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Theorem linccl 39513
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
linccl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
Assertion
Ref Expression
linccl  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )

Proof of Theorem linccl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 linccl.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
32oveq1i 6313 . . . . . . 7  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
43eleq2i 2501 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
54biimpi 198 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
653ad2ant3 1029 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
76adantl 468 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
8 linccl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
98sseq2i 3490 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
10 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1110ssex 4566 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  _V )
12 elpwg 3988 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1413ibir 246 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
159, 14sylbi 199 . . . . 5  |-  ( V 
C_  B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant2 1028 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1716adantl 468 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
18 lincval 39508 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
191, 7, 17, 18syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
20 eqid 2423 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
21 lmodcmn 18129 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
2221adantr 467 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simpr1 1012 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  Fin )
241adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
25 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
262, 25eqeltri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
27 elmapg 7491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  Fin )  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
S : V --> R ) )
2826, 27mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S : V
--> R ) )
29 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  v
)  e.  R )
3029ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3128, 30syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) ) )
3231imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
33323adant2 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) )
3433adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3534imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S `  v )  e.  R
)
36 ssel 3459 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  B  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
37363ad2ant2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
3837adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  v  e.  B ) )
3938imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  B )
40 eqid 2423 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
41 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
428, 40, 41, 2lmodvscl 18101 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S `  v )  e.  R  /\  v  e.  B )  ->  (
( S `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  B )
4324, 35, 39, 42syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S `  v )
( .s `  M
) v )  e.  B )
44 eqid 2423 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( S `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
4543, 44fmptd 6059 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) : V --> B )
4616anim2i 572 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
47 simpr3 1014 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( R  ^m  V ) )
48 elmapi 7499 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S : V --> R )
49483ad2ant3 1029 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S : V --> R )
5049adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S : V --> R )
51 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  e.  _V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V )
5350, 23, 52fdmfifsupp 7897 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
5440, 2scmfsupp 39469 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  S  e.  ( R  ^m  V )  /\  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( S `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
5546, 47, 53, 54syl3anc 1265 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
568, 20, 22, 23, 45, 55gsumcl 17542 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )  e.  B )
5719, 56eqeltrd 2511 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    C_ wss 3437   ~Pcpw 3980   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 39503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 39505
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