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Theorem lincscm 31979
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s  |-  .xb  =  ( .s `  M )
lincscm.t  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
lincscm.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincscm.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincscm.f  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
Assertion
Ref Expression
lincscm  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, R    x, S    x, V    x,  .x.
Allowed substitution hints:    .xb ( x)    F( x)    X( x)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2460 . . 3  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 lincscm.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
5 eqid 2460 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6 lincscm.s . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  M )
7 simp1l 1015 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
983ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M )
)
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  R )
11103ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  R
)
127adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
13 elmapi 7430 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
14 ffvelrn 6010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( A `  v
)  e.  R )
1514ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( A `  v
)  e.  R ) )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
18173ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v )  e.  R
) )
1918imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( A `  v )  e.  R
)
20 elelpwi 4014 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  v  e.  (
Base `  M )
)
2120expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
23223ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  v  e.  ( Base `  M )
) )
2423imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  ( Base `  M )
)
25 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
261, 2, 25, 3lmodvscl 17305 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  ( Base `  M
) )
2712, 19, 24, 26syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v )  e.  ( Base `  M
) )
282, 3scmfsupp 31919 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
29283adant2r 1218 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 17350 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) )  =  ( S 
.xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) ) )
312lmodrng 17296 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
33323ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
353eleq2i 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  R  <->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  R  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
38373ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
3938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
40 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
4140, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4313, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
45443ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
47 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
48 lincscm.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
4947, 48rngcl 16992 . . . . . . 7  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) )  /\  ( A `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
5034, 39, 46, 49syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( S  .x.  ( A `  x
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
51 lincscm.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
5250, 51fmptd 6036 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
53 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
54 elmapg 7423 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
5553, 9, 54sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
5652, 55mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
57 lincval 31958 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
587, 56, 9, 57syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
59 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  V )
60 ovex 6300 . . . . . . . 8  |-  ( S 
.x.  ( A `  v ) )  e. 
_V
61 fveq2 5857 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( A `  x )  =  ( A `  v ) )
6261oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  =  ( S  .x.  ( A `  v )
) )
6362, 51fvmptg 5939 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  ( S  .x.  ( A `
 v ) )  e.  _V )  -> 
( F `  v
)  =  ( S 
.x.  ( A `  v ) ) )
6459, 60, 63sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( F `  v )  =  ( S  .x.  ( A `
 v ) ) )
6564oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v ) )
6611adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  S  e.  R )
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 17313 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  e.  R  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
696eqcomi 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  M )  = 
.xb
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( .s `  M )  =  .xb  )
7170oveqd 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S
( .s `  M
) ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7268, 71eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S  .xb  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v ) ) )
7365, 72eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7473mpteq2dva 4526 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) )
7574oveq2d 6291 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
7658, 75eqtrd 2501 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
77 lincscm.x . . . . 5  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
7877a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( A ( linC  `  M
) V ) )
793oveq1i 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
8079eleq2i 2538 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8180biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8281adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  A  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
83823ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
84 lincval 31958 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
857, 83, 9, 84syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
8678, 85eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
8786oveq2d 6291 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( S  .xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
8830, 76, 873eqtr4rd 2512 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Ringcrg 16979   LModclmod 17288   linC clinc 31953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-ghm 16053  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-lmod 17290  df-linc 31955
This theorem is referenced by:  lincscmcl  31981
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