Theorem linccl 40194

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	|- B = ( Base ` M )
linccl.r	|- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
linccl	|- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Proof of Theorem linccl

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
2		linccl.r	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
3	2	oveq1i 6298	. . . . . . 7 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
4	3	eleq2i 2520	. . . . . 6 |- ( S e. ( R ^m V ) <-> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
5	4	biimpi 198	. . . . 5 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
6	5	3ad2ant3 1030	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
7	6	adantl 468	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
8		linccl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
9	8	sseq2i 3456	. . . . . 6 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
10		fvex 5873	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) e. _V
11	10	ssex 4546	. . . . . . . 8 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. _V )
12		elpwg 3958	. . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
14	13	ibir 246	. . . . . 6 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15	9, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- ( V C_ B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16	15	3ad2ant2 1029	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17	16	adantl 468	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
18		lincval 40189	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1267	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
20		eqid 2450	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
21		lmodcmn 18129	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
22	21	adantr 467	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. CMnd )
23		simpr1 1013	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Fin )
24	1	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
25		fvex 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
26	2, 25	eqeltri 2524	. . . . . . . . . . 11 |- R e. _V
27		elmapg 7482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. _V /\ V e. Fin ) -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
28	26, 27	mpan 675	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
29		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S : V --> R /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
30	29	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( S : V --> R -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
31	28, 30	syl6bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) ) )
32	31	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
33	32	3adant2 1026	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
34	33	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
35	34	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
36		ssel 3425	. . . . . . . 8 |- ( V C_ B -> ( v e. V -> v e. B ) )
37	36	3ad2ant2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
38	37	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
39	38	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. B )
40		eqid 2450	. . . . . 6 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
41		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
42	8, 40, 41, 2	lmodvscl 18101	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( S ` v ) e. R /\ v e. B ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
43	24, 35, 39, 42	syl3anc 1267	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
44		eqid 2450	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) )
45	43, 44	fmptd 6044	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) : V --> B )
46	16	anim2i 572	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
47		simpr3 1015	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( R ^m V ) )
48		elmapi 7490	. . . . . . 7 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S : V --> R )
49	48	3ad2ant3 1030	. . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S : V --> R )
50	49	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S : V --> R )
51		fvex 5873	. . . . . 6 |- ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V
52	51	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
53	50, 23, 52	fdmfifsupp 7890	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
54	40, 2	scmfsupp 40150	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ S e. ( R ^m V ) /\ S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
55	46, 47, 53, 54	syl3anc 1267	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
56	8, 20, 22, 23, 45, 55	gsumcl 17542	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) e. B )
57	19, 56	eqeltrd 2528	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331   gsum_g cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 40184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 40186

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