Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lincresunit2 40324
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hints:    R( s)    G( s)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
213ad2ant1 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
32adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
43adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
6 mptexg 6135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )  e.  _V )
75, 6syl5eqel 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G  e.  _V )
95funmpt2 5619 . . . . . . . 8  |-  Fun  G
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  Fun  G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  .0.  e.  _V )
15 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
1615fsuppimpd 7890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
17 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
18 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
19 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
2019adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  s  e.  S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( Base `  R
)
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  (Unit `  R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( invg `  R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 40322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
3130ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. s  e.  ( S  \  { X }
) ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  s )
)  e.  E )
325fnmpt 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  ( S  \  { X } ) ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
34 elmapfn 7494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  Fn  S )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  F  Fn  S )
3635adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  F  Fn  S )
3733, 36jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S ) )
38 difssd 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  C_  S
)
39 simpr1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  S  e.  ~P B
)
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  .0.  e.  _V )
4138, 39, 403jca 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
43 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  s )  =  ( F `  x ) )
4443oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  x  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) ) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  /\  s  =  x )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  =  ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  x )
) )
46 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  ( S  \  { X } ) )
47 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
48 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
4948adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
50 eldifi 3555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S  \  { X } )  ->  x  e.  S )
5150adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  x  e.  S )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 40322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) ) )
56 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )
)
5722lmodring 18099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
58573ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
5958adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  R  e.  Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 40321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )
6160ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) )  e.  E )
6223, 28, 11ringrz 17818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
6359, 61, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6556, 64sylan9eqr 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  =  .0.  )
6655, 65eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  .0.  )
6766ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
69 suppfnss 6940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  ->  ( A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )
7069imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X } )  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  /\  A. x  e.  ( S  \  { X } ) ( ( F `  x )  =  .0. 
->  ( G `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
7271adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
73 suppssfifsupp 7898 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  _V  /\ 
Fun  G  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( G supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G finSupp  .0.  )
7574ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  ) )
7675ex 436 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  )
) )
7776com23 81 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) ) )
78773impia 1205 . 2  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) )
7978impcom 432 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   .rcmulr 15191  Scalarcsca 15193   0gc0g 15338   invgcminusg 16670   Ringcrg 17780  Unitcui 17867   invrcinvr 17899   LModclmod 18091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-lmod 18093
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  40326  lincresunit3  40327  isldepslvec2  40331
  Copyright terms: Public domain W3C validator