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Theorem limuni3 6568
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 4834 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( Lim  x  <->  Lim  z ) )
21rspcv 3169 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Lim  z ) )
3 vex 3075 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 limelon 4885 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  /\  Lim  z )  ->  z  e.  On )
53, 4mpan 670 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  z  e.  On )
62, 5syl6com 35 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  On ) )
76ssrdv 3465 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A  C_  On )
8 ssorduni 6502 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Ord  U. A )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Ord  U. A )
11 n0 3749 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
12 0ellim 4884 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
13 elunii 4199 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  z  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  e.  U. A )
1413expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( (/) 
e.  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
1512, 14syl5 32 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
162, 15syld 44 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A ) )
1716exlimiv 1689 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/) 
e.  U. A ) )
1811, 17sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A
) )
1918imp 429 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  (/)  e.  U. A )
20 eluni2 4198 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
211rspccv 3170 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  Lim  z ) )
22 limsuc 6565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  <->  suc  y  e.  z ) )
2322anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  <->  ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
) ) )
24 elunii 4199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
)  ->  suc  y  e. 
U. A )
2523, 24syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  suc  y  e.  U. A ) )
2625expd 436 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2726com3r 79 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2821, 27sylcom 29 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2928rexlimdv 2940 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( E. z  e.  A  y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3020, 29syl5bi 217 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( y  e. 
U. A  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3130ralrimiv 2825 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
3231adantl 466 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
33 dflim4 6564 . 2  |-  ( Lim  U. A  <->  ( Ord  U. A  /\  (/)  e.  U. A  /\  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A ) )
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   (/)c0 3740   U.cuni 4194   Ord word 4821   Oncon0 4822   Lim wlim 4823   suc csuc 4824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828
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