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Theorem lincdifsn 32507
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincdifsn.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincdifsn.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
lincdifsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincdifsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincdifsn.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1026 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
76eleq2i 2545 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
87biimpi 194 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
1093ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
1211pweqi 4020 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
1312eleq2i 2545 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1413biimpi 194 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
15143ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
17 lincval 32492 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
20 lmodcmn 17429 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
21203ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e. CMnd )
22213ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simp12 1027 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P B )
2414anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
25243adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
26253ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
27 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( S  ^m  V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2928breq2i 4461 . . . . . . . 8  |-  ( F finSupp  .0. 
<->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3029biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  .0.  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
32313ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F finSupp  ( 0g
`  R ) )
333, 2scmfsupp 32453 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  ( 0g `  R ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
35 simpl1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  M  e.  LMod )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 elmapi 7452 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> S )
38 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : V --> S  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x
)  e.  S )
3938ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  -> 
( x  e.  V  ->  ( F `  x
)  e.  S ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V --> S  -> 
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4342impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) )
4443imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  S )
45 elelpwi 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  x  e.  B )
4645expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
47463ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  B )
)
4847adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
4948imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  B )
50 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 17400 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  x )  e.  S  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
53523adantl3 1154 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
54 simp13 1028 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  V )
55 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> S  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X
)  e.  S )
5655expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
57563ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
5837, 57syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
5958adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
6059impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( F `  X )  e.  S
)
61 elelpwi 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
6261ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
63623adant1 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  X  e.  B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 17400 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .x.  X )  e.  B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
68673adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
6965eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  = 
.x.
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( .s `  M )  = 
.x.  )
71 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
72 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
7370, 71, 72oveq123d 6316 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7473adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 16860 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
76 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x ) )
77763ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X }
) ) `  x
) )
78 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( V  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
7977, 78sylan9eq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
8079oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )
8180mpteq2dva 4539 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8281eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8382oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( F `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) 
.+  ( ( F `
 X )  .x.  X ) ) )
8575, 84eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
86 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  V
8786, 5feq23i 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8837, 87sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
90893ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
91 difssd 3637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } ) 
C_  V )
92 fssres 5757 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  /\  ( V  \  { X } ) 
C_  V )  -> 
( F  |`  ( V  \  { X }
) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
94 feq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
95943ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G : ( V  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) )  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
9693, 95mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
97 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
98 difexg 4601 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
99983ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  _V )
100993ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  _V )
101 elmapg 7445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( V  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10297, 100, 101sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10396, 102mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) ) )
104 elpwi 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  C_  B )
10511sseq2i 3534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
106105biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V 
C_  B  ->  V  C_  ( Base `  M
) )
107106ssdifssd 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( V 
C_  B  ->  ( V  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
108104, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
109108adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
11098adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
111 elpwg 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
1141133adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
1151143ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
116 lincval 32492 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  /\  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
1171, 103, 115, 116syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
118117eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) ) )
119118oveq1d 6310 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  .+  ( ( F `  X )  .x.  X
) ) )
12018, 85, 1193eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507   +g cplusg 14572  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713  CMndccmn 16671   LModclmod 17383   linC clinc 32487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-linc 32489
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