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Theorem linccl 38459
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
linccl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
Assertion
Ref Expression
linccl  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )

Proof of Theorem linccl
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e.  LMod )
2 linccl.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
32oveq1i 6242 . . . . . . 7  |-  ( R  ^m  V )  =  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )
43eleq2i 2478 . . . . . 6  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
54biimpi 194 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
653ad2ant3 1018 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
) )
8 linccl.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
98sseq2i 3464 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  B  <->  V  C_  ( Base `  M ) )
10 fvex 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1110ssex 4535 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  _V )
12 elpwg 3960 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M )  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( V  e.  ~P ( Base `  M
)  <->  V  C_  ( Base `  M ) ) )
1413ibir 242 . . . . . 6  |-  ( V 
C_  ( Base `  M
)  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
159, 14sylbi 195 . . . . 5  |-  ( V 
C_  B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
16153ad2ant2 1017 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
1716adantl 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
18 lincval 38454 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
191, 7, 17, 18syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) ) ) )
20 eqid 2400 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
21 lmodcmn 17768 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
2221adantr 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  M  e. CMnd )
23 simpr1 1001 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  V  e.  Fin )
241adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  M  e.  LMod )
25 fvex 5813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
262, 25eqeltri 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
27 elmapg 7388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  Fin )  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <-> 
S : V --> R ) )
2826, 27mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  <->  S : V
--> R ) )
29 ffvelrn 5961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S : V --> R  /\  v  e.  V )  ->  ( S `  v
)  e.  R )
3029ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( S : V --> R  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3128, 30syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) ) )
3231imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
33323adant2 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( S `  v
)  e.  R ) )
3433adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  ( S `  v
)  e.  R ) )
3534imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( S `  v )  e.  R
)
36 ssel 3433 . . . . . . . 8  |-  ( V 
C_  B  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
37363ad2ant2 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
3837adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  ->  v  e.  B ) )
3938imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  v  e.  B )
40 eqid 2400 . . . . . 6  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
41 eqid 2400 . . . . . 6  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
428, 40, 41, 2lmodvscl 17739 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S `  v )  e.  R  /\  v  e.  B )  ->  (
( S `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  B )
4324, 35, 39, 42syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( S `  v )
( .s `  M
) v )  e.  B )
44 eqid 2400 . . . 4  |-  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s `  M
) v ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( S `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
4543, 44fmptd 5987 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) : V --> B )
4616anim2i 567 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
47 simpr3 1003 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S  e.  ( R  ^m  V ) )
48 elmapi 7396 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( R  ^m  V )  ->  S : V --> R )
49483ad2ant3 1018 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) )  ->  S : V --> R )
5049adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S : V --> R )
51 fvex 5813 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  e.  _V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V )
5350, 23, 52fdmfifsupp 7791 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  ->  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) ) )
5440, 2scmfsupp 38415 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  S  e.  ( R  ^m  V )  /\  S finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M )
) )  ->  (
v  e.  V  |->  ( ( S `  v
) ( .s `  M ) v ) ) finSupp  ( 0g `  M ) )
5546, 47, 53, 54syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) finSupp  ( 0g
`  M ) )
568, 20, 22, 23, 45, 55gsumcl 17137 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( v  e.  V  |->  ( ( S `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) )  e.  B )
5719, 56eqeltrd 2488 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  C_  B  /\  S  e.  ( R  ^m  V
) ) )  -> 
( S ( linC  `  M ) V )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   Fincfn 7472   finSupp cfsupp 7781   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944    gsumg cgsu 14945  CMndccmn 17012   LModclmod 17722   linC clinc 38449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-lmod 17724  df-linc 38451
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