Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincellss Structured version   Unicode version

Theorem lincellss 39493
 Description: A linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincellss Scalar finSupp Scalar linC

Proof of Theorem lincellss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . 4 Scalar finSupp Scalar
2 simprl 762 . . . 4 Scalar finSupp Scalar Scalar
3 ssexg 4567 . . . . . . . 8
43ancoms 454 . . . . . . 7
5 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
6 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
75, 6lssss 18148 . . . . . . . . 9
8 sstr 3472 . . . . . . . . . . 11
9 elpwg 3987 . . . . . . . . . . 11
108, 9syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . 10
1110expcom 436 . . . . . . . . 9
127, 11syl 17 . . . . . . . 8
1312imp 430 . . . . . . 7
144, 13mpd 15 . . . . . 6
15143adant1 1023 . . . . 5
1615adantr 466 . . . 4 Scalar finSupp Scalar
17 lincval 39476 . . . 4 Scalar linC g
181, 2, 16, 17syl3anc 1264 . . 3 Scalar finSupp Scalar linC g
19 eqid 2422 . . . . 5 Scalar Scalar
20 eqid 2422 . . . . 5 Scalar Scalar
216, 19, 20gsumlsscl 39442 . . . 4 Scalar finSupp Scalar g
2221imp 430 . . 3 Scalar finSupp Scalar g
2318, 22eqeltrd 2510 . 2 Scalar finSupp Scalar linC
2423ex 435 1 Scalar finSupp Scalar linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  cvv 3081   wss 3436  cpw 3979   class class class wbr 4420   cmpt 4479  cfv 5598  (class class class)co 6302   cmap 7477   finSupp cfsupp 7886  cbs 15109  Scalarcsca 15181  cvsca 15182  c0g 15326   g cgsu 15327  clmod 18079  clss 18143   linC clinc 39471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-linc 39473 This theorem is referenced by:  ellcoellss  39502
 Copyright terms: Public domain W3C validator