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Theorem lincresunit3 40327
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s    G, s    R, s    Z, s

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  M  e.  LMod )
3 simp1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
4 3simpa 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
543ad2ant2 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )
63, 5jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) ) )
7 eldifi 3555 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  R
)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 40322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
196, 7, 18syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
209fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
2110, 20eqtri 2473 . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
2219, 21syl6eleq 2539 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
2322, 17fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
24 fvex 5875 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
25 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
26253ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
27263ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
28 elmapg 7485 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( S  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 669 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { X }
) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
3023, 29mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
31 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
32 ssdifss 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
3431, 33syl5com 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
3534impcom 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
)
36 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
3736adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
38 elpwg 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4035, 39mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
4140expcom 437 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
428pweqi 3955 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
4341, 42eleq2s 2547 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
4443imp 431 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
45443adant2 1027 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
46453ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
47 lincval 40255 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
49 simp1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
50 simp3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S
)
511, 49, 503jca 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
5251adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
53 3simpb 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
5453adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
55 eqidd 2452 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) )
56 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
57 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 40270 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F  |`  ( S  \  { X }
) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2453 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
61 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
6361, 62oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  =  ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6463cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z
) ( .s `  M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )
6665oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
6766oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 40326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
6967, 68eqtr2d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6305 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
7170eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
72 lmodgrp 18098 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
73723ad2ant2 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  Grp )
7473adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  Grp )
751adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
77763ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : S
--> E )
78 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
7977, 50, 78syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
80 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
8180sselda 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  X  e.  B )
82813adant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  B
)
8382adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  X  e.  B
)
848, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  e.  B
)
869lmodfgrp 18100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
87863ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
8887adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  R  e.  Grp )
8910, 14grpinvcl 16711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
9088, 79, 89syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
91 lmodcmn 18136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
92913ad2ant2 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e. CMnd )
9392adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e. CMnd )
9426adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
95 simpll2 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 40323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
97963adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
98 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  s
)  e.  E )
101 ssel2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  B  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
102101expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
10480, 103syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
1051043ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
107106imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
s  e.  B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  s )  e.  E  /\  s  e.  B )  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  e.  B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  s ) ( .s
`  M ) s )  e.  B )
110 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )
111109, 110fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) : ( S  \  { X } ) --> B )
112 ssdifss 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { X }
)  C_  B )
11380, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  C_  B
)
114113adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  B )
115114, 8syl6sseq 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
11625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  _V )
117116, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
118115, 117mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
1191183adant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
1201, 119jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
121120adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 40324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
123122, 12syl6breq 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
1249, 10scmfsupp 40216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
126125, 13syl6breqr 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp  Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 17549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  e.  B
)
1288, 9, 56, 10lmodvscl 18108 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E  /\  ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
12975, 90, 127, 128syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
130 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 16715 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B  /\  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 18132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X ) )
134133eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  U
)
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 40320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X )
138136, 137syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
140139biimpd 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
141134, 140sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
142132, 141sylbird 239 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14371, 142sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14460, 143sylbid 219 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
1451443impia 1205 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X )
14648, 145eqtrd 2485 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670  CMndccmn 17430  Unitcui 17867   invrcinvr 17899   LModclmod 18091   linC clinc 40250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-lmod 18093  df-linc 40252
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  40328
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