Theorem limvinlv 14941

Description: The limit value of a convergent function whose values are in a Hausdorff space belongs to the set of the limit values.

Hypotheses

Ref	Expression
limvinlv.1	|- X = U.J
limvinlv.2	|- Y = U.L
limvinlv.3	|- A = U.((J fLimf L)` F)

Assertion

Ref	Expression
limvinlv	|- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))

Proof of Theorem limvinlv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 880	. . . 4 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> L e. Fil)
2		simpl1 879	. . . 4 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> J e. Haus)
3		simpl3 881	. . . 4 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> F:Y-->X)
4	1, 2, 3	3jca 1050	. . 3 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> (L e. Fil /\ J e. Haus /\ F:Y-->X))
5		limvinlv.2	. . . 4 |- Y = U.L
6		limvinlv.1	. . . 4 |- X = U.J
7	5, 6	holimf2 10327	. . 3 |- (((L e. Fil /\ J e. Haus /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> E!a a e. ((J fLimf L)` F))
8	4, 7	sylancom 531	. 2 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> E!a a e. ((J fLimf L)` F))
9		pm4.24 479	. . . . 5 |- (a e. ((J fLimf L)` F) <-> (a e. ((J fLimf L)` F) /\ a e. ((J fLimf L)` F)))
10	9	eubii 1780	. . . 4 |- (E!a a e. ((J fLimf L)` F) <-> E!a(a e. ((J fLimf L)` F) /\ a e. ((J fLimf L)` F)))
11		df-reu 2111	. . . 4 |- (E!a e. ((J fLimf L)` F)a e. ((J fLimf L)` F) <-> E!a(a e. ((J fLimf L)` F) /\ a e. ((J fLimf L)` F)))
12	10, 11	bitr4i 193	. . 3 |- (E!a a e. ((J fLimf L)` F) <-> E!a e. ((J fLimf L)` F)a e. ((J fLimf L)` F))
13		eqtr 1904	. . . . 5 |- (((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} /\ {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}}) -> (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}})
14		inidm 2803	. . . . . 6 |- (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = ((J fLimf L)` F)
15		eqtr 1904	. . . . . . . . 9 |- ((((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) /\ (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}}) -> ((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}})
16		dfin5 2604	. . . . . . . . . 10 |- (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}
17		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) /\ (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}) -> ((J fLimf L)` F) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)})
18		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J fLimf L)` F) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> U.((J fLimf L)` F) = U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)})
19		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (U.((J fLimf L)` F) = U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> {U.((J fLimf L)` F)} = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}})
20		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} /\ {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} = {U.((J fLimf L)` F)}) -> ((J fLimf L)` F) = {U.((J fLimf L)` F)})
21		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J fLimf L)` F) e. _V
22	21	uniex 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- U.((J fLimf L)` F) e. _V
23	22	snid 3069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U.((J fLimf L)` F) e. {U.((J fLimf L)` F)}
24		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({U.((J fLimf L)` F)} = ((J fLimf L)` F) -> (U.((J fLimf L)` F) e. {U.((J fLimf L)` F)} <-> U.((J fLimf L)` F) e. ((J fLimf L)` F)))
25		limvinlv.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- A = U.((J fLimf L)` F)
26		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (U.((J fLimf L)` F) = A -> (U.((J fLimf L)` F) e. ((J fLimf L)` F) <-> A e. ((J fLimf L)` F)))
27	26	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (U.((J fLimf L)` F) = A -> (U.((J fLimf L)` F) e. ((J fLimf L)` F) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
28	27	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (A = U.((J fLimf L)` F) -> (U.((J fLimf L)` F) e. ((J fLimf L)` F) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
29	25, 28	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (U.((J fLimf L)` F) e. ((J fLimf L)` F) -> A e. ((J fLimf L)` F))
30	24, 29	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ({U.((J fLimf L)` F)} = ((J fLimf L)` F) -> (U.((J fLimf L)` F) e. {U.((J fLimf L)` F)} -> A e. ((J fLimf L)` F)))
31	30	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((J fLimf L)` F) = {U.((J fLimf L)` F)} -> (U.((J fLimf L)` F) e. {U.((J fLimf L)` F)} -> A e. ((J fLimf L)` F)))
32	23, 31	mpi 55	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((J fLimf L)` F) = {U.((J fLimf L)` F)} -> A e. ((J fLimf L)` F))
33	32	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((J fLimf L)` F) = {U.((J fLimf L)` F)} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
34	20, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} /\ {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} = {U.((J fLimf L)` F)}) -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
35	34	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} = {U.((J fLimf L)` F)} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
36	35	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({U.((J fLimf L)` F)} = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
37	19, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U.((J fLimf L)` F) = U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
38	18, 37	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J fLimf L)` F) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
39	17, 38	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) /\ (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}) -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
40	39	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) -> ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))))
41	40	eqcoms 1887	. . . . . . . . . 10 |- ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = ((J fLimf L)` F) -> ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} -> (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))))
42	14, 16, 41	mp2 54	. . . . . . . . 9 |- (((J fLimf L)` F) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
43	15, 42	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) /\ (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}}) -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
44	43	ex 402	. . . . . . 7 |- (((J fLimf L)` F) = (((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) -> ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
45	44	eqcoms 1887	. . . . . 6 |- ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = ((J fLimf L)` F) -> ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))))
46	14, 45	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}} -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
47	13, 46	syl 12	. . . 4 |- (((((J fLimf L)` F) i^i ((J fLimf L)` F)) = {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} /\ {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}}) -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
48		reuunisn 3822	. . . 4 |- (E!a e. ((J fLimf L)` F)a e. ((J fLimf L)` F) -> {a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)} = {U.{a e. ((J fLimf L)` F) | a e. ((J fLimf L)` F)}})
49	47, 16, 48	sylancr 526	. . 3 |- (E!a e. ((J fLimf L)` F)a e. ((J fLimf L)` F) -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
50	12, 49	sylbi 216	. 2 |- (E!a a e. ((J fLimf L)` F) -> (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F)))
51	8, 50	mpcom 60	1 |- (((J e. Haus /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((J fLimf L)` F) =/= (/)) -> A e. ((J fLimf L)` F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771   =/= wne 2017  E!wreu 2107  {crab 2108   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Hauscha 9058  Filcfil 10264   fLimf cflimf 10305

This theorem is referenced by:  flimfneih 14942  limnumrr 15034  flimfneic 15036  flimfneicn 15037

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-fin 5430  df-top 8861  df-nei 8989  df-haus 9059  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295  df-filmap 10306  df-flimf 10316

Copyright terms: Public domain