Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscmcl Structured version   Unicode version

Theorem lincscmcl 32407
 Description: The multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s
lincscmcl.r Scalar
Assertion
Ref Expression
lincscmcl LinCo LinCo

Proof of Theorem lincscmcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5
2 eqid 2467 . . . . 5 Scalar Scalar
3 lincscmcl.r . . . . 5 Scalar
41, 2, 3lcoval 32387 . . . 4 LinCo finSupp Scalar linC
54adantr 465 . . 3 LinCo finSupp Scalar linC
6 simpl 457 . . . . . . 7
76ad2antrr 725 . . . . . 6 finSupp Scalar linC
8 simpr 461 . . . . . . 7
98adantr 465 . . . . . 6 finSupp Scalar linC
10 simprl 755 . . . . . 6 finSupp Scalar linC
11 lincscmcl.s . . . . . . 7
121, 2, 11, 3lmodvscl 17377 . . . . . 6
137, 9, 10, 12syl3anc 1228 . . . . 5 finSupp Scalar linC
142lmodring 17368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp Scalar linC Scalar
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp Scalar linC Scalar
188adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp Scalar linC
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp Scalar linC
20 elmapi 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp Scalar linC
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp Scalar linC
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp Scalar linC
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
283, 27ringcl 17061 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
2917, 19, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC Scalar
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
3129, 30fmptd 6055 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC Scalar
32 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
333, 32eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . 13
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC
37 elmapg 7443 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
3833, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC Scalar Scalar
3931, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 finSupp Scalar linC Scalar
4015, 35, 83jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC Scalar
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC
44 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC finSupp Scalar
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC finSupp Scalar
463rmfsupp 32341 . . . . . . . . . . . 12 Scalar finSupp Scalar Scalar finSupp Scalar
4741, 43, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar
48 oveq2 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15 linC linC
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp Scalar linC linC
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC linC
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC linC
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC
5342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp Scalar linC
5453, 8anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC
55 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 linC linC
5611, 27, 55, 3, 30lincscm 32405 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp Scalar linC Scalar linC
5752, 54, 45, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 finSupp Scalar linC linC Scalar linC
5851, 57eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 finSupp Scalar linC Scalar linC
59 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar finSupp Scalar Scalar finSupp Scalar
60 oveq1 6301 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar linC Scalar linC
6160eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar linC Scalar linC
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12 Scalar finSupp Scalar linC Scalar finSupp Scalar Scalar linC
6362rspcev 3219 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar finSupp Scalar Scalar linC finSupp Scalar linC
6439, 47, 58, 63syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
6564ex 434 . . . . . . . . 9 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
6665ex 434 . . . . . . . 8 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
6766rexlimiva 2955 . . . . . . 7 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
6867impcom 430 . . . . . 6 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
6968impcom 430 . . . . 5 finSupp Scalar linC finSupp Scalar linC
701, 2, 3lcoval 32387 . . . . . 6 LinCo finSupp Scalar linC
7170ad2antrr 725 . . . . 5 finSupp Scalar linC LinCo finSupp Scalar linC
7213, 69, 71mpbir2and 920 . . . 4 finSupp Scalar linC LinCo
7372ex 434 . . 3 finSupp Scalar linC LinCo
745, 73sylbid 215 . 2 LinCo LinCo
75743impia 1193 1 LinCo LinCo
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  cvv 3118  cpw 4015   class class class wbr 4452   cmpt 4510  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6294   cmap 7430   finSupp cfsupp 7839  cbs 14502  cmulr 14568  Scalarcsca 14570  cvsca 14571  c0g 14707  crg 17047  clmod 17360   linC clinc 32379   LinCo clinco 32380 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-lmod 17362  df-linc 32381  df-lco 32382 This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  32408
 Copyright terms: Public domain W3C validator