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Theorem lincdifsn 31113
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincdifsn.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincdifsn.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
lincdifsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincdifsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincdifsn.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1018 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6213 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
76eleq2i 2532 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
87biimpi 194 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
1093ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
1211pweqi 3975 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
1312eleq2i 2532 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1413biimpi 194 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
15143ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
17 lincval 31098 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
20 lmodcmn 17126 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
21203ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e. CMnd )
22213ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simp12 1019 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P B )
2414anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
25243adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
26253ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
27 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( S  ^m  V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2928breq2i 4411 . . . . . . . 8  |-  ( F finSupp  .0. 
<->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3029biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  .0.  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
32313ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F finSupp  ( 0g
`  R ) )
333, 2scmfsupp 30963 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  ( 0g `  R ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
35 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  M  e.  LMod )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> S )
38 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : V --> S  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x
)  e.  S )
3938ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  -> 
( x  e.  V  ->  ( F `  x
)  e.  S ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V --> S  -> 
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4342impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) )
4443imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  S )
45 elelpwi 3982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  x  e.  B )
4645expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
47463ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  B )
)
4847adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
4948imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  B )
50 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 17098 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  x )  e.  S  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
53523adantl3 1146 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
54 simp13 1020 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  V )
55 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> S  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X
)  e.  S )
5655expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
57563ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
5837, 57syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
5958adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
6059impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( F `  X )  e.  S
)
61 elelpwi 3982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
6261ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
63623adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  X  e.  B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 17098 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .x.  X )  e.  B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
68673adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
6965eqcomi 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  = 
.x.
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( .s `  M )  = 
.x.  )
71 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
72 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
7370, 71, 72oveq123d 6224 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7473adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 30933 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
76 fveq1 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x ) )
77763ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X }
) ) `  x
) )
78 fvres 5816 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( V  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
7977, 78sylan9eq 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
8079oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )
8180mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8281eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8382oveq2d 6219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( F `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6218 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) 
.+  ( ( F `
 X )  .x.  X ) ) )
8575, 84eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  V
8786, 5feq23i 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8837, 87sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
90893ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
91 difssd 3595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } ) 
C_  V )
92 fssres 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  /\  ( V  \  { X } ) 
C_  V )  -> 
( F  |`  ( V  \  { X }
) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
94 feq1 5653 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
95943ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G : ( V  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) )  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
9693, 95mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
97 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
98 difexg 4551 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
99983ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  _V )
100993ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  _V )
101 elmapg 7340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( V  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10297, 100, 101sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10396, 102mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) ) )
104 elpwi 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  C_  B )
10511sseq2i 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
106105biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V 
C_  B  ->  V  C_  ( Base `  M
) )
107106ssdifssd 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( V 
C_  B  ->  ( V  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
108104, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
109108adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
11098adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
111 elpwg 3979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
1141133adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
1151143ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
116 lincval 31098 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  /\  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
1171, 103, 115, 116syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
118117eqcomd 2462 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) ) )
119118oveq1d 6218 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  .+  ( ( F `  X )  .x.  X
) ) )
12018, 85, 1193eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14296   +g cplusg 14361  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502  CMndccmn 16402   LModclmod 17081   linC clinc 31093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-linc 31095
This theorem is referenced by:  lincext3  31145  lindslinindimp2lem4  31150  lincresunit3  31170
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