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Theorem lincext1 33309
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincext.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincext.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
lincext.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lincext.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lincext.n  |-  N  =  ( invg `  R )
lincext.f  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
lincext1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, E    z, G    z, M    z, S    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    R( z)    F( z)    N( z)    .0. ( z)    Z( z)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2  |-  F  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) )
2 lincext.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
3 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
43lmodfgrp 17716 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
54ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  (Scalar `  M )  e.  Grp )
62, 5syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  R  e.  Grp )
7 simpr1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  Y  e.  E
)
8 lincext.e . . . . . . . 8  |-  E  =  ( Base `  R
)
9 lincext.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( invg `  R )
108, 9grpinvcl 16294 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  Y  e.  E )  ->  ( N `  Y
)  e.  E )
116, 7, 10syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( N `  Y )  e.  E
)
1211ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  z  =  X )  ->  ( N `  Y )  e.  E )
13 elmapi 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  ->  G : ( S  \  { X } ) --> E )
14 df-ne 2651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  X  <->  -.  z  =  X )
1514biimpri 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  =  X  -> 
z  =/=  X )
1615anim2i 567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X
)  ->  ( z  e.  S  /\  z  =/=  X ) )
17 eldifsn 4141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( S  \  { X } )  <->  ( z  e.  S  /\  z  =/=  X ) )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X
)  ->  z  e.  ( S  \  { X } ) )
19 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  z  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( G `  z
)  e.  E )
2018, 19sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ( S 
\  { X }
) --> E  /\  (
z  e.  S  /\  -.  z  =  X
) )  ->  ( G `  z )  e.  E )
2120ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( G : ( S  \  { X } ) --> E  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2213, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) )  -> 
( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z )  e.  E ) )
23223ad2ant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2423adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E ) )
2524impl 618 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  -.  z  =  X )  ->  ( G `  z
)  e.  E )
2612, 25ifclda 3961 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X } ) ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) )  e.  E )
27 eqid 2454 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )
2826, 27fmptd 6031 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) ) : S --> E )
29 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  S  e.  ~P B
)
30 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
318, 30eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  E  e. 
_V
3229, 31jctil 535 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( E  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
3332adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( E  e. 
_V  /\  S  e.  ~P B ) )
34 elmapg 7425 . . . 4  |-  ( ( E  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
)  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S )  <-> 
( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `
 Y ) ,  ( G `  z
) ) ) : S --> E ) )
3533, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) )  e.  ( E  ^m  S )  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X , 
( N `  Y
) ,  ( G `
 z ) ) ) : S --> E ) )
3628, 35mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  X ,  ( N `  Y ) ,  ( G `  z ) ) )  e.  ( E  ^m  S ) )
371, 36syl5eqel 2546 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( Y  e.  E  /\  X  e.  S  /\  G  e.  ( E  ^m  ( S  \  { X }
) ) ) )  ->  F  e.  ( E  ^m  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   0gc0g 14929   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253   LModclmod 17707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-map 7414  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-ring 17395  df-lmod 17709
This theorem is referenced by:  lincext2  33310  lincext3  33311  lindslinindsimp1  33312  islindeps2  33338
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