Theorem linc1 32463

Description: A vector is a linear combination of a set containing this vector. (Contributed by AV, 18-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
linc1.b	|- B = ( Base ` M )
linc1.s	|- S = (Scalar ` M )
linc1.0	|- .0. = ( 0g ` S )
linc1.1	|- .1. = ( 1r ` S )
linc1.f	|- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )

Assertion

Ref	Expression
linc1	|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Distinct variable groups:   x, B   x, M   x, V   x, X   x, .0.   x, .1.

Allowed substitution hints:   S( x)   F( x)

Proof of Theorem linc1

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 996	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. LMod )
2		linc1.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
3	2	lmodring 17391	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> S e. Ring )
4	2	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` M ) = S
5	4	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` S )
6		linc1.1	. . . . . . . . . . 11 |- .1. = ( 1r ` S )
7	5, 6	ringidcl 17091	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8		linc1.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
9	5, 8	ring0cl 17092	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. Ring -> .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
10	7, 9	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Ring -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	3, 10	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14		ifcl 3987	. . . . . 6 |- ( ( .1. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ .0. e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ x e. V ) -> if ( x = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
16		linc1.f	. . . . 5 |- F = ( x e. V |-> if ( x = X , .1. , .0. ) )
17	15, 16	fmptd 6056	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
18		fvex 5882	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
19		simp2 997	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P B )
20		elmapg 7445	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P B ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
22	17, 21	mpbird 232	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
23		linc1.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
24	23	pweqi 4020	. . . . . 6 |- ~P B = ~P ( Base ` M )
25	24	eleq2i 2545	. . . . 5 |- ( V e. ~P B <-> V e. ~P ( Base ` M ) )
26	25	biimpi 194	. . . 4 |- ( V e. ~P B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
27	26	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
28		lincval 32447	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
29	1, 22, 27, 28	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) )
30		eqid 2467	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
31		lmodgrp 17390	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
32		grpmnd 15934	. . . . 5 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
33	31, 32	syl 16	. . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
34	33	3ad2ant1 1017	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> M e. Mnd )
35		simp3 998	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. V )
36	1	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> M e. LMod )
37		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. V )
38		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
39	2, 38, 6	lmod1cl 17410	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .1. e. ( Base ` S ) )
40	39	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .1. e. ( Base ` S ) )
42	2, 38, 8	lmod0cl 17409	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> .0. e. ( Base ` S ) )
43	42	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> .0. e. ( Base ` S ) )
45	41, 44	ifcld 3988	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) )
46		eqeq1 2471	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x = X <-> y = X ) )
47	46	ifbid 3967	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
48	47, 16	fvmptg 5955	. . . . . . 7 |- ( ( y e. V /\ if ( y = X , .1. , .0. ) e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
49	37, 45, 48	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) = if ( y = X , .1. , .0. ) )
50	49, 45	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` S ) )
51		elelpwi 4027	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. V /\ V e. ~P B ) -> y e. B )
52	51	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P B -> ( y e. V -> y e. B ) )
53	52	3ad2ant2 1018	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V -> y e. B ) )
54	53	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> y e. B )
55		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
56	23, 2, 55, 38	lmodvscl 17400	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( F ` y ) e. ( Base ` S ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
57	36, 50, 54, 56	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ y e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) e. B )
58		eqid 2467	. . . 4 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) )
59	57, 58	fmptd 6056	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) : V --> B )
60		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( F ` y ) = ( F ` v ) )
61		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = v -> y = v )
62	60, 61	oveq12d 6313	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
63	62	cbvmptv 4544	. . . . 5 |- ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) = ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) )
64		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( 0g ` M ) e. _V
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( 0g ` M ) e. _V )
66		ovex 6320	. . . . . 6 |- ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) e. _V )
68	63, 19, 65, 67	mptsuppd 6935	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) = { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } )
69		ax-1 6	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
70	69	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
71		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. V )
72		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1r ` S ) e. _V
73	6, 72	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .1. e. _V
74		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` S ) e. _V
75	8, 74	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .0. e. _V
76	73, 75	ifex 4014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V
77		eqeq1 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( x = X <-> v = X ) )
78	77	ifbid 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> if ( x = X , .1. , .0. ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
79	78, 16	fvmptg 5955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. V /\ if ( v = X , .1. , .0. ) e. _V ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
80	71, 76, 79	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = if ( v = X , .1. , .0. ) )
81		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. v = X -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> if ( v = X , .1. , .0. ) = .0. )
83	80, 82	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( F ` v ) = .0. )
84	83	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( .0. ( .s ` M ) v ) )
85	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
86	85	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> M e. LMod )
87		elelpwi 4027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. V /\ V e. ~P B ) -> v e. B )
88	87	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. ~P B -> ( v e. V -> v e. B ) )
89	88	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
90	89	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> v e. B )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> v e. B )
92	23, 2, 55, 8, 30	lmod0vs 17416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. LMod /\ v e. B ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
93	86, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( .0. ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
94	84, 93	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( 0g ` M ) )
95	94	neeq1d 2744	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) <-> ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) ) )
96		eqneqall 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` M ) = ( 0g ` M ) -> ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
97	30, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0g ` M ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X )
98	95, 97	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( ( -. v = X /\ ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
99	98	ex 434	. . . . . . 7 |- ( -. v = X -> ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) ) )
100	70, 99	pm2.61i 164	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) /\ v e. V ) -> ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
101	100	ralrimiva 2881	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
102		rabsssn 32354	. . . . 5 |- ( { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } <-> A. v e. V ( ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) -> v = X ) )
103	101, 102	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> { v e. V | ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) =/= ( 0g ` M ) } C_ { X } )
104	68, 103	eqsstrd 3543	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) supp ( 0g ` M ) ) C_ { X } )
105	23, 30, 34, 19, 35, 59, 104	gsumpt 16861	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( M gsumg ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ) = ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) )
106		ovex 6320	. . . 4 |- ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V
107		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( F ` y ) = ( F ` X ) )
108		id 22	. . . . . 6 |- ( y = X -> y = X )
109	107, 108	oveq12d 6313	. . . . 5 |- ( y = X -> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
110	109, 58	fvmptg 5955	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
111	35, 106, 110	sylancl 662	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) )
112		iftrue 3951	. . . . . 6 |- ( x = X -> if ( x = X , .1. , .0. ) = .1. )
113	112, 16	fvmptg 5955	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ .1. e. _V ) -> ( F ` X ) = .1. )
114	35, 73, 113	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ` X ) = .1. )
115	114	oveq1d 6310	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( F ` X ) ( .s ` M ) X ) = ( .1. ( .s ` M ) X ) )
116		elelpwi 4027	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ V e. ~P B ) -> X e. B )
117	116	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
118	117	3adant1 1014	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> X e. B )
119	23, 2, 55, 6	lmodvs1 17411	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
120	1, 118, 119	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( .1. ( .s ` M ) X ) = X )
121	111, 115, 120	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( ( y e. V |-> ( ( F ` y ) ( .s ` M ) y ) ) ` X ) = X )
122	29, 105, 121	3eqtrd 2512	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P B /\ X e. V ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   {csn 4033   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   ^m cmap 7432   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   gsum_g cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   1rcur 17025   Ringcrg 17070   LModclmod 17383   linC clinc 32442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-linc 32444

This theorem is referenced by:  lcoss  32474