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Theorem lincresunit3lem2 32455
Description: Lemma 2 for lincresunit3 32456. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s, B   
z, E    z, F    z, G    z, M    z, N    z, R    z, S    z, U    z, X    z, Z    .0. , s, z
Allowed substitution hints:    R( s)    .x. ( z)    G( s)    I( z)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Base `  R
)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6304 . . . . . . . 8  |-  ( E  ^m  S )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S )
76eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
983ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
11 difssd 3637 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  S )
12 elmapssres 7453 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  S
)  /\  ( S  \  { X } ) 
C_  S )  -> 
( F  |`  ( S  \  { X }
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
14 elpwi 4024 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
1514ssdifssd 3647 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
16 difexg 4600 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
17 elpwg 4023 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincresunit.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2120pweqi 4019 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2219, 21eleq2s 2575 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
23223ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
25 lincval 32384 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
261, 13, 24, 25syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
27 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
28 simplr1 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
29 simplr2 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
31 lincresunit.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
32 lincresunit.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
33 lincresunit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
34 lincresunit.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
35 lincresunit.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
36 lincresunit.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
37 lincresunit.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 32454 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
40 fvres 5885 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4241eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) )
4342oveq1d 6309 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) )
4439, 43eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) )
4544mpteq2dva 4538 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) )
4645oveq2d 6310 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
47 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
48 eqid 2467 . . 3  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
49 difexg 4600 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
50493ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
5150adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
523lmodfgrp 17369 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
53523ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
5453adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  R  e.  Grp )
55 elmapi 7450 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
56 ffvelrn 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
5756expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( F : S --> E  -> 
( F `  X
)  e.  E ) )
58573ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F : S
--> E  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
5955, 58syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
6059impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
612, 34grpinvcl 15944 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( N `  ( F `  X
) )  e.  E
)
63623ad2antr1 1161 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
641adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 32452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
66653adantr3 1157 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
67 elmapi 7450 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
68 ffvelrn 6029 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
6968ex 434 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7066, 67, 693syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7170imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
72 elpwi 4024 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
73 eldifi 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
74 ssel2 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
7574expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7772, 76syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
78773ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
8079imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B )
8120, 3, 48, 2lmodvscl 17377 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  z )  e.  E  /\  z  e.  B )  ->  (
( G `  z
) ( .s `  M ) z )  e.  B )
8264, 71, 80, 81syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  e.  B )
83 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
8483, 23jca 532 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8584adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 32453 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
8786, 32syl6breq 4491 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
883, 2scmfsupp 32345 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
8988, 33syl6breqr 4492 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9085, 66, 87, 89syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 17422 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
9226, 46, 913eqtr2rd 2515 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510    |` cres 5006   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   finSupp cfsupp 7839   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   Grpcgrp 15902   invgcminusg 15903  Unitcui 17137   invrcinvr 17169   LModclmod 17360   linC clinc 32379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-lmod 17362  df-linc 32381
This theorem is referenced by:  lincresunit3  32456
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