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Theorem lincresunit3lem3 32945
Description: Lemma 3 for lincresunit3 32952. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit3lem3.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit3lem3.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit3lem3.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit3lem3.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit3lem3.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit3lem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lincresunit3lem3
StepHypRef Expression
1 3simpa 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B ) )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B ) )
3 lincresunit3lem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 lincresunit3lem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
5 lincresunit3lem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
73, 4, 5, 6lmodvs1 17519 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  X )  =  X )
94lmodring 17499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
1093ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
12 lincresunit3lem3.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  (Unit `  R )
13 lincresunit3lem3.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( invg `  R )
1412, 13unitnegcl 17309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( N `  A )  e.  U )
159, 14sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  U )  ->  ( N `  A )  e.  U )
16153ad2antl1 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  U
)
1711, 16jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U
) )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2012, 18, 19, 6unitlinv 17305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) )  =  ( 1r `  R ) )
2117, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  =  ( 1r
`  R ) )
2221eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( ( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) ) )
2322oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  X )  =  ( ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
) ( .r `  R ) ( N `
 A ) ) 
.x.  X ) )
248, 23eqtr3d 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  X  =  ( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  X  =  ( (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) )  .x.  X
) )
26 simpl1 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  M  e.  LMod )
27 lincresunit3lem3.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( Base `  R
)
2812, 18, 27ringinvcl 17304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E
)
2917, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( invr `  R ) `  ( N `  A ) )  e.  E )
304lmodfgrp 17500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
31303ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
3227, 12unitcl 17287 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  E )
3327, 13grpinvcl 16074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  E )  ->  ( N `  A
)  e.  E )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  E
)
35 simpl2 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  X  e.  B )
3629, 34, 353jca 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  X  e.  B )
)
3726, 36jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  X  e.  B )
) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  X  e.  B ) ) )
393, 4, 5, 27, 19lmodvsass 17516 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  e.  E  /\  ( N `
 A )  e.  E  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  X )
) )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  X )
) )
41 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  ->  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  .x.  ( ( N `  A )  .x.  X
) )  =  ( ( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  X ) )  =  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y ) ) )
4326adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  M  e.  LMod )
44 simpl3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  Y  e.  B )
4529, 34, 443jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  Y  e.  B )
)
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) )
4743, 46jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) ) )
483, 4, 5, 27, 19lmodvsass 17516 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  e.  E  /\  ( N `
 A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  Y )
) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  Y )
) )
5017adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  ( N `  A
)  e.  U ) )
5150, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
) ( .r `  R ) ( N `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
5251oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y ) )
5349, 52eqtr3d 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y ) )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
5440, 42, 533eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y ) )
55 3simpb 995 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
583, 4, 5, 6lmodvs1 17519 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
5957, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( 1r `  R )  .x.  Y
)  =  Y )
6025, 54, 593eqtrd 2488 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  X  =  Y )
6160ex 434 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  ->  X  =  Y ) )
62 oveq2 6289 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
6361, 62impbid1 203 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   .rcmulr 14680  Scalarcsca 14682   .scvsca 14683   Grpcgrp 16032   invgcminusg 16033   1rcur 17132   Ringcrg 17177  Unitcui 17267   invrcinvr 17299   LModclmod 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-lmod 17493
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