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Theorem limuni3 4791
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 4553 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( Lim  x  <->  Lim  z ) )
21rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Lim  z ) )
3 vex 2919 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
4 limelon 4604 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  _V  /\  Lim  z )  ->  z  e.  On )
53, 4mpan 652 . . . . . 6  |-  ( Lim  z  ->  z  e.  On )
62, 5syl6com 33 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  On ) )
76ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A  C_  On )
8 ssorduni 4725 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  Ord  U. A )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Ord  U. A )
11 n0 3597 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
12 0ellim 4603 . . . . . . 7  |-  ( Lim  z  ->  (/)  e.  z )
13 elunii 3980 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  z  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  e.  U. A )
1413expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( (/) 
e.  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
1512, 14syl5 30 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  (/)  e.  U. A ) )
162, 15syld 42 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A ) )
1716exlimiv 1641 . . . 4  |-  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/) 
e.  U. A ) )
1811, 17sylbi 188 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  (/)  e.  U. A
) )
1918imp 419 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  (/)  e.  U. A )
20 eluni2 3979 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
211rspccv 3009 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  Lim  z ) )
22 limsuc 4788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  <->  suc  y  e.  z ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  <->  ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
) ) )
24 elunii 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  z  /\  z  e.  A
)  ->  suc  y  e. 
U. A )
2523, 24syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  z  ->  ( (
y  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  suc  y  e.  U. A ) )
2625exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2726com3r 75 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  ( Lim  z  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2821, 27sylcom 27 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( z  e.  A  ->  ( y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) ) )
2928rexlimdv 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( E. z  e.  A  y  e.  z  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3020, 29syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  ( y  e. 
U. A  ->  suc  y  e.  U. A ) )
3130ralrimiv 2748 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Lim  x  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
3231adantl 453 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A )
33 dflim4 4787 . 2  |-  ( Lim  U. A  <->  ( Ord  U. A  /\  (/)  e.  U. A  /\  A. y  e.  U. A  suc  y  e.  U. A ) )
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  Lim  x )  ->  Lim  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547
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