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Theorem lincdifsn 40204
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b |- B = ( Base ` M )
lincdifsn.r |- R = (Scalar ` M )
lincdifsn.s |- S = ( Base ` R )
lincdifsn.t |- .x. = ( .s ` M )
lincdifsn.p |- .+ = ( +g ` M )
lincdifsn.0 |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1037 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 |- R = (Scalar ` M )
43fveq2i 5866 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
52, 4eqtri 2472 . . . . . . . 8 |- S = ( Base ` (Scalar ` M ) )
65oveq1i 6298 . . . . . . 7 |- ( S ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
76eleq2i 2520 . . . . . 6 |- ( F e. ( S ^m V ) <-> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87biimpi 198 . . . . 5 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
98adantr 467 . . . 4 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
1093ad2ant2 1029 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
1211pweqi 3954 . . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
1312eleq2i 2520 . . . . . 6 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
1413biimpi 198 . . . . 5 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15143ad2ant2 1029 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16153ad2ant1 1028 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17 lincval 40189 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1267 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
20 lmodcmn 18129 . . . . . 6 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
21203ad2ant1 1028 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. CMnd )
22213ad2ant1 1028 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. CMnd )
23 simp12 1038 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P B )
2414anim2i 572 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
25243adant3 1027 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
26253ad2ant1 1028 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
27 simp2l 1033 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( S ^m V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
2928breq2i 4409 . . . . . . . 8 |- ( F finSupp .0. <-> F finSupp ( 0g ` R ) )
3029biimpi 198 . . . . . . 7 |- ( F finSupp .0. -> F finSupp ( 0g ` R ) )
3130adantl 468 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
32313ad2ant2 1029 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
333, 2scmfsupp 40150 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1267 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
35 simpl1 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
3635adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
37 elmapi 7490 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> S )
38 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V --> S /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
3938ex 436 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V --> S -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4241adantr 467 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4342impcom 432 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4443imp 431 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
45 elelpwi 3961 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P B ) -> x e. B )
4645expcom 437 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( x e. V -> x e. B ) )
47463ad2ant2 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4847adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4948imp 431 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> x e. B )
50 eqid 2450 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
5111, 3, 50, 2lmodvscl 18101 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` x ) e. S /\ x e. B ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1267 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
53523adantl3 1165 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
54 simp13 1039 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> X e. V )
55 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : V --> S /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S )
5655expcom 437 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
57563ad2ant3 1030 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
5958adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
6059impcom 432 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. S )
61 elelpwi 3961 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
6261ancoms 455 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
63623adant1 1025 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
6463adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 18101 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. S /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1267 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
68673adant3 1027 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6965eqcomi 2459 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = .x.
7069a1i 11 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( .s ` M ) = .x. )
71 fveq2 5863 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
72 id 22 . . . . . 6 |- ( x = X -> x = X )
7370, 71, 72oveq123d 6309 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7473adantl 468 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x = X ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 17586 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
76 fveq1 5862 . . . . . . . . . 10 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
77763ad2ant3 1030 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
78 fvres 5877 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( V \ { X } ) -> ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
7977, 78sylan9eq 2504 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
8079oveq1d 6303 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) )
8180mpteq2dva 4488 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8281eqcomd 2456 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8382oveq2d 6304 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6303 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
8575, 84eqtrd 2484 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
86 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12 |- V = V
8786, 5feq23i 5720 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8837, 87sylib 200 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8988adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
90893ad2ant2 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
91 difssd 3560 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) C_ V )
9290, 91fssresd 5748 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
93 feq1 5708 . . . . . . . 8 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
94933ad2ant3 1030 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
9592, 94mpbird 236 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
96 fvex 5873 . . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
97 difexg 4550 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) e. _V )
98973ad2ant2 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
99983ad2ant1 1028 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
100 elmapg 7482 . . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( V \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10196, 99, 100sylancr 668 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10295, 101mpbird 236 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) )
103 elpwi 3959 . . . . . . . . . 10 |- ( V e. ~P B -> V C_ B )
10411sseq2i 3456 . . . . . . . . . . . 12 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
105104biimpi 198 . . . . . . . . . . 11 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` M ) )
106105ssdifssd 3570 . . . . . . . . . 10 |- ( V C_ B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
108107adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
10997adantl 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
110 elpwg 3958 . . . . . . . . 9 |- ( ( V \ { X } ) e. _V -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
112108, 111mpbird 236 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1131123adant3 1027 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1141133ad2ant1 1028 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
115 lincval 40189 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) /\ ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
1161, 102, 114, 115syl3anc 1267 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
117116eqcomd 2456 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) )
118117oveq1d 6303 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
11918, 85, 1183eqtrd 2488 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   \ cdif 3400   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331   gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 40184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 40186
This theorem is referenced by:  lincext3  40236  lindslinindimp2lem4  40241  lincresunit3  40261
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