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Theorem lincscm 31068
Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s  |-  .xb  =  ( .s `  M )
lincscm.t  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
lincscm.x  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
lincscm.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincscm.f  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
Assertion
Ref Expression
lincscm  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, R    x, S    x, V    x,  .x.
Allowed substitution hints:    .xb ( x)    F( x)    X( x)

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
2 eqid 2451 . . 3  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
3 lincscm.r . . 3  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
4 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
5 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6 lincscm.s . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  M )
7 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  M  e.  LMod )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
983ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M )
)
10 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  R )
11103ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  R
)
127adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
13 elmapi 7331 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A : V --> R )
14 ffvelrn 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( A `  v
)  e.  R )
1514ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( A `  v
)  e.  R ) )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v
)  e.  R ) )
18173ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  ( A `  v )  e.  R
) )
1918imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( A `  v )  e.  R
)
20 elelpwi 3966 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  v  e.  (
Base `  M )
)
2120expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  ( Base `  M ) ) )
23223ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  ->  v  e.  ( Base `  M )
) )
2423imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  ( Base `  M )
)
25 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
261, 2, 25, 3lmodvscl 17068 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  ( Base `  M
) )
2712, 19, 24, 26syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v )  e.  ( Base `  M
) )
282, 3scmfsupp 30927 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  A  e.  ( R  ^m  V )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
29283adant2r 1214 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 17112 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) )  =  ( S 
.xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) ) )
312lmodrng 17059 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
33323ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
353eleq2i 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  R  <->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  R  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
38373ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  S  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
3938adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
40 ffvelrn 5937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  R )
4140, 3syl6eleq 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : V --> R  /\  x  e.  V )  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : V --> R  -> 
( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4313, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
x  e.  V  -> 
( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
45443ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( x  e.  V  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
4645imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( A `  x )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
47 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
48 lincscm.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  (Scalar `  M ) )
4947, 48rngcl 16761 . . . . . . 7  |-  ( ( (Scalar `  M )  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) )  /\  ( A `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
5034, 39, 46, 49syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( S  .x.  ( A `  x
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
51 lincscm.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  ( S  .x.  ( A `  x )
) )
5250, 51fmptd 5963 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
53 fvex 5796 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
54 elmapg 7324 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
5553, 9, 54sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
5652, 55mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
57 lincval 31047 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
587, 56, 9, 57syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
59 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  V )
60 ovex 6212 . . . . . . . 8  |-  ( S 
.x.  ( A `  v ) )  e. 
_V
61 fveq2 5786 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  v  ->  ( A `  x )  =  ( A `  v ) )
6261oveq2d 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  v  ->  ( S  .x.  ( A `  x ) )  =  ( S  .x.  ( A `  v )
) )
6362, 51fvmptg 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  V  /\  ( S  .x.  ( A `
 v ) )  e.  _V )  -> 
( F `  v
)  =  ( S 
.x.  ( A `  v ) ) )
6459, 60, 63sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( F `  v )  =  ( S  .x.  ( A `
 v ) ) )
6564oveq1d 6202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v ) )
6611adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  S  e.  R )
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 17076 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  e.  R  /\  ( A `  v )  e.  R  /\  v  e.  ( Base `  M
) ) )  -> 
( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S ( .s `  M ) ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )
696eqcomi 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
`  M )  = 
.xb
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( .s `  M )  =  .xb  )
7170oveqd 6204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S
( .s `  M
) ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7268, 71eqtrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S  .x.  ( A `  v ) ) ( .s `  M ) v )  =  ( S  .xb  ( ( A `  v )
( .s `  M
) v ) ) )
7365, 72eqtrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( F `  v )
( .s `  M
) v )  =  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) )
7473mpteq2dva 4473 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( v  e.  V  |->  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) )
7574oveq2d 6203 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S  .xb  (
( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
7658, 75eqtrd 2491 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( S 
.xb  ( ( A `
 v ) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
77 lincscm.x . . . . 5  |-  X  =  ( A ( linC  `  M ) V )
7877a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( A ( linC  `  M
) V ) )
793oveq1i 6197 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
8079eleq2i 2527 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  <->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8180biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( R  ^m  V )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
8281adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( R  ^m  V )  /\  S  e.  R )  ->  A  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
83823ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
84 lincval 31047 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
857, 83, 9, 84syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( A ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
8678, 85eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  X  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
8786oveq2d 6203 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( S  .xb  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( A `  v
) ( .s `  M ) v ) ) ) ) )
8830, 76, 873eqtr4rd 2502 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( A  e.  ( R  ^m  V
)  /\  S  e.  R )  /\  A finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )  ->  ( S  .xb  X )  =  ( F ( linC  `  M
) V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3065   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4387    |-> cmpt 4445   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    ^m cmap 7311   finSupp cfsupp 7718   Basecbs 14273   +g cplusg 14337   .rcmulr 14338  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   0gc0g 14477    gsumg cgsu 14478   Ringcrg 16748   LModclmod 17051   linC clinc 31042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-supp 6788  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-fsupp 7719  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-hash 12202  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-plusg 14350  df-0g 14479  df-gsum 14480  df-mnd 15514  df-mhm 15563  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-ghm 15844  df-cntz 15934  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-lmod 17053  df-linc 31044
This theorem is referenced by:  lincscmcl  31070
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