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Theorem linc1 31111
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc1.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
linc1.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
linc1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
linc1.1  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
linc1.f  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
linc1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  X )
Distinct variable groups:    x, B    x, M    x, V    x, X    x,  .0.    x,  .1.
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x)

Proof of Theorem linc1
Dummy variables  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
2 linc1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  M )
32lmodrng 17082 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
42eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  M )  =  S
54fveq2i 5805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
6 linc1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
75, 6rngidcl 16791 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
8 linc1.0 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
95, 8rng0cl 16792 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
107, 9jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  (  .1. 
e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
113, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  (  .1. 
e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
12113ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
14 ifcl 3942 . . . . . 6  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
)  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
16 linc1.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
1715, 16fmptd 5979 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
18 fvex 5812 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
19 simp2 989 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P B )
20 elmapg 7340 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P B )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2118, 19, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2217, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
23 linc1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423pweqi 3975 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2524eleq2i 2532 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
2625biimpi 194 . . . 4  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
27263ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
28 lincval 31095 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
291, 22, 27, 28syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
30 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
31 lmodgrp 17081 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
32 grpmnd 15672 . . . . 5  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
34333ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e.  Mnd )
35 simp3 990 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
361adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
38 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
392, 38, 6lmod1cl 17101 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  .1.  e.  ( Base `  S )
)
40393ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  S
) )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  S
) )
422, 38, 8lmod0cl 17100 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  S )
)
43423ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
4541, 44ifcld 3943 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  S ) )
46 eqeq1 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  X  <->  y  =  X ) )
4746ifbid 3922 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
4847, 16fvmptg 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  V  /\  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
4937, 45, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
5049, 45eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  S
) )
51 elelpwi 3982 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  y  e.  B )
5251expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( y  e.  V  ->  y  e.  B ) )
53523ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
y  e.  B ) )
5453imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  B )
55 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5623, 2, 55, 38lmodvscl 17091 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  B )  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  e.  B )
5736, 50, 54, 56syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  e.  B )
58 eqid 2454 . . . 4  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s `  M
) y ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) )
5957, 58fmptd 5979 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( F `  y
) ( .s `  M ) y ) ) : V --> B )
60 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
61 id 22 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  y  =  v )
6260, 61oveq12d 6221 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  =  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
6362cbvmptv 4494 . . . . 5  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s `  M
) y ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
64 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
66 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  _V )
6863, 19, 65, 67mptsuppd 6825 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  =  { v  e.  V  |  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v )  =/=  ( 0g `  M
) } )
69 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
7069a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) ) )
71 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  V )
72 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  e. 
_V
736, 72eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .1.  e.  _V
74 fvex 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
758, 74eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  e.  _V
7673, 75ifex 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
77 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  X  <->  v  =  X ) )
7877ifbid 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
7978, 16fvmptg 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  V  /\  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( F `  v
)  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
8071, 76, 79sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( F `  v
)  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
81 iffalse 3910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  v  =  X  ->  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  ->  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
8380, 82eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( F `  v
)  =  .0.  )
8483oveq1d 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =  (  .0.  ( .s `  M
) v ) )
851adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  ->  M  e.  LMod )
87 elelpwi 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  v  e.  B )
8887expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( v  e.  V  ->  v  e.  B ) )
89883ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  B )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  B )
9223, 2, 55, 8, 30lmod0vs 17107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  v  e.  B )  ->  (  .0.  ( .s `  M
) v )  =  ( 0g `  M
) )
9386, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
(  .0.  ( .s
`  M ) v )  =  ( 0g
`  M ) )
9484, 93eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =  ( 0g
`  M ) )
9594neeq1d 2729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( 0g `  M )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
96 eqneqall 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0g `  M )  =  ( 0g `  M )  ->  (
( 0g `  M
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
9730, 96ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  M )  =/=  ( 0g `  M )  ->  v  =  X )
9895, 97syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  -> 
v  =  X ) )
9998ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  v  =  X  -> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) ) )
10070, 99pm2.61i 164 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
101100ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  A. v  e.  V  ( (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  ->  v  =  X ) )
102 rabsssn 30886 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { X }  <->  A. v  e.  V  ( ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
103101, 102sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  { v  e.  V  |  ( ( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M ) }  C_  { X } )
10468, 103eqsstrd 3501 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) supp  ( 0g
`  M ) ) 
C_  { X }
)
10523, 30, 34, 19, 35, 59, 104gsumpt 16579 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) `  X ) )
106 ovex 6228 . . . 4  |-  ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X )  e. 
_V
107 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
108 id 22 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  y  =  X )
109107, 108oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  =  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
110109, 58fvmptg 5884 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) `  X )  =  ( ( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )
11135, 106, 110sylancl 662 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )
112 iftrue 3908 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
113112, 16fvmptg 5884 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  .1.  e.  _V )  -> 
( F `  X
)  =  .1.  )
11435, 73, 113sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  =  .1.  )
115114oveq1d 6218 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  =  (  .1.  ( .s `  M ) X ) )
116 elelpwi 3982 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
117116ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
1181173adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
11923, 2, 55, 6lmodvs1 17102 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  ( .s `  M
) X )  =  X )
1201, 118, 119syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  ( .s `  M
) X )  =  X )
121111, 115, 1203eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) `  X
)  =  X )
12229, 105, 1213eqtrd 2499 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803    ^m cmap 7327   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531   Grpcgrp 15532   1rcur 16728   Ringcrg 16771   LModclmod 17074   linC clinc 31090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-linc 31092
This theorem is referenced by:  lcoss  31122
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