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Theorem lincext3 31083
Description: Property 3 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 23-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincext.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincext.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincext.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincext.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincext.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincext.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
lincext3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Distinct variable groups:    z, B    z, E    z, G    z, M    z, S    z, X    z, Y    z, N
Allowed substitution hints:    R( z)    F( z)    .0. ( z)    Z( z)

Proof of Theorem lincext3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 simp1r 1013 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  S  e.  ~P B )
3 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  S
)
433ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
5 lincext.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  M
)
6 lincext.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  M )
7 lincext.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
8 lincext.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 lincext.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
10 lincext.n . . . . 5  |-  N  =  ( invg `  R )
11 lincext.f . . . . 5  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext1 31081 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
13123adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11lincext2 31082 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  G finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  .0.  )
15143adant3r 1216 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  F finSupp  .0.  )
16 elmapi 7320 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
1711fdmdifeqresdif 30856 . . . . . 6  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
19183ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
20193ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )
21 eqid 2450 . . . 4  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
22 eqid 2450 . . . 4  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
235, 6, 7, 21, 22, 8lincdifsn 31051 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B  /\  X  e.  S
)  /\  ( F  e.  ( E  ^m  S
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) ) )
241, 2, 4, 13, 15, 20, 23syl321anc 1241 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
25 oveq1 6183 . . . . . 6  |-  ( ( G ( linC  `  M
) ( S  \  { X } ) )  =  ( Y ( .s `  M ) X )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2625eqcoms 2461 . . . . 5  |-  ( ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) )  ->  (
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
2726adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) )  -> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )  =  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) ) )
28273ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) ) )
29 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
30 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  M  e.  LMod )
31 elelpwi 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
3231expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
3433com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B ) )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  ->  X  e.  B )
)
3635impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  B
)
37 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  Y  e.  E
)
385, 6, 21, 29, 7, 10, 30, 36, 37lmodvsneg 17081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) )  =  ( ( N `  Y ) ( .s
`  M ) X ) )
3911a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) ) )
40 iftrue 3881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  =  X )  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  =  ( N `
 Y ) )
423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  X  e.  S
)
43 fvex 5785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 Y )  e. 
_V
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  e.  _V )
4539, 41, 42, 44fvmptd 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( F `  X )  =  ( N `  Y ) )
4645eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  =  ( F `  X ) )
4746oveq1d 6191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( N `
 Y ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )
4838, 47eqtr2d 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )
4948oveq2d 6192 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  ( ( Y ( .s
`  M ) X ) ( +g  `  M
) ( ( invg `  M ) `
 ( Y ( .s `  M ) X ) ) ) )
505, 6, 21, 7lmodvscl 17057 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  E  /\  X  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )
5130, 37, 36, 50syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B
)
525, 22, 9, 29lmodvnegid 17079 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  e.  B )  -> 
( ( Y ( .s `  M ) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M
) `  ( Y
( .s `  M
) X ) ) )  =  Z )
5330, 51, 52syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( invg `  M ) `  ( Y ( .s `  M ) X ) ) )  =  Z )
5449, 53eqtrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
55543adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( Y ( .s `  M
) X ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5628, 55eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  { X } ) ) ( +g  `  M ) ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X ) )  =  Z )
5724, 56eqtrd 2490 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) )  /\  ( G finSupp  .0.  /\  ( Y ( .s `  M ) X )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { X }
) ) ) )  ->  ( F ( linC  `  M ) S )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    \ cdif 3409   ifcif 3875   ~Pcpw 3944   {csn 3961   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434    |` cres 4926   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ^m cmap 7300   finSupp cfsupp 7707   Basecbs 14262   +g cplusg 14326  Scalarcsca 14329   .scvsca 14330   0gc0g 14466   invgcminusg 15499   LModclmod 17040   linC clinc 31031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-lmod 17042  df-linc 31033
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp1  31084  islindeps2  31110
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