Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsum Structured version   Unicode version

Theorem lincsum 31072
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincsum.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincsum.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincsum.y  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
lincsum.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincsum.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincsum.b  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
lincsum  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )

Proof of Theorem lincsum
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
3 lincsum.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
4 lmodcmn 17101 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e. CMnd )
653ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e. CMnd )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
873ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
1093ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
12 elmapi 7336 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
13 ffvelrn 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
1413ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
1512, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  R ) )
17163ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `
 x )  e.  R ) )
1817imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
19 elelpwi 3971 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
2019expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
22213ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M
) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
24 lincsum.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  M )
25 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
26 lincsum.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
271, 24, 25, 26lmodvscl 17073 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
2811, 18, 23, 27syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
29 elmapi 7336 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B : V --> R )
30 ffvelrn 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x
)  e.  R )
3130ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( B : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( x  e.  V  ->  ( B `  x
)  e.  R ) )
34333ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( B `
 x )  e.  R ) )
3534imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
361, 24, 25, 26lmodvscl 17073 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3711, 35, 23, 36syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
38 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
39 eqidd 2452 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
40 id 22 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
41 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  A  e.  ( R  ^m  V ) )
42 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  A finSupp  ( 0g
`  S ) )
4324, 26scmfsupp 30932 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4440, 41, 42, 43syl3an 1261 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
45 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  B  e.  ( R  ^m  V ) )
46 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A finSupp  ( 0g `  S )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  ->  B finSupp  ( 0g
`  S ) )
4724, 26scmfsupp 30932 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  B  e.  ( R  ^m  V )  /\  B finSupp  ( 0g `  S ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
4840, 45, 46, 47syl3an 1261 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
491, 2, 3, 6, 8, 28, 37, 38, 39, 44, 48gsummptfsadd 16520 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
507adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
51 elmapfn 7337 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  Fn  V )
5251ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  Fn  V )
53 elmapfn 7337 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  Fn  V )
5453ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  Fn  V )
5550, 52, 54offvalfv 30873 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B
)  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) )
56553adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) ) )
5724lmodfgrp 17065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
58 grpmnd 15654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Grp  ->  S  e.  Mnd )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Mnd )
6059ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  S  e.  Mnd )
61 ffvelrn 5942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y
)  e.  R )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( A `  y
)  e.  R ) )
6312, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( A `  y
)  e.  R ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  R )
6624fveq2i 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6726, 66eqtri 2480 . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6865, 67syl6eleq 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
69 ffvelrn 5942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  R )
7069, 67syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : V --> R  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : V --> R  -> 
( y  e.  V  ->  ( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7229, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7372ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  -> 
( B `  y
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
7524eqcomi 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  M )  =  S
7675fveq2i 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
77 lincsum.b . . . . . . . . . 10  |-  .+b  =  ( +g  `  S )
7876, 77mndcl 15524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  ( A `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  ( B `  y )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
7960, 68, 74, 78syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  y  e.  V )  ->  (
( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
80 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( A `
 y )  .+b  ( B `  y ) ) )
8179, 80fmptd 5968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
82 fvex 5801 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
83 elmapg 7329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8482, 50, 83sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( A `  y )  .+b  ( B `  y )
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) ) : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
8581, 84mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( A `  y
)  .+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
86853adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( y  e.  V  |->  ( ( A `  y ) 
.+b  ( B `  y ) ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
8756, 86eqeltrd 2539 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( A  oF  .+b  B )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  V )
)
88 lincval 31052 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A  oF  .+b  B
)  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF 
.+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
8910, 87, 8, 88syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) ) )
9051, 53anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9291adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V )
)
9350anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  V )
)
94 fnfvof 6435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  Fn  V  /\  B  Fn  V
)  /\  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  V ) )  -> 
( ( A  oF  .+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9592, 93, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) ) )
9677a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  .+b  =  ( +g  `  S ) )
9796oveqd 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A `  x
)  .+b  ( B `  x ) )  =  ( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) )
9895, 97eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( A  oF 
.+b  B ) `  x )  =  ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) )
9998oveq1d 6207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( +g  `  S
) ( B `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
1009adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  M  e.  LMod )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
10215ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  R ) )
103102imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x )  e.  R )
10432ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  -> 
( B `  x
)  e.  R ) )
105104imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  ( B `  x )  e.  R )
10621adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  ( Base `  M ) ) )
107106imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
108 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
10924fveq2i 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  (Scalar `  M ) )
1101, 3, 108, 25, 67, 109lmodvsdir 17080 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( A `  x
)  e.  R  /\  ( B `  x )  e.  R  /\  x  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( ( A `
 x ) ( +g  `  S ) ( B `  x
) ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
111101, 103, 105, 107, 110syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A `  x ) ( +g  `  S ) ( B `
 x ) ) ( .s `  M
) x )  =  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
11299, 111eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( A `  x
) ( .s `  M ) x ) 
.+  ( ( B `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
113112mpteq2dva 4478 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x )  .+  ( ( B `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
114113oveq2d 6208 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B
) `  x )
( .s `  M
) x ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
1151143adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A  oF  .+b  B ) `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
11689, 115eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A  oF  .+b  B
) ( linC  `  M
) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( ( A `
 x ) ( .s `  M ) x )  .+  (
( B `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) ) )
117 lincsum.x . . . 4  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
118 lincsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( B ( linC  `  M ) V )
119117, 118oveq12i 6204 . . 3  |-  ( X 
.+  Y )  =  ( ( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )
12067oveq1i 6202 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
121120eleq2i 2529 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
122121biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
123122ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
124 lincval 31052 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
125100, 123, 50, 124syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
126120eleq2i 2529 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  <->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
127126biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( R  ^m  V )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
128127ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
129 lincval 31052 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  B  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
130100, 128, 50, 129syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( B ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
131125, 130oveq12d 6210 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  (
( A ( linC  `  M ) V ) 
.+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
1321313adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( ( A ( linC  `  M ) V )  .+  ( B ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( M 
gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
133119, 132syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( A `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  .+  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( B `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) ) )
13449, 116, 1333eqtr4rd 2503 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  B  e.  ( R  ^m  V ) )  /\  ( A finSupp 
( 0g `  S
)  /\  B finSupp  ( 0g
`  S ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( A  oF 
.+b  B ) ( linC  `  M ) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   ~Pcpw 3960   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    oFcof 6420    ^m cmap 7316   finSupp cfsupp 7723   Basecbs 14278   +g cplusg 14342  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346   0gc0g 14482    gsumg cgsu 14483   Mndcmnd 15513   Grpcgrp 15514  CMndccmn 16383   LModclmod 17056   linC clinc 31047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-lmod 17058  df-linc 31049
This theorem is referenced by:  lincsumcl  31074
  Copyright terms: Public domain W3C validator