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Theorem lincext1 31098
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincext.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincext.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincext.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincext.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincext.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincext.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
lincext1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, E    z, G    z, M    z, S    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    R( z)    F( z)    N( z)    .0. ( z)    Z( z)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
2 lincext.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
3 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
43lmodfgrp 17072 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
54ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
62, 5syl5eqel 2543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  R  e.  Grp )
7 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  Y  e.  E
)
8 lincext.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
9 lincext.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
108, 9grpinvcl 15694 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  E )  ->  ( N `  Y
)  e.  E )
116, 7, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  e.  E
)
1211ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  z  =  X )  ->  ( N `  Y )  e.  E )
13 elmapi 7337 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
14 df-ne 2646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  X  <->  -.  z  =  X )
1514biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  =  X  -> 
z  =/=  X )
1615anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X
)  ->  ( z  e.  S  /\  z  =/=  X ) )
17 eldifsn 4101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  <->  ( z  e.  S  /\  z  =/=  X ) )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X
)  ->  z  e.  ( S  \  { X } ) )
19 ffvelrn 5943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
2018, 19sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  (
z  e.  S  /\  -.  z  =  X
) )  ->  ( G `  z )  e.  E )
2120ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2213, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
23223ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2423adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2524impl 620 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E )
2612, 25ifclda 3922 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  e.  E )
27 eqid 2451 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )
2826, 27fmptd 5969 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) ) : S --> E )
29 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  S  e.  ~P B
)
30 fvex 5802 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
318, 30eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  E  e. 
_V
3229, 31jctil 537 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
3332adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( E  e. 
_V  /\  S  e.  ~P B ) )
34 elmapg 7330 . . . 4  |-  ( ( E  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S )  <-> 
( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) ) : S --> E ) )
3533, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )  e.  ( E  ^m  S )  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) ) : S --> E ) )
3628, 35mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
371, 36syl5eqel 2543 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071    \ cdif 3426   ifcif 3892   ~Pcpw 3961   {csn 3978    |-> cmpt 4451   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   0gc0g 14489   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522   LModclmod 17063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-map 7319  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-rng 16762  df-lmod 17065
This theorem is referenced by:  lincext2  31099  lincext3  31100  lindslinindsimp1  31101  islindeps2  31127
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