Theorem lincresunit3lem3 31122

Description: Lemma 3 for lincresunit3 31129. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit3lem3.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit3lem3.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit3lem3.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit3lem3.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit3lem3.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	|- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 985	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. LMod /\ X e. B ) )
2	1	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ X e. B ) )
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
6		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 17094	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
8	2, 7	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = X )
9	4	lmodrng 17074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
10	9	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> R e. Ring )
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = (Unit ` R )
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( invg ` R )
14	12, 13	unitnegcl 16891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
15	9, 14	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
16	15	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. U )
17	11, 16	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) )
18		eqid 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
19		eqid 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 16887	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
21	17, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
22	21	eqcomd 2460	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( 1r ` R ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) )
23	22	oveq1d 6210	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( 1r ` R ) .x. X ) = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
24	8, 23	eqtr3d 2495	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> X = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
25	24	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> X = ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) )
26		simpl1 991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> M e. LMod )
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = ( Base ` R )
28	12, 18, 27	rnginvcl 16886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E )
29	17, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E )
30	4	lmodfgrp 17075	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
32	27, 12	unitcl 16869	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. U -> A e. E )
33	27, 13	grpinvcl 15697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Grp /\ A e. E ) -> ( N ` A ) e. E )
34	31, 32, 33	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( N ` A ) e. E )
35		simpl2 992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> X e. B )
36	29, 34, 35	3jca 1168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) )
37	26, 36	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) )
38	37	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) )
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 17091	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) )
41		oveq2 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
42	41	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. X ) ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
43	26	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> M e. LMod )
44		simpl3 993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> Y e. B )
45	29, 34, 44	3jca 1168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) )
46	45	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) )
47	43, 46	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) ) )
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 17091	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) e. E /\ ( N ` A ) e. E /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
50	17	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( R e. Ring /\ ( N ` A ) e. U ) )
51	50, 20	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
52	51	oveq1d 6210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
53	49, 52	eqtr3d 2495	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) .x. ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
54	40, 42, 53	3eqtrd 2497	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( ( ( invr ` R ) ` ( N ` A ) ) ( .r ` R ) ( N ` A ) ) .x. X ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
55		3simpb 986	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
56	55	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
57	56	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 17094	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
59	57, 58	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
60	25, 54, 59	3eqtrd 2497	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) /\ ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) ) -> X = Y )
61	60	ex 434	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) -> X = Y ) )
62		oveq2 6203	. 2 |- ( X = Y -> ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) )
63	61, 62	impbid1 203	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ A e. U ) -> ( ( ( N ` A ) .x. X ) = ( ( N ` A ) .x. Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   .rcmulr 14353  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   Grpcgrp 15524   invgcminusg 15525   1rcur 16720   Ringcrg 16763  Unitcui 16849   invrcinvr 16881   LModclmod 17066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-lmod 17068

This theorem is referenced by:  lincresunit3  31129