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Theorem lincresunit3 32817
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s    G, s    R, s    Z, s

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  M  e.  LMod )
3 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
4 3simpa 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
543ad2ant2 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )
63, 5jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) ) )
7 eldifi 3611 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  R
)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 32812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
196, 7, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
209fveq2i 5859 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
2110, 20eqtri 2472 . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
2219, 21syl6eleq 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
2322, 17fmptd 6040 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
24 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
25 difexg 4585 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
26253ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
27263ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
28 elmapg 7435 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( S  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { X }
) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
3023, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
31 elpwi 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
32 ssdifss 3620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
3431, 33syl5com 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
3534impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
)
36 difexg 4585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
38 elpwg 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4035, 39mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
4140expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
428pweqi 4001 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
4341, 42eleq2s 2551 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
4443imp 429 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
45443adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
46453ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
47 lincval 32745 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
49 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
50 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S
)
511, 49, 503jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
53 3simpb 995 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
5453adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
55 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) )
56 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
57 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 32760 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F  |`  ( S  \  { X }
) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
61 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
6361, 62oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  =  ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6463cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z
) ( .s `  M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )
6665oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
6766oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 32816 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
6967, 68eqtr2d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
7170eqeq1d 2445 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
72 lmodgrp 17393 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
73723ad2ant2 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  Grp )
7473adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  Grp )
751adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76 elmapi 7442 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
77763ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : S
--> E )
78 ffvelrn 6014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
7977, 50, 78syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
80 elpwi 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
8180sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  X  e.  B )
82813adant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  B
)
8382adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  X  e.  B
)
848, 9, 56, 10lmodvscl 17403 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  e.  B
)
869lmodfgrp 17395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
87863ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
8887adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  R  e.  Grp )
8910, 14grpinvcl 15969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
9088, 79, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
91 lmodcmn 17432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
92913ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e. CMnd )
9392adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e. CMnd )
9426adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
95 simpll2 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 32813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
97963adantr3 1158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
98 elmapi 7442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  s
)  e.  E )
101 ssel2 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  B  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
1037, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
10480, 103syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
1051043ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
107106imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
s  e.  B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 17403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  s )  e.  E  /\  s  e.  B )  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  e.  B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  s ) ( .s
`  M ) s )  e.  B )
110 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )
111109, 110fmptd 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) : ( S  \  { X } ) --> B )
112 ssdifss 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { X }
)  C_  B )
11380, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  C_  B
)
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  B )
115114, 8syl6sseq 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
11625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  _V )
117116, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
118115, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
1191183adant2 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
1201, 119jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 32814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
123122, 12syl6breq 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
1249, 10scmfsupp 32706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
126125, 13syl6breqr 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp  Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 16797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  e.  B
)
1288, 9, 56, 10lmodvscl 17403 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E  /\  ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
12975, 90, 127, 128syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
130 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 15973 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B  /\  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 17428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X ) )
134133eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  U
)
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 32810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
140139biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
141134, 140sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
142132, 141sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14371, 142sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14460, 143sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
1451443impia 1194 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X )
14648, 145eqtrd 2484 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714    gsumg cgsu 14715   Grpcgrp 15927   invgcminusg 15928  CMndccmn 16672  Unitcui 17162   invrcinvr 17194   LModclmod 17386   linC clinc 32740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15840  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-mulg 15934  df-ghm 16139  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-lmod 17388  df-linc 32742
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  32818
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