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Theorem lincresunit2 32152
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b |- B = ( Base ` M )
lincresunit.r |- R = (Scalar ` M )
lincresunit.e |- E = ( Base ` R )
lincresunit.u |- U = (Unit ` R )
lincresunit.0 |- .0. = ( 0g ` R )
lincresunit.z |- Z = ( 0g ` M )
lincresunit.n |- N = ( invg ` R )
lincresunit.i |- I = ( invr ` R )
lincresunit.t |- .x. = ( .r ` R )
lincresunit.g |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
Distinct variable groups:   B, s   E, s   F, s   M, s   S, s   X, s   U, s   I, s   N, s   .x. , s   .0. , s
Allowed substitution hints:   R( s)   G( s)   Z( s)
Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 4595 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ~P B -> ( S \ { X } ) e. _V )
213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
32adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
43adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( S \ { X } ) e. _V )
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 |- G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) )
6 mptexg 6128 . . . . . . . . 9 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) ) e. _V )
75, 6syl5eqel 2559 . . . . . . . 8 |- ( ( S \ { X } ) e. _V -> G e. _V )
84, 7syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> G e. _V )
95funmpt2 5623 . . . . . . . 8 |- Fun G
109a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> Fun G )
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
12 fvex 5874 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
1311, 12eqeltri 2551 . . . . . . . 8 |- .0. e. _V
1413a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> .0. e. _V )
15 simpr 461 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp .0. )
1615fsuppimpd 7832 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
18 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
19 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( S \ { X } ) -> s e. S )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> s e. S )
21 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` M )
22 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 |- R = (Scalar ` M )
23 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( Base ` R )
24 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 |- U = (Unit ` R )
25 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( 0g ` M )
26 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( invg ` R )
27 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( invr ` R )
28 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 |- .x. = ( .r ` R )
2921, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 32150 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ s e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
3017, 18, 20, 29syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ s e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
3130ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> A. s e. ( S \ { X } ) ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E )
325fnmpt 5705 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. ( S \ { X } ) ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) e. E -> G Fn ( S \ { X } ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> G Fn ( S \ { X } ) )
34 elmapfn 7438 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( E ^m S ) -> F Fn S )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> F Fn S )
3635adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> F Fn S )
3733, 36jca 532 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) )
38 difssd 3632 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( S \ { X } ) C_ S )
39 simpr1 1002 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> S e. ~P B )
4013a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> .0. e. _V )
4138, 39, 403jca 1176 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) )
425a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> G = ( s e. ( S \ { X } ) |-> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) ) )
43 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = x -> ( F ` s ) = ( F ` x ) )
4443oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = x -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) /\ s = x ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` s ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
46 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> x e. ( S \ { X } ) )
47 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) )
48 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) )
50 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( S \ { X } ) -> x e. S )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> x e. S )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> x e. S )
5321, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem2 32150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) /\ x e. S ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) e. E )
5447, 49, 52, 53syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) e. E )
5542, 45, 46, 54fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( G ` x ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) )
56 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) = .0. -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) = ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) )
5722lmodrng 17300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
58573ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> R e. Ring )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> R e. Ring )
6021, 22, 23, 24, 11, 25, 26, 27, 28, 5lincresunitlem1 32149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) ) -> ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E )
6160ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E )
6223, 28, 11rngrz 17020 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) e. E ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6359, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. .0. ) = .0. )
6556, 64sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( ( I ` ( N ` ( F ` X ) ) ) .x. ( F ` x ) ) = .0. )
6655, 65eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) /\ ( F ` x ) = .0. ) -> ( G ` x ) = .0. )
6766ex 434 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ x e. ( S \ { X } ) ) -> ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) )
6867ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) )
69 suppfnss 6922 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) /\ ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) ) -> ( A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) )
7069imp 429 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G Fn ( S \ { X } ) /\ F Fn S ) /\ ( ( S \ { X } ) C_ S /\ S e. ~P B /\ .0. e. _V ) ) /\ A. x e. ( S \ { X } ) ( ( F ` x ) = .0. -> ( G ` x ) = .0. ) ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
7137, 41, 68, 70syl21anc 1227 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
7271adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
73 suppssfifsupp 7840 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. _V /\ Fun G /\ .0. e. _V ) /\ ( ( F supp .0. ) e. Fin /\ ( G supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) ) -> G finSupp .0. )
748, 10, 14, 16, 72, 73syl32anc 1236 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) /\ F finSupp .0. ) -> G finSupp .0. )
7574ex 434 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) /\ ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) ) -> ( F finSupp .0. -> G finSupp .0. ) )
7675ex 434 . . . 4 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> ( F finSupp .0. -> G finSupp .0. ) ) )
7776com23 78 . . 3 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U ) -> ( F finSupp .0. -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> G finSupp .0. ) ) )
78773impia 1193 . 2 |- ( ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) -> ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) -> G finSupp .0. ) )
7978impcom 430 1 |- ( ( ( S e. ~P B /\ M e. LMod /\ X e. S ) /\ ( F e. ( E ^m S ) /\ ( F ` X ) e. U /\ F finSupp .0. ) ) -> G finSupp .0. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   Fun wfun 5580   Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   ^m cmap 7417   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14483   .rcmulr 14549  Scalarcsca 14551   0gc0g 14688   invgcminusg 15721   Ringcrg 16983  Unitcui 17069   invrcinvr 17101   LModclmod 17292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-lmod 17294
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  32154  lincresunit3  32155  isldepslvec2  32159
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