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Theorem lincresunit2 39545
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hints:    R( s)    G( s)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
213ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
32adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
43adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
6 mptexg 6147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )  e.  _V )
75, 6syl5eqel 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G  e.  _V )
95funmpt2 5635 . . . . . . . 8  |-  Fun  G
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  Fun  G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 fvex 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  .0.  e.  _V )
15 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
1615fsuppimpd 7893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
17 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
18 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
19 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  s  e.  S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( Base `  R
)
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  (Unit `  R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( invg `  R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 39543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
3130ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. s  e.  ( S  \  { X }
) ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  s )
)  e.  E )
325fnmpt 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  ( S  \  { X } ) ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
34 elmapfn 7499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  Fn  S )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  F  Fn  S )
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  F  Fn  S )
3733, 36jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S ) )
38 difssd 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  C_  S
)
39 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  S  e.  ~P B
)
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  .0.  e.  _V )
4138, 39, 403jca 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
43 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  s )  =  ( F `  x ) )
4443oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  x  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) ) )
4544adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  /\  s  =  x )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  =  ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  x )
) )
46 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  ( S  \  { X } ) )
47 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
48 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
50 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S  \  { X } )  ->  x  e.  S )
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  x  e.  S )
5251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 39543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 5967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) ) )
56 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )
)
5722lmodring 18087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
58573ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  R  e.  Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 39542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )
6160ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) )  e.  E )
6223, 28, 11ringrz 17806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
6359, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6556, 64sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  =  .0.  )
6655, 65eqtrd 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  .0.  )
6766ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
69 suppfnss 6948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  ->  ( A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )
7069imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X } )  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  /\  A. x  e.  ( S  \  { X } ) ( ( F `  x )  =  .0. 
->  ( G `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
7271adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
73 suppssfifsupp 7901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  _V  /\ 
Fun  G  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( G supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G finSupp  .0.  )
7574ex 435 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  ) )
7675ex 435 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  )
) )
7776com23 81 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) ) )
78773impia 1202 . 2  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) )
7978impcom 431 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   Fun wfun 5592    Fn wfn 5593   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   supp csupp 6922    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   finSupp cfsupp 7886   Basecbs 15109   .rcmulr 15179  Scalarcsca 15181   0gc0g 15326   invgcminusg 16658   Ringcrg 17768  Unitcui 17855   invrcinvr 17887   LModclmod 18079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-oppr 17839  df-dvdsr 17857  df-unit 17858  df-invr 17888  df-lmod 18081
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  39547  lincresunit3  39548  isldepslvec2  39552
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