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Theorem limsupgre 13619
 Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupgre.z
Assertion
Ref Expression
limsupgre
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11463 . . . 4
21supex 7995 . . 3
32a1i 11 . 2
4 limsupval.1 . . 3
54a1i 11 . 2
64limsupgval 13611 . . . 4
8 simpl3 1035 . . . . . . 7
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11
10 uzssz 11202 . . . . . . . . . . 11
119, 10eqsstri 3448 . . . . . . . . . 10
12 zssre 10968 . . . . . . . . . 10
1311, 12sstri 3427 . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
15 simpl2 1034 . . . . . . . . 9
16 ressxr 9702 . . . . . . . . 9
17 fss 5749 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17sylancl 675 . . . . . . . 8
19 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
214limsuplt 13615 . . . . . . . 8
2214, 18, 20, 21syl3anc 1292 . . . . . . 7
238, 22mpbid 215 . . . . . 6
24 fzfi 12223 . . . . . . . 8
2515adantr 472 . . . . . . . . . 10
26 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . 11
2726, 9syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10
28 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10
2925, 27, 28syl2an 485 . . . . . . . . 9
3029ralrimiva 2809 . . . . . . . 8
31 fimaxre3 10575 . . . . . . . 8
3224, 30, 31sylancr 676 . . . . . . 7
33 simpr 468 . . . . . . . . . 10
3433ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
354limsupgf 13610 . . . . . . . . . 10
3635ffvelrni 6036 . . . . . . . . 9
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8
38 simprl 772 . . . . . . . . . 10
3916, 38sseldi 3416 . . . . . . . . 9
40 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 472 . . . . . . . . . 10
4235ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9
4439, 43ifcld 3915 . . . . . . . 8
4519a1i 11 . . . . . . . 8
4640ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4847sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
49 xrleid 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5118ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
524limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5347, 51, 41, 43, 52syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5450, 53mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . 14
5655imp 436 . . . . . . . . . . . . 13
5746, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5839adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
59 xrmax1 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6057, 58, 59syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
6151ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6244adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 xrletr 11478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6461, 57, 62, 63syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
6560, 64mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
6756, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
68 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968, 9syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7041flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 elfz5 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7369, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7411, 68sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 flge 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7646, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7773, 76bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . 14
79 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
81 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14
8478, 80, 83sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13
85 xrmax2 11494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8643, 39, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 xrletr 11478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8961, 58, 62, 88syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
9087, 89mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
9284, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
9346, 48, 67, 92lecasei 9758 . . . . . . . . . . 11
9493a1d 25 . . . . . . . . . 10
9594ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
964limsupgle 13612 . . . . . . . . . 10
9747, 51, 34, 44, 96syl211anc 1298 . . . . . . . . 9
9895, 97mpbird 240 . . . . . . . 8
9938ltpnfd 11446 . . . . . . . . 9
100 simplrr 779 . . . . . . . . 9
101 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
102 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
103101, 102ifboth 3908 . . . . . . . . 9
10499, 100, 103syl2anc 673 . . . . . . . 8
10537, 44, 45, 98, 104xrlelttrd 11480 . . . . . . 7
10632, 105rexlimddv 2875 . . . . . 6
10723, 106rexlimddv 2875 . . . . 5
1087, 107eqbrtrrd 4418 . . . 4
109 imassrn 5185 . . . . . . . . 9
110 frn 5747 . . . . . . . . . 10
11115, 110syl 17 . . . . . . . . 9
112109, 111syl5ss 3429 . . . . . . . 8
113112, 16syl6ss 3430 . . . . . . 7
114 df-ss 3404 . . . . . . 7
115113, 114sylib 201 . . . . . 6
116115, 112eqsstrd 3452 . . . . 5
117 simpl1 1033 . . . . . . . . . . 11
118 flcl 12064 . . . . . . . . . . . . . 14
119118adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
120119peano2zd 11066 . . . . . . . . . . . 12
121120, 117ifcld 3915 . . . . . . . . . . 11
122117zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
123120zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
124 max1 11503 . . . . . . . . . . . 12
125122, 123, 124syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
126 eluz2 11188 . . . . . . . . . . 11
127117, 121, 125, 126syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . 10
128127, 9syl6eleqr 2560 . . . . . . . . 9
129 fdm 5745 . . . . . . . . . 10
13015, 129syl 17 . . . . . . . . 9
131128, 130eleqtrrd 2552 . . . . . . . 8
132121zred 11063 . . . . . . . . 9
133 fllep1 12070 . . . . . . . . . . 11
134133adantl 473 . . . . . . . . . 10
135 max2 11505 . . . . . . . . . . 11
136122, 123, 135syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
13733, 123, 132, 134, 136letrd 9809 . . . . . . . . 9
138 elicopnf 11755 . . . . . . . . . 10
139138adantl 473 . . . . . . . . 9
140132, 137, 139mpbir2and 936 . . . . . . . 8
141 inelcm 3823 . . . . . . . 8
142131, 140, 141syl2anc 673 . . . . . . 7
143 imadisj 5193 . . . . . . . 8
144143necon3bii 2695 . . . . . . 7
145142, 144sylibr 217 . . . . . 6
146115, 145eqnetrd 2710 . . . . 5
147 supxrre1 11641 . . . . 5
148116, 146, 147syl2anc 673 . . . 4
149108, 148mpbird 240 . . 3
1507, 149eqeltrd 2549 . 2
1513, 5, 150fmpt2d 6069 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  cico 11662  cfz 11810  cfl 12059  clsp 13601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fl 12061  df-limsup 13603 This theorem is referenced by:  mbflimsup  22702
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