Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem1 Structured version   Unicode version

Theorem lincresunit3lem1 31018
Description: Lemma 1 for lincresunit3 31020. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s
Allowed substitution hints:    B( z)    R( z, s)    S( z)    .x. ( z)    U( z)    E( z)    F( z)    G( z, s)    I( z)    M( z)    N( z)    X( z)    .0. ( z, s)    Z( z, s)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
3 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( s  =  z  ->  ( F `  s )  =  ( F `  z ) )
43oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) ) )  /\  s  =  z )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
6 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
7 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  _V )
92, 5, 6, 8fvmptd 5784 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
109oveq1d 6111 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )
1110oveq2d 6112 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
12 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  M  e.  LMod )
14 lincresunit.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  M )
1514lmodfgrp 16962 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
16153ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
17 lincresunit.e . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  R
)
18 lincresunit.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1917, 18unitcl 16756 . . . . 5  |-  ( ( F `  X )  e.  U  ->  ( F `  X )  e.  E )
20193ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  E )
21 lincresunit.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
2217, 21grpinvcl 15588 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
2316, 20, 22syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
24 3simpa 985 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
2524anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) ) )
26 eldifi 3483 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
27263ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  S )
2827adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  S )
29 lincresunit.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
30 lincresunit.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31 lincresunit.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
32 lincresunit.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
33 lincresunit.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3429, 14, 17, 18, 30, 31, 21, 32, 33, 1lincresunitlem2 31015 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
3525, 28, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
36 elpwi 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
3736sseld 3360 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  S  ->  z  e.  B ) )
3826, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
39383ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
4039com12 31 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  z  e.  B ) )
41403ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B ) )
4241imp 429 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  B )
43 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4429, 14, 43, 17, 33lmodvsass 16978 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
4544eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4613, 23, 35, 42, 45syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4714lmodrng 16961 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
48473ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  R  e.  Ring )
50 elmapi 7239 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
51 ffvelrn 5846 . . . . . . 7  |-  ( ( F : S --> E  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z
)  e.  E )
5250, 26, 51syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F `  z )  e.  E
)
53523adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
5453adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
55 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5655adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5717, 18, 21, 32, 33invginvrid 30777 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  z )  e.  E  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  (
( N `  ( F `  X )
)  .x.  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5958oveq1d 6111 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6011, 46, 593eqtrd 2479 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   ~Pcpw 3865   {csn 3882    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Basecbs 14179   .rcmulr 14244  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   Ringcrg 16650  Unitcui 16736   invrcinvr 16768   LModclmod 16953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-lmod 16955
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  31019
  Copyright terms: Public domain W3C validator