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Theorem lincresunit3 32456
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s    G, s    R, s    Z, s

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  M  e.  LMod )
3 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
4 3simpa 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
543ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )
63, 5jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) ) )
7 eldifi 3631 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  R
)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 32451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
196, 7, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
209fveq2i 5874 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
2110, 20eqtri 2496 . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
2219, 21syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
2322, 17fmptd 6055 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
24 fvex 5881 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
25 difexg 4600 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
26253ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
27263ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
28 elmapg 7443 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( S  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { X }
) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
3023, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
31 elpwi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
32 ssdifss 3640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
3431, 33syl5com 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
3534impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
)
36 difexg 4600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
38 elpwg 4023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4035, 39mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
4140expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
428pweqi 4019 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
4341, 42eleq2s 2575 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
4443imp 429 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
45443adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
46453ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
47 lincval 32384 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
49 simp1 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
50 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S
)
511, 49, 503jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
53 3simpb 994 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
5453adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
55 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) )
56 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
57 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 32399 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F  |`  ( S  \  { X }
) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2469 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
61 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
6361, 62oveq12d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  =  ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6463cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z
) ( .s `  M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )
6665oveq2d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
6766oveq2d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 32455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
6967, 68eqtr2d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6309 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
7170eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
72 lmodgrp 17367 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
73723ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  Grp )
7473adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  Grp )
751adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76 elmapi 7450 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
77763ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : S
--> E )
78 ffvelrn 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
7977, 50, 78syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
80 elpwi 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
8180sselda 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  X  e.  B )
82813adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  B
)
8382adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  X  e.  B
)
848, 9, 56, 10lmodvscl 17377 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  e.  B
)
869lmodfgrp 17369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
87863ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
8887adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  R  e.  Grp )
8910, 14grpinvcl 15944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
9088, 79, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
91 lmodcmn 17406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
92913ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e. CMnd )
9392adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e. CMnd )
9426adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
95 simpll2 1036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 32452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
97963adantr3 1157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
98 elmapi 7450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  s
)  e.  E )
101 ssel2 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  B  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
1037, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
10480, 103syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
1051043ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
107106imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
s  e.  B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 17377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  s )  e.  E  /\  s  e.  B )  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  e.  B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  s ) ( .s
`  M ) s )  e.  B )
110 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )
111109, 110fmptd 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) : ( S  \  { X } ) --> B )
112 ssdifss 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { X }
)  C_  B )
11380, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  C_  B
)
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  B )
115114, 8syl6sseq 3555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
11625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  _V )
117116, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
118115, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
1191183adant2 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
1201, 119jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 32453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
123122, 12syl6breq 4491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
1249, 10scmfsupp 32345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
126125, 13syl6breqr 4492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp  Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 16773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  e.  B
)
1288, 9, 56, 10lmodvscl 17377 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E  /\  ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
12975, 90, 127, 128syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
130 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 15948 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B  /\  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 17402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X ) )
134133eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  U
)
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 32449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
140139biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
141134, 140sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
142132, 141sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14371, 142sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14460, 143sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
1451443impia 1193 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X )
14648, 145eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510    |` cres 5006   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   finSupp cfsupp 7839   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   .scvsca 14571   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   Grpcgrp 15902   invgcminusg 15903  CMndccmn 16648  Unitcui 17137   invrcinvr 17169   LModclmod 17360   linC clinc 32379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-mulg 15909  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-lmod 17362  df-linc 32381
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  32457
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