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Theorem lincdifsn 31113
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincdifsn.b |- B = ( Base ` M )
lincdifsn.r |- R = (Scalar ` M )
lincdifsn.s |- S = ( Base ` R )
lincdifsn.t |- .x. = ( .s ` M )
lincdifsn.p |- .+ = ( +g ` M )
lincdifsn.0 |- .0. = ( 0g ` R )
Assertion
Ref Expression
lincdifsn |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Proof of Theorem lincdifsn
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1018 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. LMod )
2 lincdifsn.s . . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
3 lincdifsn.r . . . . . . . . . 10 |- R = (Scalar ` M )
43fveq2i 5805 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
52, 4eqtri 2483 . . . . . . . 8 |- S = ( Base ` (Scalar ` M ) )
65oveq1i 6213 . . . . . . 7 |- ( S ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
76eleq2i 2532 . . . . . 6 |- ( F e. ( S ^m V ) <-> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
87biimpi 194 . . . . 5 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
98adantr 465 . . . 4 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
1093ad2ant2 1010 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
11 lincdifsn.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
1211pweqi 3975 . . . . . . 7 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
1312eleq2i 2532 . . . . . 6 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
1413biimpi 194 . . . . 5 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15143ad2ant2 1010 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16153ad2ant1 1009 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17 lincval 31098 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
181, 10, 16, 17syl3anc 1219 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
19 lincdifsn.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
20 lmodcmn 17126 . . . . . 6 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
21203ad2ant1 1009 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. CMnd )
22213ad2ant1 1009 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> M e. CMnd )
23 simp12 1019 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> V e. ~P B )
2414anim2i 569 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
25243adant3 1008 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
26253ad2ant1 1009 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
27 simp2l 1014 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F e. ( S ^m V ) )
28 lincdifsn.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
2928breq2i 4411 . . . . . . . 8 |- ( F finSupp .0. <-> F finSupp ( 0g ` R ) )
3029biimpi 194 . . . . . . 7 |- ( F finSupp .0. -> F finSupp ( 0g ` R ) )
3130adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
32313ad2ant2 1010 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F finSupp ( 0g ` R ) )
333, 2scmfsupp 30963 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp ( 0g ` R ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
3426, 27, 32, 33syl3anc 1219 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
35 simpl1 991 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> M e. LMod )
3635adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> M e. LMod )
37 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> S )
38 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V --> S /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
3938ex 434 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4039a1d 25 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V --> S -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4241adantr 465 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) ) )
4342impcom 430 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> ( F ` x ) e. S ) )
4443imp 429 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( F ` x ) e. S )
45 elelpwi 3982 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. V /\ V e. ~P B ) -> x e. B )
4645expcom 435 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( x e. V -> x e. B ) )
47463ad2ant2 1010 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4847adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( x e. V -> x e. B ) )
4948imp 429 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> x e. B )
50 eqid 2454 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
5111, 3, 50, 2lmodvscl 17098 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` x ) e. S /\ x e. B ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
5236, 44, 49, 51syl3anc 1219 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
53523adantl3 1146 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) e. B )
54 simp13 1020 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> X e. V )
55 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : V --> S /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S )
5655expcom 435 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
57563ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F : V --> S -> ( F ` X ) e. S ) )
5837, 57syl5com 30 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( S ^m V ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
5958adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. S ) )
6059impcom 430 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( F ` X ) e. S )
61 elelpwi 3982 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
6261ancoms 453 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
63623adant1 1006 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
6463adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> X e. B )
65 lincdifsn.t . . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
6611, 3, 65, 2lmodvscl 17098 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` X ) e. S /\ X e. B ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6735, 60, 64, 66syl3anc 1219 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
68673adant3 1008 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( F ` X ) .x. X ) e. B )
6965eqcomi 2467 . . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = .x.
7069a1i 11 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( .s ` M ) = .x. )
71 fveq2 5802 . . . . . 6 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
72 id 22 . . . . . 6 |- ( x = X -> x = X )
7370, 71, 72oveq123d 6224 . . . . 5 |- ( x = X -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7473adantl 466 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x = X ) -> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` X ) .x. X ) )
7511, 19, 22, 23, 34, 53, 54, 68, 74gsumdifsnd 30933 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
76 fveq1 5801 . . . . . . . . . 10 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
77763ad2ant3 1011 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ` x ) = ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) )
78 fvres 5816 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( V \ { X } ) -> ( ( F |` ( V \ { X } ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
7977, 78sylan9eq 2515 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
8079oveq1d 6218 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) /\ x e. ( V \ { X } ) ) -> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) )
8180mpteq2dva 4489 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8281eqcomd 2462 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) = ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) )
8382oveq2d 6219 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
8483oveq1d 6218 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
8575, 84eqtrd 2495 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. V |-> ( ( F ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12 |- V = V
8786, 5feq23i 5664 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : V --> S <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8837, 87sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S ^m V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
90893ad2ant2 1010 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
91 difssd 3595 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) C_ V )
92 fssres 5689 . . . . . . . 8 |- ( ( F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( V \ { X } ) C_ V ) -> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9390, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
94 feq1 5653 . . . . . . . 8 |- ( G = ( F |` ( V \ { X } ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
95943ad2ant3 1011 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) <-> ( F |` ( V \ { X } ) ) : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
9693, 95mpbird 232 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
97 fvex 5812 . . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
98 difexg 4551 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) e. _V )
99983ad2ant2 1010 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
100993ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
101 elmapg 7340 . . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ ( V \ { X } ) e. _V ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10297, 100, 101sylancr 663 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) <-> G : ( V \ { X } ) --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10396, 102mpbird 232 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) )
104 elpwi 3980 . . . . . . . . . 10 |- ( V e. ~P B -> V C_ B )
10511sseq2i 3492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
106105biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( V C_ B -> V C_ ( Base ` M ) )
107106ssdifssd 3605 . . . . . . . . . 10 |- ( V C_ B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
108104, 107syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( V e. ~P B -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
109108adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) )
11098adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. _V )
111 elpwg 3979 . . . . . . . . 9 |- ( ( V \ { X } ) e. _V -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) <-> ( V \ { X } ) C_ ( Base ` M ) ) )
113109, 112mpbird 232 . . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1141133adant3 1008 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
1151143ad2ant1 1009 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) )
116 lincval 31098 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ G e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m ( V \ { X } ) ) /\ ( V \ { X } ) e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
1171, 103, 115, 116syl3anc 1219 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) = ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
118117eqcomd 2462 . . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) )
119118oveq1d 6218 . 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. ( V \ { X } ) |-> ( ( G ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
12018, 85, 1193eqtrd 2499 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ ( F e. ( S ^m V ) /\ F finSupp .0. ) /\ G = ( F |` ( V \ { X } ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( ( G ( linC ` M ) ( V \ { X } ) ) .+ ( ( F ` X ) .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14296   +g cplusg 14361  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   0gc0g 14501   gsumg cgsu 14502  CMndccmn 16402   LModclmod 17081   linC clinc 31093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-linc 31095
This theorem is referenced by:  lincext3  31145  lindslinindimp2lem4  31150  lincresunit3  31170
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