Theorem lincresunit3 40327

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	|- B = ( Base ` M )
lincresunit.r	|- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e	|- E = ( Base ` R )
lincresunit.u	|- U = (Unit ` R )
lincresunit.0	|- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z	|- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n	|- N = ( invg ` R )
lincresunit.i	|- I = ( invr ` R )
lincresunit.t	|- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g	|- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3	|- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s   G, s   R, s   Z, s

Proof of Theorem lincresunit3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1009	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> M e. LMod )
3		simp1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
4		3simpa 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
5	4	3ad2ant2 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
6	3, 5	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) )
7		eldifi 3555	. . . . . . 7 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
8		lincresunit.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
9		lincresunit.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
10		lincresunit.e	. . . . . . . 8 |- E = ( Base ` R )
11		lincresunit.u	. . . . . . . 8 |- U = (Unit ` R )
12		lincresunit.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` R )
13		lincresunit.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( 0g ` M )
14		lincresunit.n	. . . . . . . 8 |- N = ( invg ` R )
15		lincresunit.i	. . . . . . . 8 |- I = ( invr ` R )
16		lincresunit.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
17		lincresunit.g	. . . . . . . 8 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
18	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunitlem2 40322	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
19	6, 7, 18	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
20	9	fveq2i 5868	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
21	10, 20	eqtri 2473	. . . . . 6 |- E = ( Base ` (Scalar ` M ) )
22	19, 21	syl6eleq 2539	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
23	22, 17	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
24		fvex 5875	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
25		difexg 4551	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
26	25	3ad2ant1 1029	. . . . . 6 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
27	26	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
28		elmapg 7485	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( S \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
29	24, 27, 28	sylancr 669	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) <-> G : ( S \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
30	23, 29	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) )
31		elpwi 3960	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> S C_ ( Base ` M ) )
32		ssdifss 3564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> ( S C_ ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
34	31, 33	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
35	34	impcom 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
36		difexg 4551	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
38		elpwg 3959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
40	35, 39	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
41	40	expcom 437	. . . . . . 7 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
42	8	pweqi 3955	. . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
43	41, 42	eleq2s 2547	. . . . . 6 |- ( S e. ~P B -> ( X e. S -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
44	43	imp 431	. . . . 5 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
45	44	3adant2 1027	. . . 4 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
46	45	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
47		lincval 40255	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( S \ { X } ) ) /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
48	2, 30, 46, 47	syl3anc 1268	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) )
49		simp1 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> S e. ~P B )
50		simp3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. S )
51	1, 49, 50	3jca 1188	. . . . . . 7 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
52	51	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) )
53		3simpb 1006	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
54	53	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) )
55		eqidd 2452	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) )
56		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
57		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
58	8, 9, 10, 56, 57, 12	lincdifsn 40270	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. ~P B /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ F finSupp .0. ) /\ ( F |` ( S \ { X } ) ) = ( F |` ( S \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
59	52, 54, 55, 58	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ( linC ` M ) S ) = ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
60	59	eqeq1d 2453	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z <-> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
61		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> ( G ` s ) = ( G ` z ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = z -> s = z )
63	61, 62	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = z -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) = ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
64	63	cbvmptv 4495	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) )
66	65	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) )
67	66	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) )
68	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit3lem2 40326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( z e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` z ) ( .s ` M ) z ) ) ) ) = ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) )
69	67, 68	eqtr2d 2486	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
70	69	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) )
71	70	eqeq1d 2453	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
72		lmodgrp 18098	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
73	72	3ad2ant2 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. Grp )
74	73	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. Grp )
75	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
76		elmapi 7493	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F : S --> E )
77	76	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> F : S --> E )
78		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S --> E /\ X e. S ) -> ( F ` X ) e. E )
79	77, 50, 78	syl2anr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. E )
80		elpwi 3960	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> S C_ B )
81	80	sselda 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> X e. B )
82	81	3adant2 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> X e. B )
83	82	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
84	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18108	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. E /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
85	75, 79, 83, 84	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
86	9	lmodfgrp 18100	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
87	86	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Grp )
88	87	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> R e. Grp )
89	10, 14	grpinvcl 16711	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ ( F ` X ) e. E ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
90	88, 79, 89	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( N ` ( F ` X ) ) e. E )
91		lmodcmn 18136	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
92	91	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> M e. CMnd )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. CMnd )
94	26	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
95		simpll2 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> M e. LMod )
96	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit1 40323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
97	96	3adantr3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) )
98		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G : ( S \ { X } ) --> E )
100	99	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( G ` s ) e. E )
101		ssel2 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ B /\ s e. S ) -> s e. B )
102	101	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. S -> ( S C_ B -> s e. B ) )
103	7, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> ( S C_ B -> s e. B ) )
104	80, 103	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. ~P B -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
105	104	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
106	105	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. B ) )
107	106	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. B )
108	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ ( G ` s ) e. E /\ s e. B ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
109	95, 100, 107, 108	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) e. B )
110		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) )
111	109, 110	fmptd 6046	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) : ( S \ { X } ) --> B )
112		ssdifss 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ B -> ( S \ { X } ) C_ B )
113	80, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) C_ B )
114	113	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ B )
115	114, 8	syl6sseq 3478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
116	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
117	116, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( S \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
118	115, 117	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. ~P B /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
119	118	3adant2 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
120	1, 119	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
121	120	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) )
122	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	lincresunit2 40324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
123	122, 12	syl6breq 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp ( 0g ` R ) )
124	9, 10	scmfsupp 40216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( S \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) /\ G e. ( E ^m ( S \ { X } ) ) /\ G finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
125	121, 97, 123, 124	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
126	125, 13	syl6breqr 4443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) finSupp Z )
127	8, 13, 93, 94, 111, 126	gsumcl 17549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B )
128	8, 9, 56, 10	lmodvscl 18108	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( N ` ( F ` X ) ) e. E /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
129	75, 90, 127, 128	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B )
130		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
131	8, 57, 13, 130	grpinvid2 16715	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Grp /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B /\ ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) e. B ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
132	74, 85, 129, 131	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z ) )
133	8, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79	lmodvsneg 18132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) )
134	133	eqeq1d 2453	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ) )
135		simpr2 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. U )
136	8, 9, 10, 11, 14, 56	lincresunit3lem3 40320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) )
137		eqcom 2458	. . . . . . . . . 10 |- ( X = ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
138	136, 137	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) e. B ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
139	75, 83, 127, 135, 138	syl31anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) <-> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
140	139	biimpd 211	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) X ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
141	134, 140	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( invg ` M ) ` ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
142	132, 141	sylbird 239	. . . . 5 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( N ` ( F ` X ) ) ( .s ` M ) ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
143	71, 142	sylbid 219	. . . 4 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( ( ( F |` ( S \ { X } ) ) ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) ( +g ` M ) ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
144	60, 143	sylbid 219	. . 3 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ( linC ` M ) S ) = Z -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X ) )
145	144	3impia 1205	. 2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( M gsumg ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( G ` s ) ( .s ` M ) s ) ) ) = X )
146	48, 145	eqtrd 2485	1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) /\ ( F ( linC ` M ) S ) = Z ) -> ( G ( linC ` M ) ( S \ { X } ) ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670  CMndccmn 17430  Unitcui 17867   invrcinvr 17899   LModclmod 18091   linC clinc 40250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-lmod 18093  df-linc 40252

This theorem is referenced by:  lincreslvec3  40328