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Theorem lincresunit3 39548
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s    G, s    R, s    Z, s

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  M  e.  LMod )
3 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
4 3simpa 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
543ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )
63, 5jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) ) )
7 eldifi 3587 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
8 lincresunit.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
10 lincresunit.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  R )
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 lincresunit.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
15 lincresunit.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  R
)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
17 lincresunit.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 39543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
196, 7, 18syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
209fveq2i 5881 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
2110, 20eqtri 2451 . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
2219, 21syl6eleq 2520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
2322, 17fmptd 6058 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
24 fvex 5888 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
25 difexg 4569 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
26253ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
27263ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
28 elmapg 7490 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( S  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2924, 27, 28sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { X }
) )  <->  G :
( S  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
3023, 29mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) ) )
31 elpwi 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
32 ssdifss 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  S  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
3431, 33syl5com 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) ) )
3534impcom 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
)
36 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
3736adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
38 elpwg 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4035, 39mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
4140expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
428pweqi 3983 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
4341, 42eleq2s 2530 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
) )
4443imp 430 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
45443adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
46453ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
47 lincval 39476 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { X } ) )  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
482, 30, 46, 47syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )
49 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  S  e.  ~P B )
50 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S
)
511, 49, 503jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
5251adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
) )
53 3simpb 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
5453adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )
)
55 eqidd 2423 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F  |`  ( S  \  { X } ) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) )
56 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
57 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
588, 9, 10, 56, 57, 12lincdifsn 39491 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F  |`  ( S  \  { X }
) )  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
5952, 54, 55, 58syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
6059eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
61 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
62 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  z  ->  s  =  z )
6361, 62oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  =  ( ( G `
 z ) ( .s `  M ) z ) )
6463cbvmptv 4513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z
) ( .s `  M ) z ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) )  =  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )
6665oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
6766oveq2d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) ) )
688, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 39547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )
6967, 68eqtr2d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
7069oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
7170eqeq1d 2424 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
72 lmodgrp 18086 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
73723ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e.  Grp )
7473adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  Grp )
751adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76 elmapi 7498 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F : S --> E )
77763ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : S
--> E )
78 ffvelrn 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S --> E  /\  X  e.  S )  ->  ( F `  X
)  e.  E )
7977, 50, 78syl2anr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  E
)
80 elpwi 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  ->  S  C_  B )
8180sselda 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  X  e.  B )
82813adant2 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  B
)
8382adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  X  e.  B
)
848, 9, 56, 10lmodvscl 18096 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
8575, 79, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  e.  B
)
869lmodfgrp 18088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
87863ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Grp )
8887adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  R  e.  Grp )
8910, 14grpinvcl 16699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( F `  X )  e.  E )  -> 
( N `  ( F `  X )
)  e.  E )
9088, 79, 89syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E )
91 lmodcmn 18124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
92913ad2ant2 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  M  e. CMnd )
9392adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  M  e. CMnd )
9426adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
95 simpll2 1045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
968, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 39544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )
97963adantr3 1166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G  e.  ( E  ^m  ( S 
\  { X }
) ) )
98 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
10099ffvelrnda 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  s
)  e.  E )
101 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  B  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  B )
102101expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  S  ->  ( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
( S  C_  B  ->  s  e.  B ) )
10480, 103syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
1051043ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
106105adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  ->  s  e.  B ) )
107106imp 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
s  e.  B )
1088, 9, 56, 10lmodvscl 18096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( G `  s )  e.  E  /\  s  e.  B )  ->  (
( G `  s
) ( .s `  M ) s )  e.  B )
10995, 100, 107, 108syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  s ) ( .s
`  M ) s )  e.  B )
110 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) )
111109, 110fmptd 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) : ( S  \  { X } ) --> B )
112 ssdifss 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  B  ->  ( S  \  { X }
)  C_  B )
11380, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  C_  B
)
114113adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  B )
115114, 8syl6sseq 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) )
11625adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  _V )
117116, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( ( S  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { X } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
118115, 117mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  ->  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
1191183adant2 1024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) )
1201, 119jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
121120adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  ( S  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
) ) )
1228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 39545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
123122, 12syl6breq 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  ( 0g `  R ) )
1249, 10scmfsupp 39437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) )  /\  G finSupp  ( 0g `  R ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
125121, 97, 123, 124syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
126125, 13syl6breqr 4461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) finSupp  Z )
1278, 13, 93, 94, 111, 126gsumcl 17537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  e.  B
)
1288, 9, 56, 10lmodvscl 18096 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( N `  ( F `  X ) )  e.  E  /\  ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
12975, 90, 127, 128syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)
130 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
1318, 57, 13, 130grpinvid2 16703 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B  /\  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( invg `  M ) `  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
13274, 85, 129, 131syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z ) )
1338, 9, 56, 130, 10, 14, 75, 83, 79lmodvsneg 18120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X ) )
134133eqeq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ) )
135 simpr2 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( F `  X )  e.  U
)
1368, 9, 10, 11, 14, 56lincresunit3lem3 39541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) )
137 eqcom 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X )
138136, 137syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  e.  B )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  ->  ( (
( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) X )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
13975, 83, 127, 135, 138syl31anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 s ) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
140139biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( N `  ( F `
 X ) ) ( .s `  M
) X )  =  ( ( N `  ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
141134, 140sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( ( F `  X )
( .s `  M
) X ) )  =  ( ( N `
 ( F `  X ) ) ( .s `  M ) ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
142132, 141sylbird 238 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( N `  ( F `  X )
) ( .s `  M ) ( M 
gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14371, 142sylbid 218 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( ( ( F  |`  ( S  \  { X }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X ) )
14460, 143sylbid 218 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  ( ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s
) ( .s `  M ) s ) ) )  =  X ) )
1451443impia 1202 . 2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( G `  s ) ( .s `  M
) s ) ) )  =  X )
14648, 145eqtrd 2463 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  /\  ( F ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  { X } ) )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    |` cres 4852   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   finSupp cfsupp 7886   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   .rcmulr 15179  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   0gc0g 15326    gsumg cgsu 15327   Grpcgrp 16657   invgcminusg 16658  CMndccmn 17418  Unitcui 17855   invrcinvr 17887   LModclmod 18079   linC clinc 39471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-mulg 16664  df-ghm 16869  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-lmod 18081  df-linc 39473
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  39549
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