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Theorem lincresunit3lem2 31014
Description: Lemma 2 for lincresunit3 31015. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s, B   
z, E    z, F    z, G    z, M    z, N    z, R    z, S    z, U    z, X    z, Z    .0. , s, z
Allowed substitution hints:    R( s)    .x. ( z)    G( s)    I( z)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  ( Base `  R
)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6101 . . . . . . . 8  |-  ( E  ^m  S )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S )
76eleq2i 2507 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
983ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) )
11 difssd 3484 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  S )
12 elmapssres 7237 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  S
)  /\  ( S  \  { X } ) 
C_  S )  -> 
( F  |`  ( S  \  { X }
) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
14 elpwi 3869 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
1514ssdifssd 3494 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
16 difexg 4440 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
17 elpwg 3868 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
1915, 18mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincresunit.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2120pweqi 3864 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2219, 21eleq2s 2535 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
23223ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
2423adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
25 lincval 30943 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
261, 13, 24, 25syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
27 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
28 simplr1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
29 simplr2 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
31 lincresunit.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
32 lincresunit.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
33 lincresunit.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
34 lincresunit.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( invg `  R )
35 lincresunit.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
36 lincresunit.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
37 lincresunit.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 31013 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
40 fvres 5704 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4140adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z )  =  ( F `  z ) )
4241eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) )
4342oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( F `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) )
4439, 43eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) )
4544mpteq2dva 4378 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) )
4645oveq2d 6107 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
47 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
48 eqid 2443 . . 3  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
49 difexg 4440 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
50493ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
5150adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
523lmodfgrp 16957 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
53523ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
5453adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  R  e.  Grp )
55 elmapi 7234 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
56 ffvelrn 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
5756expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  ( F : S --> E  -> 
( F `  X
)  e.  E ) )
58573ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F : S
--> E  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
5955, 58syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X )  e.  E
) )
6059impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
612, 34grpinvcl 15583 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
6254, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  F  e.  ( E  ^m  S ) )  ->  ( N `  ( F `  X
) )  e.  E
)
63623ad2antr1 1153 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
641adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 31011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
66653adantr3 1149 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
67 elmapi 7234 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
68 ffvelrn 5841 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
6968ex 434 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7066, 67, 693syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
7170imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
72 elpwi 3869 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
73 eldifi 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
74 ssel2 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  B  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
7574expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7673, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  z  e.  B ) )
7772, 76syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
78773ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  ->  z  e.  B ) )
8079imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B )
8120, 3, 48, 2lmodvscl 16965 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  z )  e.  E  /\  z  e.  B )  ->  (
( G `  z
) ( .s `  M ) z )  e.  B )
8264, 71, 80, 81syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  e.  B )
83 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
8483, 23jca 532 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8584adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 31012 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
8786, 32syl6breq 4331 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
883, 2scmfsupp 30792 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
8988, 33syl6breqr 4332 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9085, 66, 87, 89syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) finSupp  Z )
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 17009 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
9226, 46, 913eqtr2rd 2482 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    |` cres 4842   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378    gsumg cgsu 14379   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411  Unitcui 16731   invrcinvr 16763   LModclmod 16948   linC clinc 30938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-lmod 16950  df-linc 30940
This theorem is referenced by:  lincresunit3  31015
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