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Theorem lincresunit3lem1 30854
Description: Lemma 1 for lincresunit3 30856. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s
Allowed substitution hints:    B( z)    R( z, s)    S( z)    .x. ( z)    U( z)    E( z)    F( z)    G( z, s)    I( z)    M( z)    N( z)    X( z)    .0. ( z, s)    Z( z, s)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
3 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( s  =  z  ->  ( F `  s )  =  ( F `  z ) )
43oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) )
54adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) ) )  /\  s  =  z )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
6 simpr3 991 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
7 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  _V )
92, 5, 6, 8fvmptd 5776 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
109oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )
1110oveq2d 6106 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
12 simp2 984 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
1312adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  M  e.  LMod )
14 lincresunit.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  M )
1514lmodfgrp 16937 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
16153ad2ant2 1005 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
17 lincresunit.e . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  R
)
18 lincresunit.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1917, 18unitcl 16741 . . . . 5  |-  ( ( F `  X )  e.  U  ->  ( F `  X )  e.  E )
20193ad2ant2 1005 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  E )
21 lincresunit.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
2217, 21grpinvcl 15576 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
2316, 20, 22syl2an 474 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
24 3simpa 980 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
2524anim2i 566 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) ) )
26 eldifi 3475 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
27263ad2ant3 1006 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  S )
2827adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  S )
29 lincresunit.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
30 lincresunit.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31 lincresunit.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
32 lincresunit.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
33 lincresunit.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3429, 14, 17, 18, 30, 31, 21, 32, 33, 1lincresunitlem2 30851 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
3525, 28, 34syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
36 elpwi 3866 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
3736sseld 3352 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  S  ->  z  e.  B ) )
3826, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
39383ad2ant3 1006 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
4039com12 31 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  z  e.  B ) )
41403ad2ant1 1004 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B ) )
4241imp 429 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  B )
43 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4429, 14, 43, 17, 33lmodvsass 16953 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
4544eqcomd 2446 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4613, 23, 35, 42, 45syl13anc 1215 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4714lmodrng 16936 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
48473ad2ant2 1005 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
4948adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  R  e.  Ring )
50 elmapi 7230 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
51 ffvelrn 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( F : S --> E  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z
)  e.  E )
5250, 26, 51syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F `  z )  e.  E
)
53523adant2 1002 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
5453adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
55 simp2 984 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5655adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5717, 18, 21, 32, 33invginvrid 30689 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  z )  e.  E  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  (
( N `  ( F `  X )
)  .x.  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5958oveq1d 6105 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6011, 46, 593eqtrd 2477 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   ~Pcpw 3857   {csn 3874    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Basecbs 14170   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   Ringcrg 16635  Unitcui 16721   invrcinvr 16753   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  30855
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