Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscmcl Structured version   Unicode version

Theorem lincscmcl 30966
Description: The multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincscmcl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
Assertion
Ref Expression
lincscmcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )

Proof of Theorem lincscmcl
Dummy variables  s 
v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 lincscmcl.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
41, 2, 3lcoval 30946 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <-> 
( D  e.  (
Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
76ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  C  e.  R )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  C  e.  R )
10 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M )
)
11 lincscmcl.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
121, 2, 11, 3lmodvscl 16965 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( Base `  M
) )
137, 9, 10, 12syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  (
Base `  M )
)
142lmodrng 16956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
(Scalar `  M )  e.  Ring )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
188adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  C  e.  R )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  C  e.  R )
20 elmapi 7234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( R  ^m  V )  ->  x : V --> R )
21 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( x `  v
)  e.  R )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( x `  v
)  e.  R ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( x `  v
)  e.  R ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  ( x `
 v )  e.  R ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( x `  v
)  e.  R ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  ( x `  v
)  e.  R )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  (Scalar `  M )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  M )
)
283, 27rngcl 16658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  C  e.  R  /\  ( x `  v )  e.  R
)  ->  ( C
( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) )  e.  R )
2917, 19, 26, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) )  e.  R )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) )
3129, 30fmptd 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R )
32 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
333, 32eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  e. 
_V
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
37 elmapg 7227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R ) )
3833, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R ) )
3931, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V ) )
4015, 35, 83jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  C  e.  R )
)
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( (Scalar `  M
)  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  C  e.  R ) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V ) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V ) )
44 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
463rmfsupp 30788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (Scalar `  M
)  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  C  e.  R )  /\  x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) )
4741, 43, 45, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
48 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  D
)  =  ( C 
.x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
5342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V
) )
5453, 8anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  C  e.  R
) )
55 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( linC  `  M ) V )  =  ( x ( linC  `  M
) V )
5611, 27, 55, 3, 30lincscm 30964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  C  e.  R )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
5752, 54, 45, 56syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  (
x ( linC  `  M
) V ) )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
5851, 57eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  D
)  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
59 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  <->  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )
60 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
s ( linC  `  M
) V )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
6160eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
( C  .x.  D
)  =  ( s ( linC  `  M ) V )  <->  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) )
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) )  <-> 
( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6362rspcev 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
6439, 47, 58, 63syl12anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V ) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6766rexlimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6968impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
701, 2, 3lcoval 30946 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7170ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  <-> 
( ( C  .x.  D )  e.  (
Base `  M )  /\  E. s  e.  ( R  ^m  V ) ( s finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) ) ) ) )
7213, 69, 71mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
7372ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
745, 73sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
75743impia 1184 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   ~Pcpw 3860   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   Ringcrg 16645   LModclmod 16948   linC clinc 30938   LinCo clinco 30939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-linc 30940  df-lco 30941
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  30967
  Copyright terms: Public domain W3C validator