Theorem limuni3 6568

Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
limuni3	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem limuni3

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limeq 4834	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( Lim x <-> Lim z ) )
2	1	rspcv 3169	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> Lim z ) )
3		vex 3075	. . . . . . 7 |- z e. _V
4		limelon 4885	. . . . . . 7 |- ( ( z e. _V /\ Lim z ) -> z e. On )
5	3, 4	mpan 670	. . . . . 6 |- ( Lim z -> z e. On )
6	2, 5	syl6com 35	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> z e. On ) )
7	6	ssrdv 3465	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> A C_ On )
8		ssorduni 6502	. . . 4 |- ( A C_ On -> Ord U. A )
9	7, 8	syl 16	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> Ord U. A )
10	9	adantl 466	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Ord U. A )
11		n0 3749	. . . 4 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
12		0ellim 4884	. . . . . . 7 |- ( Lim z -> (/) e. z )
13		elunii 4199	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. z /\ z e. A ) -> (/) e. U. A )
14	13	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( (/) e. z -> (/) e. U. A ) )
15	12, 14	syl5 32	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( Lim z -> (/) e. U. A ) )
16	2, 15	syld 44	. . . . 5 |- ( z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
17	16	exlimiv 1689	. . . 4 |- ( E. z z e. A -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
18	11, 17	sylbi 195	. . 3 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A Lim x -> (/) e. U. A ) )
19	18	imp 429	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> (/) e. U. A )
20		eluni2 4198	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. z e. A y e. z )
21	1	rspccv 3170	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> Lim z ) )
22		limsuc 6565	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( y e. z <-> suc y e. z ) )
23	22	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) <-> ( suc y e. z /\ z e. A ) ) )
24		elunii 4199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A )
25	23, 24	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( Lim z -> ( ( y e. z /\ z e. A ) -> suc y e. U. A ) )
26	25	expd 436	. . . . . . . 8 |- ( Lim z -> ( y e. z -> ( z e. A -> suc y e. U. A ) ) )
27	26	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( z e. A -> ( Lim z -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
28	21, 27	sylcom 29	. . . . . 6 |- ( A. x e. A Lim x -> ( z e. A -> ( y e. z -> suc y e. U. A ) ) )
29	28	rexlimdv 2940	. . . . 5 |- ( A. x e. A Lim x -> ( E. z e. A y e. z -> suc y e. U. A ) )
30	20, 29	syl5bi 217	. . . 4 |- ( A. x e. A Lim x -> ( y e. U. A -> suc y e. U. A ) )
31	30	ralrimiv 2825	. . 3 |- ( A. x e. A Lim x -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
32	31	adantl 466	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> A. y e. U. A suc y e. U. A )
33		dflim4 6564	. 2 |- ( Lim U. A <-> ( Ord U. A /\ (/) e. U. A /\ A. y e. U. A suc y e. U. A ) )
34	10, 19, 32, 33	syl3anbrc 1172	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A Lim x ) -> Lim U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   _Vcvv 3072   C_ wss 3431   (/)c0 3740   U.cuni 4194   Ord word 4821   Oncon0 4822   Lim wlim 4823   suc csuc 4824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828

This theorem is referenced by: (None)