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Theorem lincdifsn 39490
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b |- B = ( Base ` M )
lincdifsn.r |- R = (Scalar ` M )
lincdifsn.s |- S = ( Base ` R )
lincdifsn.t |- .x. = ( .s ` M )
lincdifsn.p |- .+ = ( +g ` M )
lincdifsn.0 |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1035 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 |- R = (Scalar ` M )
43fveq2i 5880 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
52, 4eqtri 2451 . . . . . . . 8 |- S = ( Base ` (Scalar ` M ) )
65oveq1i 6311 . . . . . . 7 |- ( S ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
76eleq2i 2500 . . . . . 6 |- ( F e. ( S ^m V ) <-> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87biimpi 197 . . . . 5 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
98adantr 466 . . . 4 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
1093ad2ant2 1027 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
1211pweqi 3983 . . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
1312eleq2i 2500 . . . . . 6 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
1413biimpi 197 . . . . 5 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15143ad2ant2 1027 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16153ad2ant1 1026 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17 lincval 39475 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1264 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
20 lmodcmn 18123 . . . . . 6 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
21203ad2ant1 1026 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. CMnd )
22213ad2ant1 1026 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. CMnd )
23 simp12 1036 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P B )
2414anim2i 571 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
25243adant3 1025 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
26253ad2ant1 1026 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
27 simp2l 1031 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( S ^m V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
2928breq2i 4428 . . . . . . . 8 |- ( F finSupp .0. <-> F finSupp ( 0g ` R ) )
3029biimpi 197 . . . . . . 7 |- ( F finSupp .0. -> F finSupp ( 0g ` R ) )
3130adantl 467 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
32313ad2ant2 1027 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
333, 2scmfsupp 39436 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1264 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
35 simpl1 1008 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
3635adantr 466 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
37 elmapi 7497 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> S )
38 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V --> S /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
3938ex 435 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V --> S -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4241adantr 466 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4342impcom 431 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4443imp 430 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
45 elelpwi 3990 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P B ) -> x e. B )
4645expcom 436 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( x e. V -> x e. B ) )
47463ad2ant2 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4847adantr 466 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4948imp 430 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> x e. B )
50 eqid 2422 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
5111, 3, 50, 2lmodvscl 18095 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` x ) e. S /\ x e. B ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1264 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
53523adantl3 1163 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
54 simp13 1037 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> X e. V )
55 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : V --> S /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S )
5655expcom 436 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
57563ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
5958adantr 466 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
6059impcom 431 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. S )
61 elelpwi 3990 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
6261ancoms 454 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
63623adant1 1023 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
6463adantr 466 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 18095 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. S /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1264 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
68673adant3 1025 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6965eqcomi 2435 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = .x.
7069a1i 11 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( .s ` M ) = .x. )
71 fveq2 5877 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
72 id 23 . . . . . 6 |- ( x = X -> x = X )
7370, 71, 72oveq123d 6322 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7473adantl 467 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x = X ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 17580 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
76 fveq1 5876 . . . . . . . . . 10 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
77763ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
78 fvres 5891 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( V \ { X } ) -> ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
7977, 78sylan9eq 2483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
8079oveq1d 6316 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) )
8180mpteq2dva 4507 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8281eqcomd 2430 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8382oveq2d 6317 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6316 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
8575, 84eqtrd 2463 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
86 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12 |- V = V
8786, 5feq23i 5736 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8837, 87sylib 199 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8988adantr 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
90893ad2ant2 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
91 difssd 3593 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) C_ V )
9290, 91fssresd 5763 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
93 feq1 5724 . . . . . . . 8 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
94933ad2ant3 1028 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
9592, 94mpbird 235 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
96 fvex 5887 . . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
97 difexg 4568 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) e. _V )
98973ad2ant2 1027 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
99983ad2ant1 1026 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
100 elmapg 7489 . . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( V \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10196, 99, 100sylancr 667 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10295, 101mpbird 235 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) )
103 elpwi 3988 . . . . . . . . . 10 |- ( V e. ~P B -> V C_ B )
10411sseq2i 3489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
105104biimpi 197 . . . . . . . . . . 11 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` M ) )
106105ssdifssd 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( V C_ B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
108107adantl 467 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
10997adantl 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
110 elpwg 3987 . . . . . . . . 9 |- ( ( V \ { X } ) e. _V -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
112108, 111mpbird 235 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1131123adant3 1025 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1141133ad2ant1 1026 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
115 lincval 39475 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) /\ ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
1161, 102, 114, 115syl3anc 1264 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
117116eqcomd 2430 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) )
118117oveq1d 6316 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
11918, 85, 1183eqtrd 2467 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   ^m cmap 7476   finSupp cfsupp 7885   Basecbs 15108   +g cplusg 15177  Scalarcsca 15180   .scvsca 15181   0gc0g 15325   gsumg cgsu 15326  CMndccmn 17417   LModclmod 18078   linC clinc 39470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-lmod 18080  df-linc 39472
This theorem is referenced by:  lincext3  39522  lindslinindimp2lem4  39527  lincresunit3  39547
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