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Theorem linccl 40194
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
linccl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
Assertion
Ref Expression
linccl  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )

Proof of Theorem linccl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 linccl.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
32oveq1i 6298 . . . . . . 7  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
43eleq2i 2520 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
54biimpi 198 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
653ad2ant3 1030 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
76adantl 468 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
8 linccl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
98sseq2i 3456 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
10 fvex 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1110ssex 4546 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  _V )
12 elpwg 3958 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1413ibir 246 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
159, 14sylbi 199 . . . . 5  |-  ( V 
C_  B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant2 1029 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1716adantl 468 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
18 lincval 40189 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
191, 7, 17, 18syl3anc 1267 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
20 eqid 2450 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
21 lmodcmn 18129 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
2221adantr 467 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simpr1 1013 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  Fin )
241adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
25 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
262, 25eqeltri 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
27 elmapg 7482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  Fin )  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
S : V --> R ) )
2826, 27mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S : V
--> R ) )
29 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  v
)  e.  R )
3029ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3128, 30syl6bi 232 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) ) )
3231imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
33323adant2 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) )
3433adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3534imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S `  v )  e.  R
)
36 ssel 3425 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  B  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
37363ad2ant2 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
3837adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  v  e.  B ) )
3938imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  B )
40 eqid 2450 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
41 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
428, 40, 41, 2lmodvscl 18101 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S `  v )  e.  R  /\  v  e.  B )  ->  (
( S `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  B )
4324, 35, 39, 42syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S `  v )
( .s `  M
) v )  e.  B )
44 eqid 2450 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( S `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
4543, 44fmptd 6044 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) : V --> B )
4616anim2i 572 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
47 simpr3 1015 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( R  ^m  V ) )
48 elmapi 7490 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S : V --> R )
49483ad2ant3 1030 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S : V --> R )
5049adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S : V --> R )
51 fvex 5873 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  e.  _V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V )
5350, 23, 52fdmfifsupp 7890 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
5440, 2scmfsupp 40150 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  S  e.  ( R  ^m  V )  /\  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( S `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
5546, 47, 53, 54syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
568, 20, 22, 23, 45, 55gsumcl 17542 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )  e.  B )
5719, 56eqeltrd 2528 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15114  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 40184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 40186
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