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Theorem limuni3 6690
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 5451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( Lim  x  <->  Lim  z ) )
21rspcv 3178 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Lim  z ) )
3 vex 3084 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 limelon 5502 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  /\  Lim  z )  ->  z  e.  On )
53, 4mpan 674 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  z  e.  On )
62, 5syl6com 36 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  On ) )
76ssrdv 3470 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A  C_  On )
8 ssorduni 6623 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Ord  U. A )
109adantl 467 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Ord  U. A )
11 n0 3771 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
12 0ellim 5501 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
13 elunii 4221 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  z  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  e.  U. A )
1413expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( (/) 
e.  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
1512, 14syl5 33 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
162, 15syld 45 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A ) )
1716exlimiv 1766 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/) 
e.  U. A ) )
1811, 17sylbi 198 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A
) )
1918imp 430 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  (/)  e.  U. A )
20 eluni2 4220 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
211rspccv 3179 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  Lim  z ) )
22 limsuc 6687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  <->  suc  y  e.  z ) )
2322anbi1d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  <->  ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
) ) )
24 elunii 4221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
)  ->  suc  y  e. 
U. A )
2523, 24syl6bi 231 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  suc  y  e.  U. A ) )
2625expd 437 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2726com3r 82 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2821, 27sylcom 30 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2928rexlimdv 2915 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( E. z  e.  A  y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3020, 29syl5bi 220 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( y  e. 
U. A  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3130ralrimiv 2837 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
3231adantl 467 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
33 dflim4 6686 . 2  |-  ( Lim  U. A  <->  ( Ord  U. A  /\  (/)  e.  U. A  /\  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A ) )
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1189 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4216   Ord word 5438   Oncon0 5439   Lim wlim 5440   suc csuc 5441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445
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