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Theorem lincscmcl 32407
Description: The multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincscmcl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
Assertion
Ref Expression
lincscmcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )

Proof of Theorem lincscmcl
Dummy variables  s 
v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 lincscmcl.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
41, 2, 3lcoval 32387 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <->  ( D  e.  ( Base `  M
)  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V
) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  <-> 
( D  e.  (
Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  M  e.  LMod )
76ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  C  e.  R )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  C  e.  R )
10 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  D  e.  ( Base `  M )
)
11 lincscmcl.s . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
121, 2, 11, 3lmodvscl 17377 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( Base `  M
) )
137, 9, 10, 12syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  (
Base `  M )
)
142lmodring 17368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
(Scalar `  M )  e.  Ring )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
188adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  C  e.  R )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  C  e.  R )
20 elmapi 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( R  ^m  V )  ->  x : V --> R )
21 ffvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( x `  v
)  e.  R )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( x `  v
)  e.  R ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( x `  v
)  e.  R ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  ( x `
 v )  e.  R ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( x `  v
)  e.  R ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  ( x `  v
)  e.  R )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  (Scalar `  M )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  M )
)
283, 27ringcl 17061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  C  e.  R  /\  ( x `  v )  e.  R
)  ->  ( C
( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) )  e.  R )
2917, 19, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  /\  v  e.  V )  ->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) )  e.  R )
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) )
3129, 30fmptd 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R )
32 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
333, 32eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  e. 
_V
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
37 elmapg 7443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R ) )
3833, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) : V --> R ) )
3931, 38mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V ) )
4015, 35, 83jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )  /\  C  e.  R )
)
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( (Scalar `  M
)  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  C  e.  R ) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V ) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V ) )
44 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
463rmfsupp 32341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (Scalar `  M
)  e.  Ring  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  C  e.  R )  /\  x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  x finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) )
4741, 43, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
48 oveq2 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  =  ( x ( linC  `  M ) V )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  =  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  D
)  =  ( C 
.x.  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
5342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  x  e.  ( R  ^m  V
) )
5453, 8anim12i 566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  C  e.  R
) )
55 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( linC  `  M ) V )  =  ( x ( linC  `  M
) V )
5611, 27, 55, 3, 30lincscm 32405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  C  e.  R )  /\  x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( C  .x.  ( x ( linC  `  M ) V ) )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
5752, 54, 45, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  (
x ( linC  `  M
) V ) )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
5851, 57eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  -> 
( C  .x.  D
)  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v
) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
59 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  <->  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )
60 oveq1 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
s ( linC  `  M
) V )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) )
6160eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
( C  .x.  D
)  =  ( s ( linC  `  M ) V )  <->  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) )
6259, 61anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) )  ->  (
( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) )  <-> 
( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6362rspcev 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) )  e.  ( R  ^m  V )  /\  (
( v  e.  V  |->  ( C ( .r
`  (Scalar `  M )
) ( x `  v ) ) ) finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( ( v  e.  V  |->  ( C ( .r `  (Scalar `  M ) ) ( x `  v ) ) ) ( linC  `  M ) V ) ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
6439, 47, 58, 63syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V
)  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  (
Base `  M )
)  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V ) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M ) V ) ) )  /\  D  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( R  ^m  V )  /\  ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6766rexlimiva 2955 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x ( linC  `  M
) V ) )  ->  ( D  e.  ( Base `  M
)  ->  ( (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
6867impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  /\  C  e.  R )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) )
6968impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) )
701, 2, 3lcoval 32387 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V )  <->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. s  e.  ( R  ^m  V
) ( s finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M
) )  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M ) V ) ) ) ) )
7170ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  <-> 
( ( C  .x.  D )  e.  (
Base `  M )  /\  E. s  e.  ( R  ^m  V ) ( s finSupp  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  /\  ( C  .x.  D )  =  ( s ( linC  `  M
) V ) ) ) ) )
7213, 69, 71mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  C  e.  R )  /\  ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
7372ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( ( D  e.  ( Base `  M )  /\  E. x  e.  ( R  ^m  V ) ( x finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  D  =  ( x
( linC  `  M ) V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
745, 73sylbid 215 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R
)  ->  ( D  e.  ( M LinCo  V )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) ) )
75743impia 1193 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   finSupp cfsupp 7839   Basecbs 14502   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707   Ringcrg 17047   LModclmod 17360   linC clinc 32379   LinCo clinco 32380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-lmod 17362  df-linc 32381  df-lco 32382
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  32408
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