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Theorem lincresunit2 31145
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincresunit.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincresunit.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincresunit.u  |-  U  =  (Unit `  R )
lincresunit.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincresunit.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincresunit.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincresunit.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
lincresunit.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
lincresunit.g  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Distinct variable groups:    B, s    E, s    F, s    M, s    S, s    X, s    U, s    I, s    N, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hints:    R( s)    G( s)    Z( s)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
213ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( S  \  { X } )  e. 
_V )
32adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  _V )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( S  \  { X }
)  e.  _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )
6 mptexg 6057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) )  e.  _V )
75, 6syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
84, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G  e.  _V )
95funmpt2 5564 . . . . . . . 8  |-  Fun  G
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  Fun  G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 fvex 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  .0.  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  .0.  e.  _V )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
1615fsuppimpd 7739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( F supp  .0.  )  e.  Fin )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
18 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
19 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( S  \  { X } )  -> 
s  e.  S )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  s  e.  S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( Base `  R
)
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U  =  (Unit `  R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( invg `  R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( invr `  R
)
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 31143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  s  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  s  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  ( F `  s ) )  e.  E )
3130ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. s  e.  ( S  \  { X }
) ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  s )
)  e.  E )
325fnmpt 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  ( S  \  { X } ) ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  e.  E  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  G  Fn  ( S  \  { X } ) )
34 elmapfn 7346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( E  ^m  S )  ->  F  Fn  S )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  ->  F  Fn  S )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  F  Fn  S )
3733, 36jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S ) )
38 difssd 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( S  \  { X } )  C_  S
)
39 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  S  e.  ~P B
)
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  .0.  e.  _V )
4138, 39, 403jca 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  G  =  ( s  e.  ( S  \  { X } )  |->  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) ) ) )
43 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  x  ->  ( F `  s )  =  ( F `  x ) )
4443oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  x  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  s ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  /\  s  =  x )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 s ) )  =  ( ( I `
 ( N `  ( F `  X ) ) )  .x.  ( F `  x )
) )
46 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  ( S  \  { X } ) )
47 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )
48 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
) )
50 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( S  \  { X } )  ->  x  e.  S )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  x  e.  S )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  ->  x  e.  S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 31143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  e.  E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( I `  ( N `
 ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) ) )
56 oveq2 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  ( F `  x ) )  =  ( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )
)
5722lmodrng 17080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
58573ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  R  e.  Ring )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  R  e.  Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 31142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
) )  ->  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )
6160ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) )  e.  E )
6223, 28, 11rngrz 16806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  e.  E )  ->  (
( I `  ( N `  ( F `  X ) ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( (
I `  ( N `  ( F `  X
) ) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6556, 64sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( ( I `  ( N `  ( F `
 X ) ) )  .x.  ( F `
 x ) )  =  .0.  )
6655, 65eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  /\  ( F `  x )  =  .0.  )  -> 
( G `  x
)  =  .0.  )
6766ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  x  e.  ( S  \  { X } ) )  ->  ( ( F `  x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  ) )
69 suppfnss 6825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X }
)  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  ->  ( A. x  e.  ( S  \  { X }
) ( ( F `
 x )  =  .0.  ->  ( G `  x )  =  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  Fn  ( S  \  { X } )  /\  F  Fn  S )  /\  (
( S  \  { X } )  C_  S  /\  S  e.  ~P B  /\  .0.  e.  _V ) )  /\  A. x  e.  ( S  \  { X } ) ( ( F `  x )  =  .0. 
->  ( G `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  )
)
7271adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( G supp  .0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) )
73 suppssfifsupp 7747 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  _V  /\ 
Fun  G  /\  .0.  e.  _V )  /\  (
( F supp  .0.  )  e.  Fin  /\  ( G supp 
.0.  )  C_  ( F supp  .0.  ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  G finSupp  .0.  )
7574ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U
)  /\  ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S ) )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  ) )
7675ex 434 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  ( F finSupp  .0.  ->  G finSupp  .0.  )
) )
7776com23 78 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U )  -> 
( F finSupp  .0.  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) ) )
78773impia 1185 . 2  |-  ( ( F  e.  ( E  ^m  S )  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  )  ->  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  ->  G finSupp  .0.  ) )
7978impcom 430 1  |-  ( ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod  /\  X  e.  S )  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  ( F `  X )  e.  U  /\  F finSupp  .0.  ) )  ->  G finSupp  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   {csn 3986   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   Fun wfun 5521    Fn wfn 5522   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supp csupp 6801    ^m cmap 7325   Fincfn 7421   finSupp cfsupp 7732   Basecbs 14293   .rcmulr 14359  Scalarcsca 14361   0gc0g 14498   invgcminusg 15531   Ringcrg 16769  Unitcui 16855   invrcinvr 16887   LModclmod 17072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-lmod 17074
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