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Theorem limsupre 37293
Description: If a sequence is bounded, then the limsup is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre.1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
limsupre.2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo )
limsupre.f  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
limsupre.bnd  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  (
k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b ) )
Assertion
Ref Expression
limsupre  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR )
Distinct variable groups:    B, j,
k    F, b, j, k    ph, b, j, k
Allowed substitution hint:    B( b)

Proof of Theorem limsupre
Dummy variables  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11414 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  -> -oo  e.  RR* )
3 renegcl 9936 . . . . . 6  |-  ( b  e.  RR  ->  -u b  e.  RR )
43rexrd 9689 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR  ->  -u b  e.  RR* )
54ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  -u b  e.  RR* )
6 limsupre.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : B --> RR )
7 reex 9629 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
9 limsupre.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
108, 9ssexd 4572 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
11 fex 6153 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B --> RR  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
126, 10, 11syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 limsupcl 13507 . . . . . 6  |-  ( F  e.  _V  ->  ( limsup `
 F )  e. 
RR* )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR* )
1514ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  ( limsup `
 F )  e. 
RR* )
163mnfltd 11426 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR  -> -oo  <  -u b )
1716ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  -> -oo  <  -u b )
189ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  B  C_  RR )
19 ressxr 9683 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR* )
216, 20fssd 5755 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
2221ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  F : B --> RR* )
23 limsupre.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo )
2423ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo )
25 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )
26 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ph  /\  b  e.  RR )
27 nfre1 2893 . . . . . . . . 9  |-  F/ k E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b )
2826, 27nfan 1986 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b ) )
29 nfv 1754 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j ( ph  /\  b  e.  RR )
30 nfv 1754 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  k  e.  RR
31 nfra1 2813 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
3229, 30, 31nf3an 1988 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ j ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)
33 simp13 1037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )
34 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  j  e.  B )
35 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  k  <_  j )
36 rspa 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )  /\  j  e.  B
)  ->  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )
3736imp 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
)  /\  j  e.  B )  /\  k  <_  j )  ->  ( abs `  ( F `  j ) )  <_ 
b )
3833, 34, 35, 37syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
)
39 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ph )
406ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  B )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
4139, 34, 40syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ( F `  j )  e.  RR )
42 simp11r 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  b  e.  RR )
4341, 42absled 13471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ( ( abs `  ( F `  j ) )  <_ 
b  <->  ( -u b  <_  ( F `  j
)  /\  ( F `  j )  <_  b
) ) )
4438, 43mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ( -u b  <_  ( F `  j
)  /\  ( F `  j )  <_  b
) )
4544simpld 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) )
46453exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  (
j  e.  B  -> 
( k  <_  j  -> 
-u b  <_  ( F `  j )
) ) )
4732, 46ralrimi 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) )
48473exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  -> 
-u b  <_  ( F `  j )
) ) ) )
4948adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  (
k  e.  RR  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  -> 
-u b  <_  ( F `  j )
) ) ) )
5028, 49reximdai 2901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b )  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  -u b  <_  ( F `  j ) ) ) )
5125, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) )
52 breq2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
h  <_  i  <->  h  <_  j ) )
53 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  ( F `  i )  =  ( F `  j ) )
5453breq2d 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( -u b  <_  ( F `  i )  <->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) )
5552, 54imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( h  <_  i  -> 
-u b  <_  ( F `  i )
)  <->  ( h  <_ 
j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) ) )
5655cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  B  (
h  <_  i  ->  -u b  <_  ( F `  i ) )  <->  A. j  e.  B  ( h  <_  j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) )
57 breq1 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  k  ->  (
h  <_  j  <->  k  <_  j ) )
5857imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  k  ->  (
( h  <_  j  -> 
-u b  <_  ( F `  j )
)  <->  ( k  <_ 
j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) ) )
5958ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  k  ->  ( A. j  e.  B  ( h  <_  j  ->  -u b  <_  ( F `  j ) )  <->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) ) )
6056, 59syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( h  =  k  ->  ( A. i  e.  B  ( h  <_  i  ->  -u b  <_  ( F `  i ) )  <->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) ) )
6160cbvrexv 3063 . . . . . 6  |-  ( E. h  e.  RR  A. i  e.  B  (
h  <_  i  ->  -u b  <_  ( F `  i ) )  <->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  -u b  <_ 
( F `  j
) ) )
6251, 61sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  E. h  e.  RR  A. i  e.  B  ( h  <_ 
i  ->  -u b  <_ 
( F `  i
) ) )
6318, 22, 5, 24, 62limsupbnd2 13524 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  -u b  <_  ( limsup `  F )
)
642, 5, 15, 17, 63xrltletrd 11458 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  -> -oo  <  (
limsup `  F ) )
65 limsupre.bnd . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  RR  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  (
k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b ) )
6664, 65r19.29a 2977 . 2  |-  ( ph  -> -oo  <  ( limsup `  F ) )
67 rexr 9685 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  RR* )
6867ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  b  e.  RR* )
69 pnfxr 11412 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
7069a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  -> +oo  e.  RR* )
7144simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\ 
A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )
)  /\  j  e.  B  /\  k  <_  j
)  ->  ( F `  j )  <_  b
)
72713exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  (
j  e.  B  -> 
( k  <_  j  ->  ( F `  j
)  <_  b )
) )
7332, 72ralrimi 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  k  e.  RR  /\  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b
) )
74733exp 1204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  e.  RR  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j
)  <_  b )
) ) )
7574adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  (
k  e.  RR  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j )
)  <_  b )  ->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j
)  <_  b )
) ) )
7628, 75reximdai 2901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `
 j ) )  <_  b )  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b ) ) )
7725, 76mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  ( F `  j )  <_  b
) )
7853breq1d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  i
)  <_  b  <->  ( F `  j )  <_  b
) )
7952, 78imbi12d 321 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( h  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  b )  <->  ( h  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b ) ) )
8079cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  B  (
h  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  b )  <->  A. j  e.  B  ( h  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b
) )
8157imbi1d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  k  ->  (
( h  <_  j  ->  ( F `  j
)  <_  b )  <->  ( k  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b ) ) )
8281ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  k  ->  ( A. j  e.  B  ( h  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  b )  <->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b ) ) )
8380, 82syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( h  =  k  ->  ( A. i  e.  B  ( h  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  b )  <->  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  b ) ) )
8483cbvrexv 3063 . . . . . 6  |-  ( E. h  e.  RR  A. i  e.  B  (
h  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  b )  <->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  ( F `  j )  <_  b
) )
8577, 84sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  E. h  e.  RR  A. i  e.  B  ( h  <_ 
i  ->  ( F `  i )  <_  b
) )
8618, 22, 68, 85limsupbnd1 13522 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  ( limsup `
 F )  <_ 
b )
87 ltpnf 11422 . . . . 5  |-  ( b  e.  RR  ->  b  < +oo )
8887ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  b  < +oo )
8915, 68, 70, 86, 88xrlelttrd 11457 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  RR )  /\  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  ( abs `  ( F `  j
) )  <_  b
) )  ->  ( limsup `
 F )  < +oo )
9089, 65r19.29a 2977 . 2  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  < +oo )
91 xrrebnd 11463 . . 3  |-  ( (
limsup `  F )  e. 
RR*  ->  ( ( limsup `  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( limsup `  F )  /\  ( limsup `
 F )  < +oo ) ) )
9214, 91syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( limsup `  F
)  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( limsup `  F )  /\  ( limsup `  F )  < +oo ) ) )
9366, 90, 92mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( limsup `  F )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601   supcsup 7960   RRcr 9537   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   -ucneg 9860   abscabs 13276   limsupclsp 13502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504
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