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Theorem lincext3 33330
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincext.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincext.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincext.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincext.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincext.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincext.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
lincext3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Distinct variable groups:    z, B    z, E    z, G    z, M    z, S    z, X    z, Y    z, N
Allowed substitution hints:    R( z)    F( z)    .0. ( z)    Z( z)

Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 simp1r 1019 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  S  e.  ~P B )
3 simp2 995 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  S
)
433ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
5 lincext.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
6 lincext.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
7 lincext.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
8 lincext.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 lincext.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
10 lincext.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
11 lincext.f . . . . 5  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 33328 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
13123adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 33329 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  G finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
15143adant3r 1223 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F finSupp  .0.  )
16 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
1711fdmdifeqresdif 33204 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
19183ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
20193ad2ant2 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
21 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
22 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 33298 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1248 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
25 oveq1 6277 . . . . . 6  |-  ( ( G ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) )  =  ( Y ( .s `  M ) X )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2625eqcoms 2466 . . . . 5  |-  ( ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2726adantl 464 . . . 4  |-  ( ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )  -> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
28273ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
29 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
30 simpll 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
31 elelpwi 4010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
3231expcom 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3332adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B ) )
35343ad2ant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  ->  X  e.  B )
)
3635impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  B
)
37 simpr1 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  Y  e.  E
)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 17752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  Y ) ( .s
`  M ) X ) )
3911a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) ) )
40 iftrue 3935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
4140adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  =  X )  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
423adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
43 fvex 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 Y )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( N `  Y ) )
4645eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  =  ( F `  X ) )
4746oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( N `
 Y ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )
4838, 47eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )
4948oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) ) ) )
505, 6, 21, 7lmodvscl 17727 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )
5130, 37, 36, 50syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B
)
525, 22, 9, 29lmodvnegid 17750 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )  -> 
( ( Y ( .s `  M ) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  ( Y
( .s `  M
) X ) ) )  =  Z )
5330, 51, 52syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )  =  Z )
5449, 53eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
55543adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5628, 55eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5724, 56eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   finSupp cfsupp 7821   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932   invgcminusg 16256   LModclmod 17710   linC clinc 33278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-lmod 17712  df-linc 33280
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  33331  islindeps2  33357
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