Theorem limuni3 6660

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem limuni3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 4879	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( Lim x <-> Lim z ) )
2	1	rspcv 3203	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> Lim z ) )
3		vex 3109	. . . . . . 7 |- z e. _V
4		limelon 4930	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ Lim z ) -> z e. On )
5	3, 4	mpan 668	. . . . . 6 |- ( Lim z -> z e. On )
6	2, 5	syl6com 35	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> z e. On ) )
7	6	ssrdv 3495	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> A C_ On )
8		ssorduni 6594	. . . 4 |- ( A C_ On -> Ord U. A )
9	7, 8	syl 16	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> Ord U. A )
10	9	adantl 464	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Ord U. A )
11		n0 3793	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
12		0ellim 4929	. . . . . . 7 |- ( Lim z -> (/) e. z )
13		elunii 4240	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. z /\ z e. A ) -> (/) e. U. A )
14	13	expcom 433	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( (/) e. z -> (/) e. U. A ) )
15	12, 14	syl5 32	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( Lim z -> (/) e. U. A ) )
16	2, 15	syld 44	. . . . 5 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
17	16	exlimiv 1727	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
18	11, 17	sylbi 195	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
19	18	imp 427	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> (/) e. U. A )
20		eluni2 4239	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. z e. A y e. z )
21	1	rspccv 3204	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> Lim z ) )
22		limsuc 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( y e. z <-> suc y e. z ) )
23	22	anbi1d 702	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) <-> ( suc y e. z /\ z e. A ) ) )
24		elunii 4240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A )
25	23, 24	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A ) )
26	25	expd 434	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> ( y e. z -> ( z e. A -> suc y e. U. A ) ) )
27	26	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( Lim z -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
28	21, 27	sylcom 29	. . . . . 6 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
29	28	rexlimdv 2944	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( E. z e. A y e. z -> suc y e. U. A ) )
30	20, 29	syl5bi 217	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> ( y e. U. A -> suc y e. U. A ) )
31	30	ralrimiv 2866	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
32	31	adantl 464	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
33		dflim4 6656	. 2 |- ( Lim U. A <-> ( Ord U. A /\ (/) e. U. A /\ A. y e. U. A suc y e. U. A ) )
34	10, 19, 32, 33	syl3anbrc 1178	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873

This theorem is referenced by: (None)