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Theorem lincresunit3lem2 32816
Description: Lemma 2 for lincresunit3 32817. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s, B   
z, E    z, F    z, G    z, M    z, N    z, R    z, S    z, U    z, X    z, Z    .0. , s, z
Allowed substitution hints:    R( s)    .x. ( z)    G( s)    I( z)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1001 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Base `  R
)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2472 . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( E  ^m  S )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S )
76eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
983ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
11 difssd 3617 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  S )
12 elmapssres 7445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  S
)  /\  ( S  \  { X } ) 
C_  S )  -> 
( F  |`  ( S  \  { X }
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
14 elpwi 4006 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
1514ssdifssd 3627 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
16 difexg 4585 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
17 elpwg 4005 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincresunit.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2120pweqi 4001 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2219, 21eleq2s 2551 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
23223ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
25 lincval 32745 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
261, 13, 24, 25syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
27 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
28 simplr1 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
29 simplr2 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
31 lincresunit.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
32 lincresunit.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
33 lincresunit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
34 lincresunit.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
35 lincresunit.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
36 lincresunit.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
37 lincresunit.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 32815 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
40 fvres 5870 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4241eqcomd 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) )
4342oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) )
4439, 43eqtrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) )
4544mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) )
4645oveq2d 6297 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
47 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
48 eqid 2443 . . 3  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
49 difexg 4585 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
50493ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
5150adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
523lmodfgrp 17395 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
53523ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
5453adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  R  e.  Grp )
55 elmapi 7442 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
56 ffvelrn 6014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
5756expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( F : S --> E  -> 
( F `  X
)  e.  E ) )
58573ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F : S
--> E  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
5955, 58syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
6059impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
612, 34grpinvcl 15969 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( N `  ( F `  X
) )  e.  E
)
63623ad2antr1 1162 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
641adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 32813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
66653adantr3 1158 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
67 elmapi 7442 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
68 ffvelrn 6014 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
6968ex 434 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7066, 67, 693syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7170imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
72 elpwi 4006 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
73 eldifi 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
74 ssel2 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
7574expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7772, 76syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
78773ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
8079imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B )
8120, 3, 48, 2lmodvscl 17403 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  z )  e.  E  /\  z  e.  B )  ->  (
( G `  z
) ( .s `  M ) z )  e.  B )
8264, 71, 80, 81syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  e.  B )
83 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
8483, 23jca 532 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8584adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 32814 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
8786, 32syl6breq 4476 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
883, 2scmfsupp 32706 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
8988, 33syl6breqr 4477 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9085, 66, 87, 89syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 17448 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
9226, 46, 913eqtr2rd 2491 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928  Unitcui 17162   invrcinvr 17194   LModclmod 17386   linC clinc 32740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-lmod 17388  df-linc 32742
This theorem is referenced by:  lincresunit3  32817
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