Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincscm Structured version   Unicode version

Theorem lincscm 38542
 Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscm.s
lincscm.t Scalar
lincscm.x linC
lincscm.r Scalar
lincscm.f
Assertion
Ref Expression
lincscm finSupp Scalar linC
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lincscm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3
2 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
3 lincscm.r . . 3 Scalar
4 eqid 2402 . . 3
5 eqid 2402 . . 3
6 lincscm.s . . 3
7 simp1l 1021 . . 3 finSupp Scalar
8 simpr 459 . . . 4
983ad2ant1 1018 . . 3 finSupp Scalar
10 simpr 459 . . . 4
11103ad2ant2 1019 . . 3 finSupp Scalar
127adantr 463 . . . 4 finSupp Scalar
13 elmapi 7478 . . . . . . . 8
14 ffvelrn 6007 . . . . . . . . 9
1514ex 432 . . . . . . . 8
1613, 15syl 17 . . . . . . 7
1716adantr 463 . . . . . 6
18173ad2ant2 1019 . . . . 5 finSupp Scalar
1918imp 427 . . . 4 finSupp Scalar
20 elelpwi 3966 . . . . . . . 8
2120expcom 433 . . . . . . 7
2221adantl 464 . . . . . 6
23223ad2ant1 1018 . . . . 5 finSupp Scalar
2423imp 427 . . . 4 finSupp Scalar
25 eqid 2402 . . . . 5
261, 2, 25, 3lmodvscl 17849 . . . 4
2712, 19, 24, 26syl3anc 1230 . . 3 finSupp Scalar
282, 3scmfsupp 38482 . . . 4 finSupp Scalar finSupp
29283adant2r 1225 . . 3 finSupp Scalar finSupp
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29gsumvsmul 17894 . 2 finSupp Scalar g g
312lmodring 17840 . . . . . . . . . 10 Scalar
3231adantr 463 . . . . . . . . 9 Scalar
33323ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 finSupp Scalar Scalar
3433adantr 463 . . . . . . 7 finSupp Scalar Scalar
353eleq2i 2480 . . . . . . . . . . 11 Scalar
3635biimpi 194 . . . . . . . . . 10 Scalar
3736adantl 464 . . . . . . . . 9 Scalar
38373ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 finSupp Scalar Scalar
3938adantr 463 . . . . . . 7 finSupp Scalar Scalar
40 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . . 13
4140, 3syl6eleq 2500 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4241ex 432 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 Scalar
4443adantr 463 . . . . . . . . 9 Scalar
45443ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 finSupp Scalar Scalar
4645imp 427 . . . . . . 7 finSupp Scalar Scalar
47 eqid 2402 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
48 lincscm.t . . . . . . . 8 Scalar
4947, 48ringcl 17532 . . . . . . 7 Scalar Scalar Scalar Scalar
5034, 39, 46, 49syl3anc 1230 . . . . . 6 finSupp Scalar Scalar
51 lincscm.f . . . . . 6
5250, 51fmptd 6033 . . . . 5 finSupp Scalar Scalar
53 fvex 5859 . . . . . 6 Scalar
54 elmapg 7470 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar
5553, 9, 54sylancr 661 . . . . 5 finSupp Scalar Scalar Scalar
5652, 55mpbird 232 . . . 4 finSupp Scalar Scalar
57 lincval 38521 . . . 4 Scalar linC g
587, 56, 9, 57syl3anc 1230 . . 3 finSupp Scalar linC g
59 simpr 459 . . . . . . . 8 finSupp Scalar
60 ovex 6306 . . . . . . . 8
61 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10
6261oveq2d 6294 . . . . . . . . 9
6362, 51fvmptg 5930 . . . . . . . 8
6459, 60, 63sylancl 660 . . . . . . 7 finSupp Scalar
6564oveq1d 6293 . . . . . 6 finSupp Scalar
6611adantr 463 . . . . . . . 8 finSupp Scalar
671, 2, 25, 3, 48lmodvsass 17857 . . . . . . . 8
6812, 66, 19, 24, 67syl13anc 1232 . . . . . . 7 finSupp Scalar
696eqcomi 2415 . . . . . . . . 9
7069a1i 11 . . . . . . . 8 finSupp Scalar
7170oveqd 6295 . . . . . . 7 finSupp Scalar
7268, 71eqtrd 2443 . . . . . 6 finSupp Scalar
7365, 72eqtrd 2443 . . . . 5 finSupp Scalar
7473mpteq2dva 4481 . . . 4 finSupp Scalar
7574oveq2d 6294 . . 3 finSupp Scalar g g
7658, 75eqtrd 2443 . 2 finSupp Scalar linC g
77 lincscm.x . . . . 5 linC
7877a1i 11 . . . 4 finSupp Scalar linC
793oveq1i 6288 . . . . . . . . 9 Scalar
8079eleq2i 2480 . . . . . . . 8 Scalar
8180biimpi 194 . . . . . . 7 Scalar
8281adantr 463 . . . . . 6 Scalar
83823ad2ant2 1019 . . . . 5 finSupp Scalar Scalar
84 lincval 38521 . . . . 5 Scalar linC g
857, 83, 9, 84syl3anc 1230 . . . 4 finSupp Scalar linC g
8678, 85eqtrd 2443 . . 3 finSupp Scalar g
8786oveq2d 6294 . 2 finSupp Scalar g
8830, 76, 873eqtr4rd 2454 1 finSupp Scalar linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059  cpw 3955   class class class wbr 4395   cmpt 4453  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmap 7457   finSupp cfsupp 7863  cbs 14841   cplusg 14909  cmulr 14910  Scalarcsca 14912  cvsca 14913  c0g 15054   g cgsu 15055  crg 17518  clmod 17832   linC clinc 38516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-lmod 17834  df-linc 38518 This theorem is referenced by:  lincscmcl  38544
 Copyright terms: Public domain W3C validator