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Theorem lincdifsn 39490
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincdifsn.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lincdifsn.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
lincdifsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincdifsn.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincdifsn.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )

Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1035 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  (Scalar `  M )
43fveq2i 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
52, 4eqtri 2451 . . . . . . . 8  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
65oveq1i 6311 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
76eleq2i 2500 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  <->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
87biimpi 197 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
98adantr 466 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
1093ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
1211pweqi 3983 . . . . . . 7  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
1312eleq2i 2500 . . . . . 6  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1413biimpi 197 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
15143ad2ant2 1027 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
17 lincval 39475 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
20 lmodcmn 18123 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
21203ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e. CMnd )
22213ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simp12 1036 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  V  e.  ~P B )
2414anim2i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
25243adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
26253ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
27 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F  e.  ( S  ^m  V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2928breq2i 4428 . . . . . . . 8  |-  ( F finSupp  .0. 
<->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3029biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  .0.  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
3130adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F finSupp  ( 0g `  R ) )
32313ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F finSupp  ( 0g
`  R ) )
333, 2scmfsupp 39436 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  ( 0g `  R ) )  -> 
( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) finSupp 
( 0g `  M
) )
35 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  M  e.  LMod )
3635adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 elmapi 7497 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> S )
38 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : V --> S  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x
)  e.  S )
3938ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  -> 
( x  e.  V  ->  ( F `  x
)  e.  S ) )
4039a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V --> S  -> 
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4137, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4241adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) ) )
4342impcom 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  ( F `
 x )  e.  S ) )
4443imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  S )
45 elelpwi 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  x  e.  B )
4645expcom 436 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
47463ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  V  ->  x  e.  B )
)
4847adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( x  e.  V  ->  x  e.  B ) )
4948imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  B )
50 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5111, 3, 50, 2lmodvscl 18095 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  x )  e.  S  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
53523adantl3 1163 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  B )
54 simp13 1037 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  X  e.  V )
55 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> S  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X
)  e.  S )
5655expcom 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
57563ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F : V --> S  -> 
( F `  X
)  e.  S ) )
5837, 57syl5com 31 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
5958adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  (
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  S
) )
6059impcom 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( F `  X )  e.  S
)
61 elelpwi 3990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
6261ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
63623adant1 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
6463adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  X  e.  B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 18095 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  .x.  X )  e.  B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )
)  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
68673adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( F `  X )  .x.  X )  e.  B
)
6965eqcomi 2435 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  = 
.x.
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( .s `  M )  = 
.x.  )
71 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
72 id 23 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
7370, 71, 72oveq123d 6322 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7473adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  =  X )  ->  (
( F `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( F `
 X )  .x.  X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 17580 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
76 fveq1 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x ) )
77763ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G `  x )  =  ( ( F  |`  ( V  \  { X }
) ) `  x
) )
78 fvres 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( V  \  { X } )  -> 
( ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) `  x )  =  ( F `  x ) )
7977, 78sylan9eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
8079oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  /\  x  e.  ( V  \  { X } ) )  -> 
( ( G `  x ) ( .s
`  M ) x )  =  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )
8180mpteq2dva 4507 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8281eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
8382oveq2d 6317 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( F `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x
) ( .s `  M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6316 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) 
.+  ( ( F `
 X )  .x.  X ) ) )
8575, 84eqtrd 2463 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  V  |->  ( ( F `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) ) )
86 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  V
8786, 5feq23i 5736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : V --> S  <->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8837, 87sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  ^m  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
8988adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S  ^m  V )  /\  F finSupp  .0.  )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
90893ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  F : V
--> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
91 difssd 3593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } ) 
C_  V )
9290, 91fssresd 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
93 feq1 5724 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) )  -> 
( G : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
)  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
94933ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G : ( V  \  { X } ) --> (
Base `  (Scalar `  M
) )  <->  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) : ( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
9592, 94mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) )
96 fvex 5887 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
97 difexg 4568 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
98973ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  _V )
99983ad2ant1 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  _V )
100 elmapg 7489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  ( V  \  { X } )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10196, 99, 100sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  <->  G :
( V  \  { X } ) --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
10295, 101mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) ) )
103 elpwi 3988 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  C_  B )
10411sseq2i 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
105104biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V 
C_  B  ->  V  C_  ( Base `  M
) )
106105ssdifssd 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( V 
C_  B  ->  ( V  \  { X }
)  C_  ( Base `  M ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
108107adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M ) )
10997adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  _V )
110 elpwg 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  \  { X } )  e.  _V  ->  ( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( ( V  \  { X } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( V  \  { X } )  C_  ( Base `  M )
) )
112108, 111mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B )  -> 
( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)
1131123adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( V  \  { X }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
1141133ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
115 lincval 39475 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( V  \  { X } ) )  /\  ( V  \  { X } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
1161, 102, 114, 115syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( G
( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
117116eqcomd 2430 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  ( V 
\  { X }
)  |->  ( ( G `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) ) )
118117oveq1d 6316 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  ( V  \  { X } )  |->  ( ( G `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  .+  ( ( F `  X ) 
.x.  X ) )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( V  \  { X } ) )  .+  ( ( F `  X )  .x.  X
) ) )
11918, 85, 1183eqtrd 2467 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  ( F  e.  ( S  ^m  V
)  /\  F finSupp  .0.  )  /\  G  =  ( F  |`  ( V  \  { X } ) ) )  ->  ( F
( linC  `  M ) V )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( V 
\  { X }
) )  .+  (
( F `  X
)  .x.  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    |` cres 4851   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    ^m cmap 7476   finSupp cfsupp 7885   Basecbs 15108   +g cplusg 15177  Scalarcsca 15180   .scvsca 15181   0gc0g 15325    gsumg cgsu 15326  CMndccmn 17417   LModclmod 18078   linC clinc 39470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-hash 12515  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-abl 17420  df-mgp 17711  df-ur 17723  df-ring 17769  df-lmod 18080  df-linc 39472
This theorem is referenced by:  lincext3  39522  lindslinindimp2lem4  39527  lincresunit3  39547
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