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Theorem lincresunit3lem3 32174
Description: Lemma 3 for lincresunit3 32181. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit3lem3.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit3lem3.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit3lem3.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit3lem3.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit3lem3.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit3lem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lincresunit3lem3
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B ) )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B ) )
3 lincresunit3lem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
4 lincresunit3lem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
5 lincresunit3lem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
73, 4, 5, 6lmodvs1 17340 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  X )  =  X )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  X )  =  X )
94lmodrng 17320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
1093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
12 lincresunit3lem3.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  (Unit `  R )
13 lincresunit3lem3.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( invg `  R )
1412, 13unitnegcl 17131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( N `  A )  e.  U )
159, 14sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  A  e.  U )  ->  ( N `  A )  e.  U )
16153ad2antl1 1158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  U
)
1711, 16jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U
) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
19 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
2012, 18, 19, 6unitlinv 17127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) )  =  ( 1r `  R ) )
2117, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  =  ( 1r
`  R ) )
2221eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1r `  R )  =  ( ( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) ) )
2322oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( 1r `  R )  .x.  X )  =  ( ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
) ( .r `  R ) ( N `
 A ) ) 
.x.  X ) )
248, 23eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  X  =  ( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  X  =  ( (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) ) ( .r `  R ) ( N `  A
) )  .x.  X
) )
26 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  M  e.  LMod )
27 lincresunit3lem3.e . . . . . . . . . . 11  |-  E  =  ( Base `  R
)
2812, 18, 27rnginvcl 17126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  A )  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E
)
2917, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( invr `  R ) `  ( N `  A ) )  e.  E )
304lmodfgrp 17321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
31303ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
3227, 12unitcl 17109 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  E )
3327, 13grpinvcl 15905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  A  e.  E )  ->  ( N `  A
)  e.  E )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  E
)
35 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  X  e.  B )
3629, 34, 353jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  X  e.  B )
)
3726, 36jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  X  e.  B )
) )
3837adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  X  e.  B ) ) )
393, 4, 5, 27, 19lmodvsass 17337 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  e.  E  /\  ( N `
 A )  e.  E  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  X )
) )
4038, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  X )
) )
41 oveq2 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  ->  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  .x.  ( ( N `  A )  .x.  X
) )  =  ( ( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  X ) )  =  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y ) ) )
4326adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  M  e.  LMod )
44 simpl3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  Y  e.  B )
4529, 34, 443jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( invr `  R ) `  ( N `  A
) )  e.  E  /\  ( N `  A
)  e.  E  /\  Y  e.  B )
)
4645adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) )
4743, 46jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  ( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  e.  E  /\  ( N `  A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) ) )
483, 4, 5, 27, 19lmodvsass 17337 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  R
) `  ( N `  A ) )  e.  E  /\  ( N `
 A )  e.  E  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  Y )
) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) )  .x.  (
( N `  A
)  .x.  Y )
) )
5017adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  ( N `  A
)  e.  U ) )
5150, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
) ( .r `  R ) ( N `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
5251oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  Y )  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y ) )
5349, 52eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( invr `  R ) `  ( N `  A )
)  .x.  ( ( N `  A )  .x.  Y ) )  =  ( ( 1r `  R )  .x.  Y
) )
5440, 42, 533eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( ( (
invr `  R ) `  ( N `  A
) ) ( .r
`  R ) ( N `  A ) )  .x.  X )  =  ( ( 1r
`  R )  .x.  Y ) )
55 3simpb 994 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B ) )
583, 4, 5, 6lmodvs1 17340 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .x.  Y )  =  Y )
5957, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  -> 
( ( 1r `  R )  .x.  Y
)  =  Y )
6025, 54, 593eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  A  e.  U )  /\  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )  ->  X  =  Y )
6160ex 434 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  ->  X  =  Y ) )
62 oveq2 6292 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
6361, 62impbid1 203 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
( N `  A
)  .x.  X )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   Grpcgrp 15727   invgcminusg 15728   1rcur 16955   Ringcrg 17000  Unitcui 17089   invrcinvr 17121   LModclmod 17312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-lmod 17314
This theorem is referenced by:  lincresunit3  32181
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