MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgre Structured version   Unicode version

Theorem limsupgre 13267
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
limsupgre.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
limsupgre  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G : RR --> RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables  n  i  a  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11347 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7923 . . 3  |-  sup (
( ( F "
( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  k  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
4 limsupval.1 . . 3  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) )
64limsupgval 13262 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
8 simpl3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( limsup `
 F )  < +oo )
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 uzssz 11101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
119, 10eqsstri 3534 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
12 zssre 10871 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3513 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  Z  C_  RR )
15 simpl2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR )
16 ressxr 9637 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
17 fss 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : Z --> RR* )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR* )
19 pnfxr 11321 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
214limsuplt 13265 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( limsup `
 F )  < +oo 
<->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo ) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( limsup `  F )  < +oo  <->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo ) )
238, 22mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo )
24 fzfi 12050 . . . . . . . 8  |-  ( M ... ( |_ `  n ) )  e. 
Fin
2515adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  F : Z --> RR )
26 elfzuz 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726, 9syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  Z )
28 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
3029ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  e.  RR )
31 fimaxre3 10492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... ( |_ `  n ) )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
3224, 30, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  a  e.  RR )
354limsupgf 13261 . . . . . . . . . 10  |-  G : RR
--> RR*
3635ffvelrni 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
38 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3916, 38sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR* )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  n  e.  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  n  e.  RR )
4235ffvelrni 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
44 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR* )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
4539, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )
4619a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  -> +oo  e.  RR* )
4740ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  n  e.  RR )
4813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  Z  C_  RR )
4948sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
50 xrleid 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  n )  e.  RR*  ->  ( G `
 n )  <_ 
( G `  n
) )
5143, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <_  ( G `  n )
)
5218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  F : Z
--> RR* )
534limsupgle 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  n  e.  RR  /\  ( G `  n
)  e.  RR* )  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n )  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) ) )
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n
)  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  ( G `  n ) ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n )
) )
5655r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n
) )
5847, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
5939adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  e.  RR* )
60 xrmax1 11376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6252ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6345adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
64 xrletr 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6562, 58, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6661, 65mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6857, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
7069, 9syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7141flcld 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
73 elfz5 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( |_ `  n )  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7511, 69sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
76 flge 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7747, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7874, 77bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  n ) )
7978biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) )
80 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
82 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
8382breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  <_  r  <->  ( F `  i )  <_  r
) )
8483rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  <_ 
r  ->  ( F `  i )  <_  r
) )
8579, 81, 84sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  r )
86 xrmax2 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
8743, 39, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
89 xrletr 11361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9062, 59, 63, 89syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9188, 90mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9385, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9447, 49, 68, 93lecasei 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9594a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
974limsupgle 13263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  a  e.  RR  /\  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  e.  RR* )  ->  ( ( G `
 a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) ) ) )
9848, 52, 34, 45, 97syl211anc 1234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  a )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) ) )
9996, 98mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
100 ltpnf 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR  ->  r  < +oo )
10138, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  < +oo )
102 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  < +oo )
103 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( r  < +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
)
104 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  n )  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( ( G `  n )  < +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
)
105103, 104ifboth 3975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  < +oo  /\  ( G `  n )  < +oo )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
106101, 102, 105syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  < +oo )
10737, 45, 46, 99, 106xrlelttrd 11363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  < +oo )
10832, 107rexlimddv 2959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  ( G `  a )  < +oo )
10923, 108rexlimddv 2959 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  < +oo )
1107, 109eqbrtrrd 4469 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo )
111 imassrn 5348 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( a [,) +oo ) )  C_  ran  F
112 frn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
11315, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ran  F 
C_  RR )
114111, 113syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  C_  RR )
115114, 16syl6ss 3516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  C_  RR* )
116 df-ss 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) ) 
C_  RR*  <->  ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,) +oo ) ) )
117115, 116sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =  ( F " (
a [,) +oo )
) )
118117, 114eqsstrd 3538 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  C_  RR )
119 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
120 flcl 11900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
122121peano2zd 10969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  ZZ )
123 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
124122, 119, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
125119zred 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
126122zred 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  RR )
127 max1 11386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
128125, 126, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
129 eluz2 11088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
) ) )
130119, 124, 128, 129syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
131130, 9syl6eleqr 2566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
132 fdm 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  dom 
F  =  Z )
13315, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  dom  F  =  Z )
134131, 133eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F )
135124zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
136 fllep1 11906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
138 max2 11388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  a )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
139125, 126, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M ) )
14033, 126, 135, 137, 139letrd 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
141 elicopnf 11620 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,) +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
142141adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,) +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
143135, 140, 142mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) +oo ) )
144 inelcm 3881 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F  /\  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) +oo ) )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
145134, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
146 imadisj 5356 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) )  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =  (/) )
147146necon3bii 2735 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
148145, 147sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
149117, 148eqnetrd 2760 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =/=  (/) )
150 supxrre1 11522 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR  /\  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =/=  (/) )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
151118, 149, 150syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
152110, 151mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
1537, 152eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  e.  RR )
1543, 5, 153fmpt2d 6051 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G : RR --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   supcsup 7900   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   [,)cico 11531   ...cfz 11672   |_cfl 11895   limsupclsp 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fl 11897  df-limsup 13257
This theorem is referenced by:  mbflimsup  21836
  Copyright terms: Public domain W3C validator