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Theorem lincdifsn 40204
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincdifsn.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincdifsn.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
lincdifsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincdifsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincdifsn.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1037 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6298 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
76eleq2i 2520 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
87biimpi 198 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
1093ad2ant2 1029 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
1211pweqi 3954 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
1312eleq2i 2520 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1413biimpi 198 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
15143ad2ant2 1029 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant1 1028 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
17 lincval 40189 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1267 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
20 lmodcmn 18129 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
21203ad2ant1 1028 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e. CMnd )
22213ad2ant1 1028 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simp12 1038 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P B )
2414anim2i 572 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
25243adant3 1027 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
26253ad2ant1 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
27 simp2l 1033 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( S  ^m  V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2928breq2i 4409 . . . . . . . 8  |-  ( F finSupp  .0. 
<->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3029biimpi 198 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  .0.  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3130adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
32313ad2ant2 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F finSupp  ( 0g
`  R ) )
333, 2scmfsupp 40150 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  ( 0g `  R ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
35 simpl1 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  M  e.  LMod )
3635adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 elmapi 7490 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> S )
38 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : V --> S  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x
)  e.  S )
3938ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  -> 
( x  e.  V  ->  ( F `  x
)  e.  S ) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V --> S  -> 
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4241adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4342impcom 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) )
4443imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  S )
45 elelpwi 3961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  x  e.  B )
4645expcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
47463ad2ant2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  B )
)
4847adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
4948imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  B )
50 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 18101 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  x )  e.  S  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
53523adantl3 1165 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
54 simp13 1039 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  V )
55 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> S  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X
)  e.  S )
5655expcom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
57563ad2ant3 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
5958adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
6059impcom 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( F `  X )  e.  S
)
61 elelpwi 3961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
6261ancoms 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
63623adant1 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
6463adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  X  e.  B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 18101 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .x.  X )  e.  B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
68673adant3 1027 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
6965eqcomi 2459 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  = 
.x.
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( .s `  M )  = 
.x.  )
71 fveq2 5863 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
72 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
7370, 71, 72oveq123d 6309 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7473adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 17586 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
76 fveq1 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x ) )
77763ad2ant3 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X }
) ) `  x
) )
78 fvres 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( V  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
7977, 78sylan9eq 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
8079oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )
8180mpteq2dva 4488 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8281eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8382oveq2d 6304 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( F `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6303 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) 
.+  ( ( F `
 X )  .x.  X ) ) )
8575, 84eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
86 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  V
8786, 5feq23i 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8837, 87sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8988adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
90893ad2ant2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
91 difssd 3560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } ) 
C_  V )
9290, 91fssresd 5748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
93 feq1 5708 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
94933ad2ant3 1030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G : ( V  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) )  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
9592, 94mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
96 fvex 5873 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
97 difexg 4550 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
98973ad2ant2 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  _V )
99983ad2ant1 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  _V )
100 elmapg 7482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( V  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10196, 99, 100sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10295, 101mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) ) )
103 elpwi 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  C_  B )
10411sseq2i 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
105104biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V 
C_  B  ->  V  C_  ( Base `  M
) )
106105ssdifssd 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( V 
C_  B  ->  ( V  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
108107adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
10997adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
110 elpwg 3958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
112108, 111mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
1131123adant3 1027 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
1141133ad2ant1 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
115 lincval 40189 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  /\  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
1161, 102, 114, 115syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
117116eqcomd 2456 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) ) )
118117oveq1d 6303 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  .+  ( ( F `  X )  .x.  X
) ) )
11918, 85, 1183eqtrd 2488 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    \ cdif 3400    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    |` cres 4835   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 40184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 40186
This theorem is referenced by:  lincext3  40236  lindslinindimp2lem4  40241  lincresunit3  40261
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