Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lincsum 40275
 Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p
lincsum.x linC
lincsum.y linC
lincsum.s Scalar
lincsum.r
lincsum.b
Assertion
Ref Expression
lincsum finSupp finSupp linC

Proof of Theorem lincsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3
2 eqid 2451 . . 3
3 lincsum.p . . 3
4 lmodcmn 18136 . . . . 5 CMnd
54adantr 467 . . . 4 CMnd
653ad2ant1 1029 . . 3 finSupp finSupp CMnd
7 simpr 463 . . . 4
873ad2ant1 1029 . . 3 finSupp finSupp
9 simpl 459 . . . . . 6
1093ad2ant1 1029 . . . . 5 finSupp finSupp
1110adantr 467 . . . 4 finSupp finSupp
12 elmapi 7493 . . . . . . . 8
13 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9
1413ex 436 . . . . . . . 8
1512, 14syl 17 . . . . . . 7
1615adantr 467 . . . . . 6
17163ad2ant2 1030 . . . . 5 finSupp finSupp
1817imp 431 . . . 4 finSupp finSupp
19 elelpwi 3962 . . . . . . . 8
2019expcom 437 . . . . . . 7
2120adantl 468 . . . . . 6
22213ad2ant1 1029 . . . . 5 finSupp finSupp
2322imp 431 . . . 4 finSupp finSupp
24 lincsum.s . . . . 5 Scalar
25 eqid 2451 . . . . 5
26 lincsum.r . . . . 5
271, 24, 25, 26lmodvscl 18108 . . . 4
2811, 18, 23, 27syl3anc 1268 . . 3 finSupp finSupp
29 elmapi 7493 . . . . . . . 8
30 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9
3130ex 436 . . . . . . . 8
3229, 31syl 17 . . . . . . 7
3332adantl 468 . . . . . 6
34333ad2ant2 1030 . . . . 5 finSupp finSupp
3534imp 431 . . . 4 finSupp finSupp
361, 24, 25, 26lmodvscl 18108 . . . 4
3711, 35, 23, 36syl3anc 1268 . . 3 finSupp finSupp
38 eqidd 2452 . . 3 finSupp finSupp
39 eqidd 2452 . . 3 finSupp finSupp
40 id 22 . . . 4
41 simpl 459 . . . 4
42 simpl 459 . . . 4 finSupp finSupp finSupp
4324, 26scmfsupp 40216 . . . 4 finSupp finSupp
4440, 41, 42, 43syl3an 1310 . . 3 finSupp finSupp finSupp
45 simpr 463 . . . 4
46 simpr 463 . . . 4 finSupp finSupp finSupp
4724, 26scmfsupp 40216 . . . 4 finSupp finSupp
4840, 45, 46, 47syl3an 1310 . . 3 finSupp finSupp finSupp
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 17557 . 2 finSupp finSupp g g g
507adantr 467 . . . . . . 7
51 elmapfn 7494 . . . . . . . 8
5251ad2antrl 734 . . . . . . 7
53 elmapfn 7494 . . . . . . . 8
5453ad2antll 735 . . . . . . 7
5550, 52, 54offvalfv 40177 . . . . . 6
56553adant3 1028 . . . . 5 finSupp finSupp
5724lmodfgrp 18100 . . . . . . . . . . 11
58 grpmnd 16678 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . 10
6059ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9
61 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . 14
6261ex 436 . . . . . . . . . . . . 13
6312, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6463ad2antrl 734 . . . . . . . . . . 11
6564imp 431 . . . . . . . . . 10
6624fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11 Scalar
6726, 66eqtri 2473 . . . . . . . . . 10 Scalar
6865, 67syl6eleq 2539 . . . . . . . . 9 Scalar
69 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . 14
7069, 67syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
7170ex 436 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
7229, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 Scalar
7372ad2antll 735 . . . . . . . . . 10 Scalar
7473imp 431 . . . . . . . . 9 Scalar
7524eqcomi 2460 . . . . . . . . . . 11 Scalar
7675fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10 Scalar
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10
7876, 77mndcl 16545 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
7960, 68, 74, 78syl3anc 1268 . . . . . . . 8 Scalar
80 eqid 2451 . . . . . . . 8
8179, 80fmptd 6046 . . . . . . 7 Scalar
82 fvex 5875 . . . . . . . 8 Scalar
83 elmapg 7485 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
8482, 50, 83sylancr 669 . . . . . . 7 Scalar Scalar
8581, 84mpbird 236 . . . . . 6 Scalar
86853adant3 1028 . . . . 5 finSupp finSupp Scalar
8756, 86eqeltrd 2529 . . . 4 finSupp finSupp Scalar
88 lincval 40255 . . . 4 Scalar linC g
8910, 87, 8, 88syl3anc 1268 . . 3 finSupp finSupp linC g
9051, 53anim12i 570 . . . . . . . . . . . 12
9190adantl 468 . . . . . . . . . . 11
9291adantr 467 . . . . . . . . . 10
9350anim1i 572 . . . . . . . . . 10
94 fnfvof 6545 . . . . . . . . . 10
9592, 93, 94syl2anc 667 . . . . . . . . 9
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10
9796oveqd 6307 . . . . . . . . 9
9895, 97eqtrd 2485 . . . . . . . 8
9998oveq1d 6305 . . . . . . 7
1009adantr 467 . . . . . . . . 9
101100adantr 467 . . . . . . . 8
10215ad2antrl 734 . . . . . . . . 9
103102imp 431 . . . . . . . 8
10432ad2antll 735 . . . . . . . . 9
105104imp 431 . . . . . . . 8
10621adantr 467 . . . . . . . . 9
107106imp 431 . . . . . . . 8
108 eqid 2451 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
10924fveq2i 5868 . . . . . . . . 9 Scalar
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 18115 . . . . . . . 8
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1270 . . . . . . 7
11299, 111eqtrd 2485 . . . . . 6
113112mpteq2dva 4489 . . . . 5
114113oveq2d 6306 . . . 4 g g
1151143adant3 1028 . . 3 finSupp finSupp g g
11689, 115eqtrd 2485 . 2 finSupp finSupp linC g
117 lincsum.x . . . 4 linC
118 lincsum.y . . . 4 linC
119117, 118oveq12i 6302 . . 3 linC linC
12067oveq1i 6300 . . . . . . . . 9 Scalar
121120eleq2i 2521 . . . . . . . 8 Scalar
122121biimpi 198 . . . . . . 7 Scalar
123122ad2antrl 734 . . . . . 6 Scalar
124 lincval 40255 . . . . . 6 Scalar linC g
125100, 123, 50, 124syl3anc 1268 . . . . 5 linC g
126120eleq2i 2521 . . . . . . . 8 Scalar
127126biimpi 198 . . . . . . 7 Scalar
128127ad2antll 735 . . . . . 6 Scalar
129 lincval 40255 . . . . . 6 Scalar linC g
130100, 128, 50, 129syl3anc 1268 . . . . 5 linC g
131125, 130oveq12d 6308 . . . 4 linC linC g g
1321313adant3 1028 . . 3 finSupp finSupp linC linC g g
133119, 132syl5eq 2497 . 2 finSupp finSupp g g
13449, 116, 1333eqtr4rd 2496 1 finSupp finSupp linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045  cpw 3951   class class class wbr 4402   cmpt 4461   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cof 6529   cmap 7472   finSupp cfsupp 7883  cbs 15121   cplusg 15190  Scalarcsca 15193  cvsca 15194  c0g 15338   g cgsu 15339  cmnd 16535  cgrp 16669  CMndccmn 17430  clmod 18091   linC clinc 40250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252 This theorem is referenced by:  lincsumcl  40277
 Copyright terms: Public domain W3C validator