Theorem lincresunit3 39548

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z	|- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit.i	|- I = ( invr ` R )
lincresunit.t	|- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g	|- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3	|- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s   G, s   R, s   Z, s

Proof of Theorem lincresunit3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1006	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1026	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> M e. LMod )
3		simp1 1005	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
4		3simpa 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
5	4	3ad2ant2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
6	3, 5	jca 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) )
7		eldifi 3587	. . . . . . 7 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
8		lincresunit.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
9		lincresunit.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
10		lincresunit.e	. . . . . . . 8 |- E = ( Base ` R )
11		lincresunit.u	. . . . . . . 8 |- U = (Unit ` R )
12		lincresunit.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
13		lincresunit.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( 0g ` M )
14		lincresunit.n	. . . . . . . 8 |- N = ( invg ` R )
15		lincresunit.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` R )
16		lincresunit.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
17		lincresunit.g	. . . . . . . 8 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
18	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunitlem2 39543	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
19	6, 7, 18	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
20	9	fveq2i 5881	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
21	10, 20	eqtri 2451	. . . . . 6 |- E = ( Base ` (Scalar ` M ) )
22	19, 21	syl6eleq 2520	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
23	22, 17	fmptd 6058	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
24		fvex 5888	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
25		difexg 4569	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
26	25	3ad2ant1 1026	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
27	26	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
28		elmapg 7490	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( S \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
29	24, 27, 28	sylancr 667	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
30	23, 29	mpbird 235	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
31		elpwi 3988	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
32		ssdifss 3596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
34	31, 33	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
35	34	impcom 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
36		difexg 4569	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
37	36	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
38		elpwg 3987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
40	35, 39	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
41	40	expcom 436	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
42	8	pweqi 3983	. . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
43	41, 42	eleq2s 2530	. . . . . 6 |- ( S e. ~P B -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
44	43	imp 430	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
45	44	3adant2 1024	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
46	45	3ad2ant1 1026	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
47		lincval 39476	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
48	2, 30, 46, 47	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
49		simp1 1005	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> S e. ~P B )
50		simp3 1007	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. S )
51	1, 49, 50	3jca 1185	. . . . . . 7 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
52	51	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
53		3simpb 1003	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
54	53	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
55		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
56		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
57		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
58	8, 9, 10, 56, 57, 12	lincdifsn 39491	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) /\ ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
59	52, 54, 55, 58	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
60	59	eqeq1d 2424	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
61		fveq2 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
62		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> s = z )
63	61, 62	oveq12d 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = z -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) = ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
64	63	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
66	65	oveq2d 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
67	66	oveq2d 6318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) )
68	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit3lem2 39547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )
69	67, 68	eqtr2d 2464	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
70	69	oveq1d 6317	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
71	70	eqeq1d 2424	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
72		lmodgrp 18086	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
73	72	3ad2ant2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. Grp )
74	73	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. Grp )
75	1	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
76		elmapi 7498	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
77	76	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> F : S --> E )
78		ffvelrn 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S --> E /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E )
79	77, 50, 78	syl2anr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. E )
80		elpwi 3988	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
81	80	sselda 3464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> X e. B )
82	81	3adant2 1024	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. B )
83	82	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
84	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18096	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. E /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
85	75, 79, 83, 84	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
86	9	lmodfgrp 18088	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
87	86	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
88	87	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> R e. Grp )
89	10, 14	grpinvcl 16699	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
90	88, 79, 89	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
91		lmodcmn 18124	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
92	91	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. CMnd )
93	92	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. CMnd )
94	26	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
95		simpll2 1045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> M e. LMod )
96	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit1 39544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
97	96	3adantr3 1166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
98		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
100	99	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` s ) e. E )
101		ssel2 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ B /\ s e. S ) -> s e. B )
102	101	expcom 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. S -> ( S C_ B -> s e. B ) )
103	7, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> ( S C_ B -> s e. B ) )
104	80, 103	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ~P B -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
105	104	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
106	105	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
107	106	imp 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. B )
108	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( G ` s ) e. E /\ s e. B ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
109	95, 100, 107, 108	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
110		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) )
111	109, 110	fmptd 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) : ( S \ { X } ) --> B )
112		ssdifss 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ B -> ( S \ { X } ) C_ B )
113	80, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) C_ B )
114	113	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ B )
115	114, 8	syl6sseq 3510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
116	25	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
117	116, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
118	115, 117	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
119	118	3adant2 1024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
120	1, 119	jca 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
121	120	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
122	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit2 39545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
123	122, 12	syl6breq 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp ( 0g ` R ) )
124	9, 10	scmfsupp 39437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
125	121, 97, 123, 124	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
126	125, 13	syl6breqr 4461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp Z )
127	8, 13, 93, 94, 111, 126	gsumcl 17537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B )
128	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18096	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
129	75, 90, 127, 128	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
130		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
131	8, 57, 13, 130	grpinvid2 16703	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
132	74, 85, 129, 131	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
133	8, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79	lmodvsneg 18120	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) )
134	133	eqeq1d 2424	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ) )
135		simpr2 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. U )
136	8, 9, 10, 11, 14, 56	lincresunit3lem3 39541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
137		eqcom 2431	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
138	136, 137	syl6bb 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
139	75, 83, 127, 135, 138	syl31anc 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
140	139	biimpd 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
141	134, 140	sylbid 218	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
142	132, 141	sylbird 238	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
143	71, 142	sylbid 218	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
144	60, 143	sylbid 218	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
145	144	3impia 1202	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
146	48, 145	eqtrd 2463	1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   |` cres 4852   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ^m cmap 7477   finSupp cfsupp 7886   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   .rcmulr 15179  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   0gc0g 15326   gsum_g cgsu 15327   Grpcgrp 16657   invgcminusg 16658  CMndccmn 17418  Unitcui 17855   invrcinvr 17887   LModclmod 18079   linC clinc 39471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-mulg 16664  df-ghm 16869  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-lmod 18081  df-linc 39473

This theorem is referenced by:  lincreslvec3  39549