Fn V /\ B Fn V ) /\ ( V e. ~P ( Base ` M ) /\ x e. V ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
95	92, 93, 94	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) )
96	77	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> .+b = ( +g ` S ) )
97	96	oveqd 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A ` x ) .+b ( B ` x ) ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
98	95, 97	eqtrd 2482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( A oF .+b B ) ` x ) = ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) )
99	98	oveq1d 6292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) )
100	9	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
101	100	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
102	15	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. R ) )
103	102	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
104	32	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> ( B ` x ) e. R ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( B ` x ) e. R )
106	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V -> x e. ( Base ` M ) ) )
107	106	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` M ) )
108		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
109	24	fveq2i 5855	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` (Scalar ` M ) )
110	1, 3, 108, 25, 67, 109	lmodvsdir 17404	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( A ` x ) e. R /\ ( B ` x ) e. R /\ x e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
111	101, 103, 105, 107, 110	syl13anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A ` x ) ( +g ` S ) ( B ` x ) ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
112	99, 111	eqtrd 2482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
113	112	mpteq2dva 4519	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
114	113	oveq2d 6293	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
115	114	3adant3 1015	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A oF .+b B ) ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
116	89, 115	eqtrd 2482	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) .+ ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
117		lincsum.x	. . . 4 |- X = ( A ( linC ` M ) V )
118		lincsum.y	. . . 4 |- Y = ( B ( linC ` M ) V )
119	117, 118	oveq12i 6289	. . 3 |- ( X .+ Y ) = ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) )
120	67	oveq1i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
121	120	eleq2i 2519	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
122	121	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
123	122	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
124		lincval 32720	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
125	100, 123, 50, 124	syl3anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
126	120	eleq2i 2519	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( R ^m V ) <-> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
127	126	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( B e. ( R ^m V ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
128	127	ad2antll 728	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
129		lincval 32720	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ B e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
130	100, 128, 50, 129	syl3anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( B ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
131	125, 130	oveq12d 6295	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
132	131	3adant3 1015	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( ( A ( linC ` M ) V ) .+ ( B ( linC ` M ) V ) ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
133	119, 132	syl5eq 2494	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( A ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( B ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) ) )
134	49, 116, 133	3eqtr4rd 2493	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ B e. ( R ^m V ) ) /\ ( A finSupp ( 0g ` S ) /\ B finSupp ( 0g ` S ) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ( A oF .+b B ) ( linC ` M ) V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   _Vcvv 3093   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433   |-> cmpt 4491   Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   oFcof 6519   ^m cmap 7418   finSupp cfsupp 7827   Basecbs 14504   +g cplusg 14569  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   0gc0g 14709   gsum_g cgsu 14710   Mndcmnd 15788   Grpcgrp 15922  CMndccmn 16667   LModclmod 17380   linC clinc 32715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-lmod 17382  df-linc 32717

This theorem is referenced by:  lincsumcl  32742