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Theorem lincresunit3lem1 33280
Description: Lemma 1 for lincresunit3 33282. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    z, s
Allowed substitution hints:    B( z)    R( z, s)    S( z)    .x. ( z)    U( z)    E( z)    F( z)    G( z, s)    I( z)    M( z)    N( z)    X( z)    .0. ( z, s)    Z( z, s)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
3 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( s  =  z  ->  ( F `  s )  =  ( F `  z ) )
43oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( s  =  z  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) )
54adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) ) )  /\  s  =  z )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
6 simpr3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  ( S 
\  { X }
) )
7 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  _V )
92, 5, 6, 8fvmptd 5862 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )
109oveq1d 6211 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( G `  z ) ( .s
`  M ) z )  =  ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )
1110oveq2d 6212 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
12 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
1312adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  M  e.  LMod )
14 lincresunit.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  M )
1514lmodfgrp 17634 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
16153ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
17 lincresunit.e . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  R
)
18 lincresunit.u . . . . . 6  |-  U  =  (Unit `  R )
1917, 18unitcl 17421 . . . . 5  |-  ( ( F `  X )  e.  U  ->  ( F `  X )  e.  E )
20193ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  E )
21 lincresunit.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
2217, 21grpinvcl 16212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
2316, 20, 22syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
24 3simpa 991 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
2524anim2i 567 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) ) )
26 eldifi 3540 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
z  e.  S )
27263ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  S )
2827adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  S )
29 lincresunit.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
30 lincresunit.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31 lincresunit.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
32 lincresunit.i . . . . 5  |-  I  =  ( invr `  R
)
33 lincresunit.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3429, 14, 17, 18, 30, 31, 21, 32, 33, 1lincresunitlem2 33277 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
3525, 28, 34syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E )
36 elpwi 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
3736sseld 3416 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( z  e.  S  ->  z  e.  B ) )
3826, 37syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
39383ad2ant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( S  e.  ~P B  ->  z  e.  B
) )
4039com12 31 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  z  e.  B ) )
41403ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
z  e.  B ) )
4241imp 427 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
z  e.  B )
43 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4429, 14, 43, 17, 33lmodvsass 17650 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  z )
) ( .s `  M ) z ) ) )
4544eqcomd 2390 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( N `  ( F `  X )
)  e.  E  /\  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) )  e.  E  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4613, 23, 35, 42, 45syl13anc 1228 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( ( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) ( .s `  M ) z ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z ) )
4714lmodring 17633 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
48473ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
4948adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  ->  R  e.  Ring )
50 elmapi 7359 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
51 ffvelrn 5931 . . . . . . 7  |-  ( ( F : S --> E  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z
)  e.  E )
5250, 26, 51syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F `  z )  e.  E
)
53523adant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
5453adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  z
)  e.  E )
55 simp2 995 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5655adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( F `  X
)  e.  U )
5717, 18, 21, 32, 33invginvrid 33160 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  z )  e.  E  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  (
( N `  ( F `  X )
)  .x.  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5849, 54, 56, 57syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  z ) ) )  =  ( F `  z ) )
5958oveq1d 6211 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( ( N `
 ( F `  X ) )  .x.  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 z ) ) ) ( .s `  M ) z )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6011, 46, 593eqtrd 2427 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  z  e.  ( S  \  { X }
) ) )  -> 
( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) )  =  ( ( F `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    \ cdif 3386   ~Pcpw 3927   {csn 3944    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Basecbs 14634   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171   Ringcrg 17311  Unitcui 17401   invrcinvr 17433   LModclmod 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-lmod 17627
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