Theorem lincresunit3 31170

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z	|- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit.i	|- I = ( invr ` R )
lincresunit.t	|- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g	|- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3	|- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s   G, s   R, s   Z, s

Proof of Theorem lincresunit3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 989	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> M e. LMod )
3		simp1 988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
4		3simpa 985	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
5	4	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
6	3, 5	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) )
7		eldifi 3589	. . . . . . 7 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
8		lincresunit.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
9		lincresunit.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
10		lincresunit.e	. . . . . . . 8 |- E = ( Base ` R )
11		lincresunit.u	. . . . . . . 8 |- U = (Unit ` R )
12		lincresunit.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
13		lincresunit.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( 0g ` M )
14		lincresunit.n	. . . . . . . 8 |- N = ( invg ` R )
15		lincresunit.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` R )
16		lincresunit.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
17		lincresunit.g	. . . . . . . 8 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
18	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunitlem2 31165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
19	6, 7, 18	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
20	9	fveq2i 5805	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
21	10, 20	eqtri 2483	. . . . . 6 |- E = ( Base ` (Scalar ` M ) )
22	19, 21	syl6eleq 2552	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
23	22, 17	fmptd 5979	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
24		fvex 5812	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
25		difexg 4551	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
26	25	3ad2ant1 1009	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
27	26	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
28		elmapg 7340	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( S \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
29	24, 27, 28	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
30	23, 29	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
31		elpwi 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
32		ssdifss 3598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
34	31, 33	syl5com 30	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
35	34	impcom 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
36		difexg 4551	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
38		elpwg 3979	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
40	35, 39	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
41	40	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
42	8	pweqi 3975	. . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
43	41, 42	eleq2s 2562	. . . . . 6 |- ( S e. ~P B -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
44	43	imp 429	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
45	44	3adant2 1007	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
46	45	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
47		lincval 31098	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
48	2, 30, 46, 47	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
49		simp1 988	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> S e. ~P B )
50		simp3 990	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. S )
51	1, 49, 50	3jca 1168	. . . . . . 7 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
52	51	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
53		3simpb 986	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
54	53	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
55		eqidd 2455	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
56		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
57		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
58	8, 9, 10, 56, 57, 12	lincdifsn 31113	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) /\ ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
59	52, 54, 55, 58	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
60	59	eqeq1d 2456	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
61		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> s = z )
63	61, 62	oveq12d 6221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = z -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) = ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
64	63	cbvmptv 4494	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
66	65	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
67	66	oveq2d 6219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) )
68	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit3lem2 31169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )
69	67, 68	eqtr2d 2496	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
70	69	oveq1d 6218	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
71	70	eqeq1d 2456	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
72		lmodgrp 17088	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
73	72	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. Grp )
74	73	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. Grp )
75	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
76		elmapi 7347	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
77	76	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> F : S --> E )
78		ffvelrn 5953	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S --> E /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E )
79	77, 50, 78	syl2anr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. E )
80		elpwi 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
81	80	sselda 3467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> X e. B )
82	81	3adant2 1007	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. B )
83	82	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
84	8, 9, 56, 10	lmodvscl 17098	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. E /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
85	75, 79, 83, 84	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
86	9	lmodfgrp 17090	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
87	86	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> R e. Grp )
89	10, 14	grpinvcl 15706	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
90	88, 79, 89	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
91		lmodcmn 17126	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
92	91	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. CMnd )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. CMnd )
94	26	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
95		simpll2 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> M e. LMod )
96	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit1 31166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
97	96	3adantr3 1149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
98		elmapi 7347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
100	99	ffvelrnda 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` s ) e. E )
101		ssel2 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ B /\ s e. S ) -> s e. B )
102	101	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. S -> ( S C_ B -> s e. B ) )
103	7, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> ( S C_ B -> s e. B ) )
104	80, 103	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ~P B -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
105	104	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
106	105	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
107	106	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. B )
108	8, 9, 56, 10	lmodvscl 17098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( G ` s ) e. E /\ s e. B ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
109	95, 100, 107, 108	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
110		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) )
111	109, 110	fmptd 5979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) : ( S \ { X } ) --> B )
112		ssdifss 3598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ B -> ( S \ { X } ) C_ B )
113	80, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) C_ B )
114	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ B )
115	114, 8	syl6sseq 3513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
116	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
117	116, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
118	115, 117	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
119	118	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
120	1, 119	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
122	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit2 31167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
123	122, 12	syl6breq 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp ( 0g ` R ) )
124	9, 10	scmfsupp 30963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
125	121, 97, 123, 124	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
126	125, 13	syl6breqr 4443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp Z )
127	8, 13, 93, 94, 111, 126	gsumcl 16522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B )
128	8, 9, 56, 10	lmodvscl 17098	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
129	75, 90, 127, 128	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
130		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
131	8, 57, 13, 130	grpinvid2 15710	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
132	74, 85, 129, 131	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
133	8, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79	lmodvsneg 17122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) )
134	133	eqeq1d 2456	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ) )
135		simpr2 995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. U )
136	8, 9, 10, 11, 14, 56	lincresunit3lem3 31163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
137		eqcom 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
138	136, 137	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
139	75, 83, 127, 135, 138	syl31anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
140	139	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
141	134, 140	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
142	132, 141	sylbird 235	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
143	71, 142	sylbid 215	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
144	60, 143	sylbid 215	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
145	144	3impia 1185	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
146	48, 145	eqtrd 2495	1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   0gc0g 14501   gsum_g cgsu 14502   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534  CMndccmn 16402  Unitcui 16864   invrcinvr 16896   LModclmod 17081   linC clinc 31093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-lmod 17083  df-linc 31095

This theorem is referenced by:  lincreslvec3  31171