Theorem limuni3 3936

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem limuni3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 3669	. . . . . . . 8 |- (x = z -> (Lim x <-> Lim z))
2	1	rcla4v 2376	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> Lim z))
3		visset 2295	. . . . . . . 8 |- z e. _V
4		limelon 3727	. . . . . . . 8 |- ((z e. _V /\ Lim z) -> z e. On)
5	3, 4	mpan 759	. . . . . . 7 |- (Lim z -> z e. On)
6	2, 5	syl6com 64	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> z e. On))
7	6	ssrdv 2622	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> A C_ On)
8		ssorduni 3870	. . . . 5 |- (A C_ On -> Ord U.A)
9	7, 8	syl 12	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> Ord U.A)
10	9	adantl 424	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Ord U.A)
11		n0 2884	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
12		elunii 3182	. . . . . . . . 9 |- (((/) e. z /\ z e. A) -> (/) e. U.A)
13	12	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((/) e. z -> (/) e. U.A))
14		0ellim 3726	. . . . . . . 8 |- (Lim z -> (/) e. z)
15	13, 14	syl5 20	. . . . . . 7 |- (z e. A -> (Lim z -> (/) e. U.A))
16	2, 15	syld 30	. . . . . 6 |- (z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
17	16	19.23aiv 1674	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
18	11, 17	sylbi 216	. . . 4 |- (A =/= (/) -> (A.x e. A Lim x -> (/) e. U.A))
19	18	imp 377	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (/) e. U.A)
20	1	rcla4cv 2377	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> Lim z))
21		limsuc 3933	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> (y e. z <-> suc y e. z))
22	21	anbi1d 679	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) <-> (suc y e. z /\ z e. A)))
23		elunii 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ((suc y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A)
24	22, 23	syl6bi 231	. . . . . . . . . 10 |- (Lim z -> ((y e. z /\ z e. A) -> suc y e. U.A))
25	24	exp3a 405	. . . . . . . . 9 |- (Lim z -> (y e. z -> (z e. A -> suc y e. U.A)))
26	25	com3r 39	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (Lim z -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
27	20, 26	sylcom 62	. . . . . . 7 |- (A.x e. A Lim x -> (z e. A -> (y e. z -> suc y e. U.A)))
28	27	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (A.x e. A Lim x -> (E.z e. A y e. z -> suc y e. U.A))
29		eluni2 3181	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.z e. A y e. z)
30	28, 29	syl5ib 223	. . . . 5 |- (A.x e. A Lim x -> (y e. U.A -> suc y e. U.A))
31	30	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (A.x e. A Lim x -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
32	31	adantl 424	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> A.y e. U.A suc y e. U.A)
33	10, 19, 32	3jca 1050	. 2 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
34		dflim4 3932	. 2 |- (Lim U.A <-> (Ord U.A /\ (/) e. U.A /\ A.y e. U.A suc y e. U.A))
35	33, 34	sylibr 217	1 |- ((A =/= (/) /\ A.x e. A Lim x) -> Lim U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  omsublim 5887  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain