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Theorem linc1 32463
Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linc1.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
linc1.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
linc1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
linc1.1  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
linc1.f  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
Assertion
Ref Expression
linc1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  X )
Distinct variable groups:    x, B    x, M    x, V    x, X    x,  .0.    x,  .1.
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x)

Proof of Theorem linc1
Dummy variables  v 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
2 linc1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  M )
32lmodring 17391 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  S  e. 
Ring )
42eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  M )  =  S
54fveq2i 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  S )
6 linc1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 1r `  S )
75, 6ringidcl 17091 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
8 linc1.0 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
95, 8ring0cl 17092 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
107, 9jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Ring  ->  (  .1. 
e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
113, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  (  .1. 
e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
12113ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) )  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
14 ifcl 3987 . . . . . 6  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
)  /\  .0.  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  V )  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
16 linc1.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
1715, 16fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
18 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
19 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P B )
20 elmapg 7445 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V  /\  V  e.  ~P B )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2118, 19, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  V
)  <->  F : V --> ( Base `  (Scalar `  M )
) ) )
2217, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V ) )
23 linc1.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423pweqi 4020 . . . . . 6  |-  ~P B  =  ~P ( Base `  M
)
2524eleq2i 2545 . . . . 5  |-  ( V  e.  ~P B  <->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
2625biimpi 194 . . . 4  |-  ( V  e.  ~P B  ->  V  e.  ~P ( Base `  M ) )
27263ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  V  e.  ~P ( Base `  M
) )
28 lincval 32447 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  V )  /\  V  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
291, 22, 27, 28syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
30 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
31 lmodgrp 17390 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
32 grpmnd 15934 . . . . 5  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
3331, 32syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
34333ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  M  e.  Mnd )
35 simp3 998 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
361adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
37 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
38 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
392, 38, 6lmod1cl 17410 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  .1.  e.  ( Base `  S )
)
40393ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  S
) )
4140adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  .1.  e.  ( Base `  S
) )
422, 38, 8lmod0cl 17409 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  LMod  ->  .0.  e.  ( Base `  S )
)
43423ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  .0.  e.  ( Base `  S
) )
4541, 44ifcld 3988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  S ) )
46 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  X  <->  y  =  X ) )
4746ifbid 3967 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
4847, 16fvmptg 5955 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  V  /\  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( F `  y
)  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
4937, 45, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  y )  =  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
5049, 45eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  S
) )
51 elelpwi 4027 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  y  e.  B )
5251expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( y  e.  V  ->  y  e.  B ) )
53523ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
y  e.  V  -> 
y  e.  B ) )
5453imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  B )
55 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5623, 2, 55, 38lmodvscl 17400 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  S
)  /\  y  e.  B )  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  e.  B )
5736, 50, 54, 56syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  V )  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  e.  B )
58 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s `  M
) y ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) )
5957, 58fmptd 6056 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
y  e.  V  |->  ( ( F `  y
) ( .s `  M ) y ) ) : V --> B )
60 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
61 id 22 . . . . . . 7  |-  ( y  =  v  ->  y  =  v )
6260, 61oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  =  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
6362cbvmptv 4544 . . . . 5  |-  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s `  M
) y ) )  =  ( v  e.  V  |->  ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v ) )
64 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
66 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  e.  _V )
6863, 19, 65, 67mptsuppd 6935 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) supp  ( 0g
`  M ) )  =  { v  e.  V  |  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v )  =/=  ( 0g `  M
) } )
69 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  X  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
7069a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( v  =  X  ->  (
( ( M  e. 
LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) ) )
71 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  V )
72 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  S )  e. 
_V
736, 72eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .1.  e.  _V
74 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
758, 74eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  e.  _V
7673, 75ifex 4014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
77 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
x  =  X  <->  v  =  X ) )
7877ifbid 3967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
7978, 16fvmptg 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  V  /\  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( F `  v
)  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
8071, 76, 79sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( F `  v
)  =  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
81 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  v  =  X  ->  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  ->  if ( v  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
8380, 82eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( F `  v
)  =  .0.  )
8483oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =  (  .0.  ( .s `  M
) v ) )
851adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  M  e.  LMod )
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  ->  M  e.  LMod )
87 elelpwi 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  v  e.  B )
8887expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  ~P B  -> 
( v  e.  V  ->  v  e.  B ) )
89883ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
v  e.  V  -> 
v  e.  B ) )
9089imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  B )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  B )
9223, 2, 55, 8, 30lmod0vs 17416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  v  e.  B )  ->  (  .0.  ( .s `  M
) v )  =  ( 0g `  M
) )
9386, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
(  .0.  ( .s
`  M ) v )  =  ( 0g
`  M ) )
9484, 93eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =  ( 0g
`  M ) )
9594neeq1d 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( 0g `  M )  =/=  ( 0g `  M ) ) )
96 eqneqall 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0g `  M )  =  ( 0g `  M )  ->  (
( 0g `  M
)  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
9730, 96ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  M )  =/=  ( 0g `  M )  ->  v  =  X )
9895, 97syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  v  =  X  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 v ) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  -> 
v  =  X ) )
9998ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  v  =  X  -> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e. 
~P B  /\  X  e.  V )  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) ) )
10070, 99pm2.61i 164 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  /\  v  e.  V )  ->  (
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
101100ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  A. v  e.  V  ( (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M )  ->  v  =  X ) )
102 rabsssn 32354 . . . . 5  |-  ( { v  e.  V  | 
( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M ) } 
C_  { X }  <->  A. v  e.  V  ( ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v )  =/=  ( 0g
`  M )  -> 
v  =  X ) )
103101, 102sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  { v  e.  V  |  ( ( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =/=  ( 0g `  M ) }  C_  { X } )
10468, 103eqsstrd 3543 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) supp  ( 0g
`  M ) ) 
C_  { X }
)
10523, 30, 34, 19, 35, 59, 104gsumpt 16861 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) `  X ) )
106 ovex 6320 . . . 4  |-  ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X )  e. 
_V
107 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( F `  y )  =  ( F `  X ) )
108 id 22 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  y  =  X )
109107, 108oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( F `  y
) ( .s `  M ) y )  =  ( ( F `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
110109, 58fvmptg 5955 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( F `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  |->  ( ( F `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) `  X )  =  ( ( F `  X
) ( .s `  M ) X ) )
11135, 106, 110sylancl 662 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) `  X
)  =  ( ( F `  X ) ( .s `  M
) X ) )
112 iftrue 3951 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  if ( x  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
113112, 16fvmptg 5955 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  .1.  e.  _V )  -> 
( F `  X
)  =  .1.  )
11435, 73, 113sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  =  .1.  )
115114oveq1d 6310 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( F `  X
) ( .s `  M ) X )  =  (  .1.  ( .s `  M ) X ) )
116 elelpwi 4027 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  V  e.  ~P B
)  ->  X  e.  B )
117116ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  ~P B  /\  X  e.  V
)  ->  X  e.  B )
1181173adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
11923, 2, 55, 6lmodvs1 17411 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  ( .s `  M
) X )  =  X )
1201, 118, 119syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (  .1.  ( .s `  M
) X )  =  X )
121111, 115, 1203eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  (
( y  e.  V  |->  ( ( F `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) `  X
)  =  X )
12229, 105, 1213eqtrd 2512 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P B  /\  X  e.  V )  ->  ( F ( linC  `  M ) V )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   {csn 4033    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913    ^m cmap 7432   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   1rcur 17025   Ringcrg 17070   LModclmod 17383   linC clinc 32442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-linc 32444
This theorem is referenced by:  lcoss  32474
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