Theorem linccl 31100

Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linccl.b	|- B = ( Base ` M )
linccl.r	|- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
linccl	|- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Proof of Theorem linccl

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
2		linccl.r	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
3	2	oveq1i 6213	. . . . . . 7 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
4	3	eleq2i 2532	. . . . . 6 |- ( S e. ( R ^m V ) <-> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
5	4	biimpi 194	. . . . 5 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
6	5	3ad2ant3 1011	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
7	6	adantl 466	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
8		linccl.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
9	8	sseq2i 3492	. . . . . 6 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
10		fvex 5812	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) e. _V
11	10	ssex 4547	. . . . . . . 8 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. _V )
12		elpwg 3979	. . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
14	13	ibir 242	. . . . . 6 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
15	9, 14	sylbi 195	. . . . 5 |- ( V C_ B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16	15	3ad2ant2 1010	. . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
17	16	adantl 466	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
18		lincval 31095	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
19	1, 7, 17, 18	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
20		eqid 2454	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
21		lmodcmn 17119	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
22	21	adantr 465	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. CMnd )
23		simpr1 994	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Fin )
24	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
25		fvex 5812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
26	2, 25	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . 11 |- R e. _V
27		elmapg 7340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. _V /\ V e. Fin ) -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
28	26, 27	mpan 670	. . . . . . . . . 10 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
29		ffvelrn 5953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S : V --> R /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
30	29	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( S : V --> R -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
31	28, 30	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) ) )
32	31	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
33	32	3adant2 1007	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
34	33	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
35	34	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
36		ssel 3461	. . . . . . . 8 |- ( V C_ B -> ( v e. V -> v e. B ) )
37	36	3ad2ant2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
38	37	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
39	38	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. B )
40		eqid 2454	. . . . . 6 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
41		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
42	8, 40, 41, 2	lmodvscl 17091	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( S ` v ) e. R /\ v e. B ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
43	24, 35, 39, 42	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
44		eqid 2454	. . . 4 |- ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) )
45	43, 44	fmptd 5979	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) : V --> B )
46	16	anim2i 569	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
47		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( R ^m V ) )
48		elmapi 7347	. . . . . . 7 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S : V --> R )
49	48	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S : V --> R )
50	49	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S : V --> R )
51		fvex 5812	. . . . . 6 |- ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V
52	51	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
53	50, 23, 52	fdmfifsupp 7744	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
54	40, 2	scmfsupp 30960	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ S e. ( R ^m V ) /\ S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
55	46, 47, 53, 54	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
56	8, 20, 22, 23, 45, 55	gsumcl 16521	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) e. B )
57	19, 56	eqeltrd 2542	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501  CMndccmn 16401   LModclmod 17074   linC clinc 31090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-linc 31092

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