Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupval2 Structured version   Unicode version

Theorem limsupval2 13282
 Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupval2.1
limsupval2.2
limsupval2.3
Assertion
Ref Expression
limsupval2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem limsupval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval2.1 . . 3
2 limsupval.1 . . . 4
32limsupval 13276 . . 3
41, 3syl 16 . 2
5 imassrn 5354 . . . . 5
62limsupgf 13277 . . . . . . 7
7 frn 5743 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6
9 infmxrlb 11537 . . . . . . 7
109ralrimiva 2881 . . . . . 6
118, 10mp1i 12 . . . . 5
12 ssralv 3569 . . . . 5
135, 11, 12mpsyl 63 . . . 4
145, 8sstri 3518 . . . . 5
15 infmxrcl 11520 . . . . . 6
168, 15ax-mp 5 . . . . 5
17 infmxrgelb 11538 . . . . 5
1814, 16, 17mp2an 672 . . . 4
1913, 18sylibr 212 . . 3
20 limsupval2.3 . . . . . . 7
21 limsupval2.2 . . . . . . . . 9
22 ressxr 9649 . . . . . . . . 9
2321, 22syl6ss 3521 . . . . . . . 8
24 supxrunb1 11523 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
2620, 25mpbird 232 . . . . . 6
27 infmxrcl 11520 . . . . . . . . . 10
2814, 27mp1i 12 . . . . . . . . 9
2921sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
3029ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10
316ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9
336ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
35 ffn 5737 . . . . . . . . . . . 12
366, 35mp1i 12 . . . . . . . . . . 11
3721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
38 simprl 755 . . . . . . . . . . 11
39 fnfvima 6149 . . . . . . . . . . 11
4036, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
41 infmxrlb 11537 . . . . . . . . . 10
4214, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . . 9
43 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
44 simprr 756 . . . . . . . . . . 11
45 limsupgord 13274 . . . . . . . . . . 11
4643, 30, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
472limsupgval 13278 . . . . . . . . . . 11
4830, 47syl 16 . . . . . . . . . 10
492limsupgval 13278 . . . . . . . . . . 11
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
5146, 48, 503brtr4d 4483 . . . . . . . . 9
5228, 32, 34, 42, 51xrletrd 11377 . . . . . . . 8
5352rexlimdvaa 2960 . . . . . . 7
5453ralimdva 2875 . . . . . 6
5526, 54mpd 15 . . . . 5
566, 35ax-mp 5 . . . . . 6
57 breq2 4457 . . . . . . 7
5857ralrn 6035 . . . . . 6
5956, 58ax-mp 5 . . . . 5
6055, 59sylibr 212 . . . 4
6114, 27ax-mp 5 . . . . 5
62 infmxrgelb 11538 . . . . 5
638, 61, 62mp2an 672 . . . 4
6460, 63sylibr 212 . . 3
65 xrletri3 11370 . . . 4
6616, 61, 65mp2an 672 . . 3
6719, 64, 66sylanbrc 664 . 2
684, 67eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818   cin 3480   wss 3481   class class class wbr 4453   cmpt 4511  ccnv 5004   crn 5006  cima 5008   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cr 9503   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cico 11543  clsp 13272 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-ico 11547  df-limsup 13273 This theorem is referenced by:  mbflimsup  21939
 Copyright terms: Public domain W3C validator