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Theorem lincresunit3lem2 30838
Description: Lemma 2 for lincresunit3 30839. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s, B   
z, E    z, F    z, G    z, M    z, N    z, R    z, S    z, U    z, X    z, Z    .0. , s, z
Allowed substitution hints:    R( s)    .x. ( z)    G( s)    I( z)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 987 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Base `  R
)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6100 . . . . . . . 8  |-  ( E  ^m  S )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S )
76eleq2i 2505 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
983ad2ant1 1004 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
109adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
11 difssd 3481 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  S )
12 elmapssres 7233 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  S
)  /\  ( S  \  { X } ) 
C_  S )  -> 
( F  |`  ( S  \  { X }
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
14 elpwi 3866 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
1514ssdifssd 3491 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
16 difexg 4437 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
17 elpwg 3865 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincresunit.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2120pweqi 3861 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2219, 21eleq2s 2533 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
23223ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
2423adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
25 lincval 30767 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
261, 13, 24, 25syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
27 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
28 simplr1 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
29 simplr2 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
30 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
31 lincresunit.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
32 lincresunit.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
33 lincresunit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
34 lincresunit.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
35 lincresunit.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
36 lincresunit.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
37 lincresunit.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 30837 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
40 fvres 5701 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4140adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4241eqcomd 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) )
4342oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) )
4439, 43eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) )
4544mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) )
4645oveq2d 6106 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
47 eqid 2441 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
48 eqid 2441 . . 3  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
49 difexg 4437 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
50493ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
5150adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
523lmodfgrp 16937 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
53523ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
5453adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  R  e.  Grp )
55 elmapi 7230 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
56 ffvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
5756expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( F : S --> E  -> 
( F `  X
)  e.  E ) )
58573ad2ant3 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F : S
--> E  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
5955, 58syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
6059impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
612, 34grpinvcl 15576 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
6254, 60, 61syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( N `  ( F `  X
) )  e.  E
)
63623ad2antr1 1148 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
641adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 30835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
66653adantr3 1144 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
67 elmapi 7230 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
68 ffvelrn 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
6968ex 434 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7066, 67, 693syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7170imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
72 elpwi 3866 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
73 eldifi 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
74 ssel2 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
7574expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7772, 76syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
78773ad2ant1 1004 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
7978adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
8079imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B )
8120, 3, 48, 2lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  z )  e.  E  /\  z  e.  B )  ->  (
( G `  z
) ( .s `  M ) z )  e.  B )
8264, 71, 80, 81syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  e.  B )
83 simp2 984 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
8483, 23jca 529 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8584adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 30836 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
8786, 32syl6breq 4328 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
883, 2scmfsupp 30691 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
8988, 33syl6breqr 4329 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9085, 66, 87, 89syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 16989 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
9226, 46, 913eqtr2rd 2480 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  Unitcui 16721   invrcinvr 16753   LModclmod 16928   linC clinc 30762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-lmod 16930  df-linc 30764
This theorem is referenced by:  lincresunit3  30839
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