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Theorem lincext3 32130
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincext.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincext.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincext.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincext.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincext.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincext.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
lincext3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Distinct variable groups:    z, B    z, E    z, G    z, M    z, S    z, X    z, Y    z, N
Allowed substitution hints:    R( z)    F( z)    .0. ( z)    Z( z)

Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 simp1r 1021 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  S  e.  ~P B )
3 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  S
)
433ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
5 lincext.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
6 lincext.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
7 lincext.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
8 lincext.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 lincext.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
10 lincext.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
11 lincext.f . . . . 5  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 32128 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
13123adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 32129 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  G finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
15143adant3r 1225 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F finSupp  .0.  )
16 elmapi 7437 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
1711fdmdifeqresdif 31995 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
19183ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
20193ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
21 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
22 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 32098 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1250 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
25 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( ( G ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) )  =  ( Y ( .s `  M ) X )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2625eqcoms 2479 . . . . 5  |-  ( ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2726adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )  -> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
28273ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
29 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
30 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
31 elelpwi 4021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
3231expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B ) )
35343ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  ->  X  e.  B )
)
3635impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  B
)
37 simpr1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  Y  e.  E
)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 17337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  Y ) ( .s
`  M ) X ) )
3911a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) ) )
40 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  =  X )  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
43 fvex 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 Y )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( N `  Y ) )
4645eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  =  ( F `  X ) )
4746oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( N `
 Y ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )
4838, 47eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )
4948oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) ) ) )
505, 6, 21, 7lmodvscl 17312 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )
5130, 37, 36, 50syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B
)
525, 22, 9, 29lmodvnegid 17335 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )  -> 
( ( Y ( .s `  M ) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  ( Y
( .s `  M
) X ) ) )  =  Z )
5330, 51, 52syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )  =  Z )
5449, 53eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
55543adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5628, 55eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5724, 56eqtrd 2508 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   invgcminusg 15724   LModclmod 17295   linC clinc 32078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-lmod 17297  df-linc 32080
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  32131  islindeps2  32157
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