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Theorem lincresunit2 32949
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hints:    R( s)    G( s)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
213ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
32adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
6 mptexg 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )  e.  _V )
75, 6syl5eqel 2535 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G  e.  _V )
95funmpt2 5615 . . . . . . . 8  |-  Fun  G
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  Fun  G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 fvex 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12eqeltri 2527 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  .0.  e.  _V )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
1615fsuppimpd 7838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
17 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
18 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
19 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  s  e.  S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( Base `  R
)
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  (Unit `  R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( invg `  R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 32947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
3130ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. s  e.  ( S  \  { X }
) ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  s )
)  e.  E )
325fnmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  ( S  \  { X } ) ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
34 elmapfn 7443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  Fn  S )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  F  Fn  S )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  F  Fn  S )
3733, 36jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S ) )
38 difssd 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  C_  S
)
39 simpr1 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  S  e.  ~P B
)
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  .0.  e.  _V )
4138, 39, 403jca 1177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
43 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  s )  =  ( F `  x ) )
4443oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  x  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  /\  s  =  x )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  =  ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  x )
) )
46 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  ( S  \  { X } ) )
47 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
48 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
50 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S  \  { X } )  ->  x  e.  S )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  x  e.  S )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 32947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 5946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) ) )
56 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )
)
5722lmodring 17499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
58573ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  R  e.  Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 32946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )
6160ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) )  e.  E )
6223, 28, 11ringrz 17215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6556, 64sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  =  .0.  )
6655, 65eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  .0.  )
6766ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2857 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
69 suppfnss 6927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  ->  ( A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X } )  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  /\  A. x  e.  ( S  \  { X } ) ( ( F `  x )  =  .0. 
->  ( G `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
73 suppssfifsupp 7846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  _V  /\ 
Fun  G  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( G supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G finSupp  .0.  )
7574ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  ) )
7675ex 434 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  )
) )
7776com23 78 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) ) )
78773impia 1194 . 2  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) )
7978impcom 430 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14614   .rcmulr 14680  Scalarcsca 14682   0gc0g 14819   invgcminusg 16033   Ringcrg 17177  Unitcui 17267   invrcinvr 17299   LModclmod 17491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-lmod 17493
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  32951  lincresunit3  32952  isldepslvec2  32956
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