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Theorem lincresunit3lem1 32562
Description: Lemma 1 for lincresunit3 32564. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s
Allowed substitution hints:    B( z)    R( z, s)    S( z)    .x. ( z)    U( z)    E( z)    F( z)    G( z, s)    I( z)    M( z)    N( z)    X( z)    .0. ( z, s)    Z( z, s)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
3 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( s  =  z  ->  ( F `  s )  =  ( F `  z ) )
43oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) ) )  /\  s  =  z )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
6 simpr3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
7 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  _V )
92, 5, 6, 8fvmptd 5962 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
109oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )
1110oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
12 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  M  e.  LMod )
14 lincresunit.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  M )
1514lmodfgrp 17392 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
16153ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
17 lincresunit.e . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  R
)
18 lincresunit.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1917, 18unitcl 17180 . . . . 5  |-  ( ( F `  X )  e.  U  ->  ( F `  X )  e.  E )
20193ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  E )
21 lincresunit.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
2217, 21grpinvcl 15967 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
2316, 20, 22syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
24 3simpa 993 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
2524anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) ) )
26 eldifi 3631 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
27263ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  S )
2827adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  S )
29 lincresunit.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
30 lincresunit.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31 lincresunit.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
32 lincresunit.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
33 lincresunit.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3429, 14, 17, 18, 30, 31, 21, 32, 33, 1lincresunitlem2 32559 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
3525, 28, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
36 elpwi 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
3736sseld 3508 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  S  ->  z  e.  B ) )
3826, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
39383ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
4039com12 31 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  z  e.  B ) )
41403ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B ) )
4241imp 429 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  B )
43 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4429, 14, 43, 17, 33lmodvsass 17408 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
4544eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4613, 23, 35, 42, 45syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4714lmodring 17391 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
48473ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
4948adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  R  e.  Ring )
50 elmapi 7452 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
51 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( F : S --> E  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z
)  e.  E )
5250, 26, 51syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F `  z )  e.  E
)
53523adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
5453adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
55 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5655adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5717, 18, 21, 32, 33invginvrid 32440 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  z )  e.  E  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  (
( N `  ( F `  X )
)  .x.  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5958oveq1d 6310 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6011, 46, 593eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   ~Pcpw 4016   {csn 4033    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Basecbs 14507   .rcmulr 14573  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   Ringcrg 17070  Unitcui 17160   invrcinvr 17192   LModclmod 17383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-lmod 17385
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