Theorem limuni3 6684

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem limuni3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 5438	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( Lim x <-> Lim z ) )
2	1	rspcv 3148	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> Lim z ) )
3		vex 3050	. . . . . . 7 |- z e. _V
4		limelon 5489	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ Lim z ) -> z e. On )
5	3, 4	mpan 677	. . . . . 6 |- ( Lim z -> z e. On )
6	2, 5	syl6com 36	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> z e. On ) )
7	6	ssrdv 3440	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> A C_ On )
8		ssorduni 6617	. . . 4 |- ( A C_ On -> Ord U. A )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> Ord U. A )
10	9	adantl 468	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Ord U. A )
11		n0 3743	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
12		0ellim 5488	. . . . . . 7 |- ( Lim z -> (/) e. z )
13		elunii 4206	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. z /\ z e. A ) -> (/) e. U. A )
14	13	expcom 437	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( (/) e. z -> (/) e. U. A ) )
15	12, 14	syl5 33	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( Lim z -> (/) e. U. A ) )
16	2, 15	syld 45	. . . . 5 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
17	16	exlimiv 1778	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
18	11, 17	sylbi 199	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
19	18	imp 431	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> (/) e. U. A )
20		eluni2 4205	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. z e. A y e. z )
21	1	rspccv 3149	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> Lim z ) )
22		limsuc 6681	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( y e. z <-> suc y e. z ) )
23	22	anbi1d 712	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) <-> ( suc y e. z /\ z e. A ) ) )
24		elunii 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A )
25	23, 24	syl6bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A ) )
26	25	expd 438	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> ( y e. z -> ( z e. A -> suc y e. U. A ) ) )
27	26	com3r 82	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( Lim z -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
28	21, 27	sylcom 30	. . . . . 6 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
29	28	rexlimdv 2879	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( E. z e. A y e. z -> suc y e. U. A ) )
30	20, 29	syl5bi 221	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> ( y e. U. A -> suc y e. U. A ) )
31	30	ralrimiv 2802	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
32	31	adantl 468	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
33		dflim4 6680	. 2 |- ( Lim U. A <-> ( Ord U. A /\ (/) e. U. A /\ A. y e. U. A suc y e. U. A ) )
34	10, 19, 32, 33	syl3anbrc 1193	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   E.wex 1665   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   (/)c0 3733   U.cuni 4201   Ord word 5425   Oncon0 5426   Lim wlim 5427   suc csuc 5428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432

This theorem is referenced by: (None)