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Theorem lincscm 38542
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s  |-  .xb  =  ( .s `  M )
lincscm.t  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
lincscm.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincscm.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincscm.f  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
Assertion
Ref Expression
lincscm  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, R    x, S    x, V    x,  .x.
Allowed substitution hints:    .xb ( x)    F( x)    X( x)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 lincscm.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6 lincscm.s . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  M )
7 simp1l 1021 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
983ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M )
)
10 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  R )
11103ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  R
)
127adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
13 elmapi 7478 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
14 ffvelrn 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( A `  v
)  e.  R )
1514ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
1613, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( A `  v
)  e.  R ) )
1716adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
18173ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v )  e.  R
) )
1918imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( A `  v )  e.  R
)
20 elelpwi 3966 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  v  e.  (
Base `  M )
)
2120expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
2221adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
23223ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  v  e.  ( Base `  M )
) )
2423imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  ( Base `  M )
)
25 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
261, 2, 25, 3lmodvscl 17849 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  ( Base `  M
) )
2712, 19, 24, 26syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v )  e.  ( Base `  M
) )
282, 3scmfsupp 38482 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
29283adant2r 1225 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 17894 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) )  =  ( S 
.xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) ) )
312lmodring 17840 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3231adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
33323ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3433adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
353eleq2i 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  R  <->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  R  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
3736adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
38373ad2ant2 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
3938adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
40 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
4140, 3syl6eleq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
4241ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4443adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
45443ad2ant2 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
4645imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
47 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
48 lincscm.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
4947, 48ringcl 17532 . . . . . . 7  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) )  /\  ( A `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
5034, 39, 46, 49syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( S  .x.  ( A `  x
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
51 lincscm.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
5250, 51fmptd 6033 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
53 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
54 elmapg 7470 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
5553, 9, 54sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
5652, 55mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
57 lincval 38521 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
587, 56, 9, 57syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
59 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  V )
60 ovex 6306 . . . . . . . 8  |-  ( S 
.x.  ( A `  v ) )  e. 
_V
61 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( A `  x )  =  ( A `  v ) )
6261oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  =  ( S  .x.  ( A `  v )
) )
6362, 51fvmptg 5930 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  ( S  .x.  ( A `
 v ) )  e.  _V )  -> 
( F `  v
)  =  ( S 
.x.  ( A `  v ) ) )
6459, 60, 63sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( F `  v )  =  ( S  .x.  ( A `
 v ) ) )
6564oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v ) )
6611adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  S  e.  R )
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 17857 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  e.  R  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
696eqcomi 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  M )  = 
.xb
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( .s `  M )  =  .xb  )
7170oveqd 6295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S
( .s `  M
) ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7268, 71eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S  .xb  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v ) ) )
7365, 72eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7473mpteq2dva 4481 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) )
7574oveq2d 6294 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
7658, 75eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
77 lincscm.x . . . . 5  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
7877a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( A ( linC  `  M
) V ) )
793oveq1i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
8079eleq2i 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8180biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8281adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  A  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
83823ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
84 lincval 38521 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
857, 83, 9, 84syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
8678, 85eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
8786oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( S  .xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
8830, 76, 873eqtr4rd 2454 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   finSupp cfsupp 7863   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   .rcmulr 14910  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Ringcrg 17518   LModclmod 17832   linC clinc 38516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-linc 38518
This theorem is referenced by:  lincscmcl  38544
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