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Theorem lincresunit3 31170
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s    G, s    R, s    Z, s

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  M  e.  LMod )
3 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
4 3simpa 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
543ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )
63, 5jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) ) )
7 eldifi 3589 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  R
)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 31165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
196, 7, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
209fveq2i 5805 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
2110, 20eqtri 2483 . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
2219, 21syl6eleq 2552 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
2322, 17fmptd 5979 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
24 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
25 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
26253ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
27263ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
28 elmapg 7340 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( S  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { X }
) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
3023, 29mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
31 elpwi 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
32 ssdifss 3598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
3431, 33syl5com 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
3534impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
)
36 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
3736adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
38 elpwg 3979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4035, 39mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
4140expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
428pweqi 3975 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
4341, 42eleq2s 2562 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
4443imp 429 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
45443adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
46453ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
47 lincval 31098 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
49 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
50 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S
)
511, 49, 503jca 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
5251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
53 3simpb 986 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
5453adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
55 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) )
56 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
57 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 31113 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F  |`  ( S  \  { X }
) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
61 fveq2 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
6361, 62oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  =  ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6463cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z
) ( .s `  M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )
6665oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
6766oveq2d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 31169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
6967, 68eqtr2d 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6218 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
7170eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
72 lmodgrp 17088 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
73723ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  Grp )
7473adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  Grp )
751adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
77763ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : S
--> E )
78 ffvelrn 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
7977, 50, 78syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
80 elpwi 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
8180sselda 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  X  e.  B )
82813adant2 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  B
)
8382adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  X  e.  B
)
848, 9, 56, 10lmodvscl 17098 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  e.  B
)
869lmodfgrp 17090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
87863ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
8887adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  R  e.  Grp )
8910, 14grpinvcl 15706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
9088, 79, 89syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
91 lmodcmn 17126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
92913ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e. CMnd )
9392adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e. CMnd )
9426adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
95 simpll2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 31166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
97963adantr3 1149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
98 elmapi 7347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  s
)  e.  E )
101 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  B  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
102101expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
1037, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
10480, 103syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
1051043ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
107106imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
s  e.  B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 17098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  s )  e.  E  /\  s  e.  B )  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  e.  B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  s ) ( .s
`  M ) s )  e.  B )
110 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )
111109, 110fmptd 5979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) : ( S  \  { X } ) --> B )
112 ssdifss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { X }
)  C_  B )
11380, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  C_  B
)
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  B )
115114, 8syl6sseq 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
11625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  _V )
117116, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
118115, 117mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
1191183adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
1201, 119jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 31167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
123122, 12syl6breq 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
1249, 10scmfsupp 30963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
126125, 13syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp  Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 16522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  e.  B
)
1288, 9, 56, 10lmodvscl 17098 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E  /\  ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
12975, 90, 127, 128syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
130 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 15710 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B  /\  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 17122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X ) )
134133eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  U
)
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 31163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
140139biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
141134, 140sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
142132, 141sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14371, 142sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14460, 143sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
1451443impia 1185 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X )
14648, 145eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534  CMndccmn 16402  Unitcui 16864   invrcinvr 16896   LModclmod 17081   linC clinc 31093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-lmod 17083  df-linc 31095
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  31171
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