Theorem linc1 31111

Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linc1.b	|- B = ( Base ` M )
linc1.s	|- S = (Scalar ` M )
linc1.0	|- .0. = ( 0g ` S )
linc1.1	|- .1. = ( 1r ` S )
linc1.f	|- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
linc1	|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Distinct variable groups:   x, B   x, M   x, V   x, X   x, .0.   x, .1.

Allowed substitution hints:   S( x)   F( x)

Proof of Theorem linc1

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 988	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. LMod )
2		linc1.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
3	2	lmodrng 17082	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> S e. Ring )
4	2	eqcomi 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` M ) = S
5	4	fveq2i 5805	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
6		linc1.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 1r ` S )
7	5, 6	rngidcl 16791	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8		linc1.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
9	5, 8	rng0cl 16792	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
10	7, 9	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Ring -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	3, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14		ifcl 3942	. . . . . 6 |- ( ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
16		linc1.f	. . . . 5 |- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )
17	15, 16	fmptd 5979	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
18		fvex 5812	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
19		simp2 989	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P B )
20		elmapg 7340	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P B ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
22	17, 21	mpbird 232	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
23		linc1.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
24	23	pweqi 3975	. . . . . 6 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
25	24	eleq2i 2532	. . . . 5 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
26	25	biimpi 194	. . . 4 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
27	26	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
28		lincval 31095	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
29	1, 22, 27, 28	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
30		eqid 2454	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
31		lmodgrp 17081	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
32		grpmnd 15672	. . . . 5 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
33	31, 32	syl 16	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
34	33	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. Mnd )
35		simp3 990	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. V )
36	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> M e. LMod )
37		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. V )
38		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
39	2, 38, 6	lmod1cl 17101	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .1. e. ( Base ` S ) )
40	39	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
42	2, 38, 8	lmod0cl 17100	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .0. e. ( Base ` S ) )
43	42	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
45	41, 44	ifcld 3943	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) )
46		eqeq1 2458	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = X <-> y = X ) )
47	46	ifbid 3922	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
48	47, 16	fvmptg 5884	. . . . . . 7 |- ( ( y e. V /\ if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
49	37, 45, 48	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
50	49, 45	eqeltrd 2542	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` S ) )
51		elelpwi 3982	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ V e. ~P B ) -> y e. B )
52	51	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P B -> ( y e. V -> y e. B ) )
53	52	3ad2ant2 1010	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V -> y e. B ) )
54	53	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. B )
55		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
56	23, 2, 55, 38	lmodvscl 17091	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` y ) e. ( Base ` S ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
57	36, 50, 54, 56	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
58		eqid 2454	. . . 4 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) )
59	57, 58	fmptd 5979	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) : V --> B )
60		fveq2 5802	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
61		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = v -> y = v )
62	60, 61	oveq12d 6221	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
63	62	cbvmptv 4494	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
64		fvex 5812	. . . . . 6 |- ( 0g ` M ) e. _V
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
66		ovex 6228	. . . . . 6 |- ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V )
68	63, 19, 65, 67	mptsuppd 6825	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) = { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } )
69		ax-1 6	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
70	69	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
71		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. V )
72		fvex 5812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1r ` S ) e. _V
73	6, 72	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .1. e. _V
74		fvex 5812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` S ) e. _V
75	8, 74	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .0. e. _V
76	73, 75	ifex 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V
77		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( x = X <-> v = X ) )
78	77	ifbid 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
79	78, 16	fvmptg 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. V /\ if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
80	71, 76, 79	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
81		iffalse 3910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. v = X -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
83	80, 82	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = .0. )
84	83	oveq1d 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( .0. ( .s ` M ) v ) )
85	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
86	85	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> M e. LMod )
87		elelpwi 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. V /\ V e. ~P B ) -> v e. B )
88	87	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. ~P B -> ( v e. V -> v e. B ) )
89	88	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
90	89	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> v e. B )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. B )
92	23, 2, 55, 8, 30	lmod0vs 17107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. LMod /\ v e. B ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
93	86, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
94	84, 93	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
95	94	neeq1d 2729	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) ) )
96		eqneqall 2661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) = ( 0g ` M ) -> ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
97	30, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X )
98	95, 97	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
99	98	ex 434	. . . . . . 7 |- ( -. v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
100	70, 99	pm2.61i 164	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
101	100	ralrimiva 2830	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
102		rabsssn 30886	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } <-> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
103	101, 102	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } )
104	68, 103	eqsstrd 3501	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) C_ { X } )
105	23, 30, 34, 19, 35, 59, 104	gsumpt 16579	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) )
106		ovex 6228	. . . 4 |- ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V
107		fveq2 5802	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
108		id 22	. . . . . 6 |- ( y = X -> y = X )
109	107, 108	oveq12d 6221	. . . . 5 |- ( y = X -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
110	109, 58	fvmptg 5884	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
111	35, 106, 110	sylancl 662	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
112		iftrue 3908	. . . . . 6 |- ( x = X -> if ( x = X , .1. , .0. ) = .1. )
113	112, 16	fvmptg 5884	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ .1. e. _V ) -> ( F ` X ) = .1. )
114	35, 73, 113	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) = .1. )
115	114	oveq1d 6218	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) = ( .1. ( .s ` M ) X ) )
116		elelpwi 3982	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
117	116	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
118	117	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
119	23, 2, 55, 6	lmodvs1 17102	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
120	1, 118, 119	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
121	111, 115, 120	3eqtrd 2499	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = X )
122	29, 105, 121	3eqtrd 2499	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   {csn 3988   |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803   ^m cmap 7327   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501   Mndcmnd 15531   Grpcgrp 15532   1rcur 16728   Ringcrg 16771   LModclmod 17074   linC clinc 31090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-linc 31092

This theorem is referenced by:  lcoss  31122