Theorem lincresunit3lem3 30832

Description: Lemma 3 for lincresunit3 30839. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit3lem3.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit3lem3.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit3lem3.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit3lem3.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit3lem3.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	|- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 980	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. LMod /\ X e. B ) )
2	1	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ X e. B ) )
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
6		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 16956	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
8	2, 7	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
9	4	lmodrng 16936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
10	9	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
11	10	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> R e. Ring )
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = (Unit ` R )
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( invg ` R )
14	12, 13	unitnegcl 16763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
15	9, 14	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
16	15	3ad2antl1 1145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
17	11, 16	jca 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) )
18		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
19		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 16759	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
21	17, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
22	21	eqcomd 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( 1r ` R ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) )
23	22	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
24	8, 23	eqtr3d 2475	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> X = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
25	24	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> X = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
26		simpl1 986	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> M e. LMod )
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( Base ` R )
28	12, 18, 27	rnginvcl 16758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E )
29	17, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E )
30	4	lmodfgrp 16937	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
32	27, 12	unitcl 16741	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. U -> A e. E )
33	27, 13	grpinvcl 15576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Grp /\ A e. E ) -> ( N ` A ) e. E )
34	31, 32, 33	syl2an 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. E )
35		simpl2 987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> X e. B )
36	29, 34, 35	3jca 1163	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) )
37	26, 36	jca 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) )
38	37	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) )
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 16953	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) )
41		oveq2 6098	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
42	41	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
43	26	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> M e. LMod )
44		simpl3 988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> Y e. B )
45	29, 34, 44	3jca 1163	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) )
46	45	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) )
47	43, 46	jca 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) ) )
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 16953	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
50	17	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) )
51	50, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
52	51	oveq1d 6105	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
53	49, 52	eqtr3d 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
54	40, 42, 53	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
55		3simpb 981	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
56	55	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
57	56	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 16956	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
59	57, 58	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
60	25, 54, 59	3eqtrd 2477	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> X = Y )
61	60	ex 434	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) -> X = Y ) )
62		oveq2 6098	. 2 |- ( X = Y -> ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
63	61, 62	impbid1 203	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   1rcur 16593   Ringcrg 16635  Unitcui 16721   invrcinvr 16753   LModclmod 16928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-lmod 16930

This theorem is referenced by:  lincresunit3  30839