Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lincresunit3 40327
 Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b
lincresunit.r Scalar
lincresunit.e
lincresunit.u Unit
lincresunit.0
lincresunit.z
lincresunit.n
lincresunit.i
lincresunit.t
lincresunit.g
Assertion
Ref Expression
lincresunit3 finSupp linC linC
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1009 . . . 4
213ad2ant1 1029 . . 3 finSupp linC
3 simp1 1008 . . . . . . . 8 finSupp linC
4 3simpa 1005 . . . . . . . . 9 finSupp
543ad2ant2 1030 . . . . . . . 8 finSupp linC
63, 5jca 535 . . . . . . 7 finSupp linC
7 eldifi 3555 . . . . . . 7
8 lincresunit.b . . . . . . . 8
9 lincresunit.r . . . . . . . 8 Scalar
10 lincresunit.e . . . . . . . 8
11 lincresunit.u . . . . . . . 8 Unit
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8
13 lincresunit.z . . . . . . . 8
14 lincresunit.n . . . . . . . 8
15 lincresunit.i . . . . . . . 8
16 lincresunit.t . . . . . . . 8
17 lincresunit.g . . . . . . . 8
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 40322 . . . . . . 7
196, 7, 18syl2an 480 . . . . . 6 finSupp linC
209fveq2i 5868 . . . . . . 7 Scalar
2110, 20eqtri 2473 . . . . . 6 Scalar
2219, 21syl6eleq 2539 . . . . 5 finSupp linC Scalar
2322, 17fmptd 6046 . . . 4 finSupp linC Scalar
24 fvex 5875 . . . . 5 Scalar
25 difexg 4551 . . . . . . 7
26253ad2ant1 1029 . . . . . 6
27263ad2ant1 1029 . . . . 5 finSupp linC
28 elmapg 7485 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
2924, 27, 28sylancr 669 . . . 4 finSupp linC Scalar Scalar
3023, 29mpbird 236 . . 3 finSupp linC Scalar
31 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11
32 ssdifss 3564 . . . . . . . . . . . 12
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3431, 33syl5com 31 . . . . . . . . . 10
3534impcom 432 . . . . . . . . 9
36 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11
3736adantl 468 . . . . . . . . . 10
38 elpwg 3959 . . . . . . . . . 10
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9
4035, 39mpbird 236 . . . . . . . 8
4140expcom 437 . . . . . . 7
428pweqi 3955 . . . . . . 7
4341, 42eleq2s 2547 . . . . . 6
4443imp 431 . . . . 5
45443adant2 1027 . . . 4
46453ad2ant1 1029 . . 3 finSupp linC
47 lincval 40255 . . 3 Scalar linC g
482, 30, 46, 47syl3anc 1268 . 2 finSupp linC linC g
49 simp1 1008 . . . . . . . 8
50 simp3 1010 . . . . . . . 8
511, 49, 503jca 1188 . . . . . . 7
5251adantr 467 . . . . . 6 finSupp
53 3simpb 1006 . . . . . . 7 finSupp finSupp
5453adantl 468 . . . . . 6 finSupp finSupp
55 eqidd 2452 . . . . . 6 finSupp
56 eqid 2451 . . . . . . 7
57 eqid 2451 . . . . . . 7
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 40270 . . . . . 6 finSupp linC linC
5952, 54, 55, 58syl3anc 1268 . . . . 5 finSupp linC linC
6059eqeq1d 2453 . . . 4 finSupp linC linC
61 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
6463cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 finSupp
6665oveq2d 6306 . . . . . . . . 9 finSupp g g
6766oveq2d 6306 . . . . . . . 8 finSupp g g
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 40326 . . . . . . . 8 finSupp g linC
6967, 68eqtr2d 2486 . . . . . . 7 finSupp linC g
7069oveq1d 6305 . . . . . 6 finSupp linC g
7170eqeq1d 2453 . . . . 5 finSupp linC g
72 lmodgrp 18098 . . . . . . . . 9
73723ad2ant2 1030 . . . . . . . 8
7473adantr 467 . . . . . . 7 finSupp
751adantr 467 . . . . . . . 8 finSupp
76 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10
77763ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9 finSupp
78 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9
7977, 50, 78syl2anr 481 . . . . . . . 8 finSupp
80 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11
8180sselda 3432 . . . . . . . . . 10
82813adant2 1027 . . . . . . . . 9
8382adantr 467 . . . . . . . 8 finSupp
848, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . 8
8575, 79, 83, 84syl3anc 1268 . . . . . . 7 finSupp
869lmodfgrp 18100 . . . . . . . . . . 11
87863ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10
8887adantr 467 . . . . . . . . 9 finSupp
8910, 14grpinvcl 16711 . . . . . . . . 9
9088, 79, 89syl2anc 667 . . . . . . . 8 finSupp
91 lmodcmn 18136 . . . . . . . . . . 11 CMnd
92913ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10 CMnd
9392adantr 467 . . . . . . . . 9 finSupp CMnd
9426adantr 467 . . . . . . . . 9 finSupp
95 simpll2 1048 . . . . . . . . . . 11 finSupp
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 40323 . . . . . . . . . . . . . 14
97963adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp
98 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . 13
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
10099ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11 finSupp
101 ssel2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
10480, 103syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14
1051043ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
107106imp 431 . . . . . . . . . . 11 finSupp
1088, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . . . . 11
10995, 100, 107, 108syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 finSupp
110 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
111109, 110fmptd 6046 . . . . . . . . 9 finSupp
112 ssdifss 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11380, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114113adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114, 8syl6sseq 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15
11625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
118115, 117mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14
1191183adant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13
1201, 119jca 535 . . . . . . . . . . . 12
121120adantr 467 . . . . . . . . . . 11 finSupp
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 40324 . . . . . . . . . . . 12 finSupp finSupp
123122, 12syl6breq 4442 . . . . . . . . . . 11 finSupp finSupp
1249, 10scmfsupp 40216 . . . . . . . . . . 11 finSupp finSupp
125121, 97, 123, 124syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 finSupp finSupp
126125, 13syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9 finSupp finSupp
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 17549 . . . . . . . 8 finSupp g
1288, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . 8 g g
12975, 90, 127, 128syl3anc 1268 . . . . . . 7 finSupp g
130 eqid 2451 . . . . . . . 8
1318, 57, 13, 130grpinvid2 16715 . . . . . . 7 g g g
13274, 85, 129, 131syl3anc 1268 . . . . . 6 finSupp g g
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 18132 . . . . . . . 8 finSupp
134133eqeq1d 2453 . . . . . . 7 finSupp g g
135 simpr2 1015 . . . . . . . . 9 finSupp
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 40320 . . . . . . . . . 10 g g g
137 eqcom 2458 . . . . . . . . . 10 g g
138136, 137syl6bb 265 . . . . . . . . 9 g g g
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1271 . . . . . . . 8 finSupp g g
140139biimpd 211 . . . . . . 7 finSupp g g
141134, 140sylbid 219 . . . . . 6 finSupp g g
142132, 141sylbird 239 . . . . 5 finSupp g g
14371, 142sylbid 219 . . . 4 finSupp linC g
14460, 143sylbid 219 . . 3 finSupp linC g
1451443impia 1205 . 2 finSupp linC g
14648, 145eqtrd 2485 1 finSupp linC linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  cpw 3951  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cres 4836  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472   finSupp cfsupp 7883  cbs 15121   cplusg 15190  cmulr 15191  Scalarcsca 15193  cvsca 15194  c0g 15338   g cgsu 15339  cgrp 16669  cminusg 16670  CMndccmn 17430  Unitcui 17867  cinvr 17899  clmod 18091   linC clinc 40250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-lmod 18093  df-linc 40252 This theorem is referenced by:  lincreslvec3  40328
 Copyright terms: Public domain W3C validator