Theorem linccl 39513

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	|- B = ( Base ` M )
linccl.r	|- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
linccl	|- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Proof of Theorem linccl

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
2		linccl.r	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
3	2	oveq1i 6313	. . . . . . 7 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
4	3	eleq2i 2501	. . . . . 6 |- ( S e. ( R ^m V ) <-> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
5	4	biimpi 198	. . . . 5 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
6	5	3ad2ant3 1029	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
7	6	adantl 468	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
8		linccl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
9	8	sseq2i 3490	. . . . . 6 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
10		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) e. _V
11	10	ssex 4566	. . . . . . . 8 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. _V )
12		elpwg 3988	. . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
14	13	ibir 246	. . . . . 6 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15	9, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- ( V C_ B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16	15	3ad2ant2 1028	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17	16	adantl 468	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
18		lincval 39508	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1265	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
20		eqid 2423	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
21		lmodcmn 18129	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
22	21	adantr 467	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. CMnd )
23		simpr1 1012	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Fin )
24	1	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
25		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
26	2, 25	eqeltri 2507	. . . . . . . . . . 11 |- R e. _V
27		elmapg 7491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. _V /\ V e. Fin ) -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
28	26, 27	mpan 675	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
29		ffvelrn 6033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S : V --> R /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
30	29	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( S : V --> R -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
31	28, 30	syl6bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) ) )
32	31	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
33	32	3adant2 1025	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
34	33	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
35	34	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
36		ssel 3459	. . . . . . . 8 |- ( V C_ B -> ( v e. V -> v e. B ) )
37	36	3ad2ant2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
38	37	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
39	38	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. B )
40		eqid 2423	. . . . . 6 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
41		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
42	8, 40, 41, 2	lmodvscl 18101	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( S ` v ) e. R /\ v e. B ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
43	24, 35, 39, 42	syl3anc 1265	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
44		eqid 2423	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) )
45	43, 44	fmptd 6059	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) : V --> B )
46	16	anim2i 572	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
47		simpr3 1014	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( R ^m V ) )
48		elmapi 7499	. . . . . . 7 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S : V --> R )
49	48	3ad2ant3 1029	. . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S : V --> R )
50	49	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S : V --> R )
51		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V
52	51	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
53	50, 23, 52	fdmfifsupp 7897	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
54	40, 2	scmfsupp 39469	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ S e. ( R ^m V ) /\ S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
55	46, 47, 53, 54	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
56	8, 20, 22, 23, 45, 55	gsumcl 17542	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) e. B )
57	19, 56	eqeltrd 2511	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   _Vcvv 3082   C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ^m cmap 7478   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331   gsum_g cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 39503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 39505

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