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Theorem limsupgre 12951
Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
limsupgre.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
limsupgre  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G : RR --> RR )
Distinct variable groups:    k, F    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    G( k)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables  n  i  a  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11110 . . . 4  |-  <  Or  RR*
21supex 7705 . . 3  |-  sup (
( ( F "
( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  k  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
4 limsupval.1 . . 3  |-  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
54a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G  =  ( k  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( k [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) )
64limsupgval 12946 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  =  sup ( ( ( F " ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
8 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( limsup `
 F )  < +oo )
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 uzssz 10872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
119, 10eqsstri 3381 . . . . . . . . . 10  |-  Z  C_  ZZ
12 zssre 10645 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  C_  RR
1311, 12sstri 3360 . . . . . . . . 9  |-  Z  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  Z  C_  RR )
15 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR )
16 ressxr 9419 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
17 fss 5562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  RR  C_  RR* )  ->  F : Z --> RR* )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  F : Z --> RR* )
19 pnfxr 11084 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  -> +oo  e.  RR* )
214limsuplt 12949 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( limsup `
 F )  < +oo 
<->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo ) )
2214, 18, 20, 21syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( limsup `  F )  < +oo  <->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo ) )
238, 22mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  E. n  e.  RR  ( G `  n )  < +oo )
24 fzfi 11786 . . . . . . . 8  |-  ( M ... ( |_ `  n ) )  e. 
Fin
2515adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  F : Z --> RR )
26 elfzuz 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2726, 9syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  m  e.  Z )
28 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : Z --> RR  /\  m  e.  Z )  ->  ( F `  m
)  e.  RR )
2925, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) )  -> 
( F `  m
)  e.  RR )
3029ralrimiva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  e.  RR )
31 fimaxre3 10271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ... ( |_ `  n ) )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
3224, 30, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  E. r  e.  RR  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  e.  RR )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  a  e.  RR )
354limsupgf 12945 . . . . . . . . . 10  |-  G : RR
--> RR*
3635ffvelrni 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  RR  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  e.  RR* )
38 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
3916, 38sseldi 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR* )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  n  e.  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  n  e.  RR )
4235ffvelrni 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
44 ifcl 3826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR* )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
4539, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )
4619a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  -> +oo  e.  RR* )
4740ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  n  e.  RR )
4813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  Z  C_  RR )
4948sselda 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
50 xrleid 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G `  n )  e.  RR*  ->  ( G `
 n )  <_ 
( G `  n
) )
5143, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  <_  ( G `  n )
)
5218ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  F : Z
--> RR* )
534limsupgle 12947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  n  e.  RR  /\  ( G `  n
)  e.  RR* )  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n )  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) ) )
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  n )  <_  ( G `  n
)  <->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  -> 
( F `  i
)  <_  ( G `  n ) ) ) )
5551, 54mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n )
) )
5655r19.21bi 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  ( G `  n
) )
5847, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  e.  RR* )
5939adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  e.  RR* )
60 xrmax1 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6158, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  n )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
6252ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  e.  RR* )
6345adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  e.  RR* )
64 xrletr 11124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  ( G `  n )  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6562, 58, 63, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
6661, 65mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  (
( F `  i
)  <_  ( G `  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) ) )
6857, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  n  <_  i )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
69 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
7069, 9syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7141flcld 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( |_ `  n )  e.  ZZ )
73 elfz5 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( |_ `  n )  e.  ZZ )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7470, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7511, 69sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
76 flge 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7747, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  <_  n  <->  i  <_  ( |_ `  n ) ) )
7874, 77bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  <->  i  <_  n ) )
7978biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) )
80 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
82 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  i  ->  ( F `  m )  =  ( F `  i ) )
8382breq1d 4297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  i  ->  (
( F `  m
)  <_  r  <->  ( F `  i )  <_  r
) )
8483rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( M ... ( |_ `  n ) )  ->  ( A. m  e.  ( M ... ( |_ `  n
) ) ( F `
 m )  <_ 
r  ->  ( F `  i )  <_  r
) )
8579, 81, 84sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  r )
86 xrmax2 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  n
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
8743, 39, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  r  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
89 xrletr 11124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9062, 59, 63, 89syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( ( F `  i )  <_  r  /\  r  <_  if ( ( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9188, 90mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  (
( F `  i
)  <_  r  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9385, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  /\  i  <_  n )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9447, 49, 68, 93lecasei 9472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) ) )
9594a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  /\  i  e.  Z )  ->  (
a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
9695ralrimiva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) )
974limsupgle 12947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  F : Z --> RR* )  /\  a  e.  RR  /\  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  e.  RR* )  ->  ( ( G `
 a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i
)  <_  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) ) ) ) )
9848, 52, 34, 45, 97syl211anc 1224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( ( G `  a )  <_  if ( ( G `
 n )  <_ 
r ,  r ,  ( G `  n
) )  <->  A. i  e.  Z  ( a  <_  i  ->  ( F `  i )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) ) ) )
9996, 98mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  <_  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) ) )
100 ltpnf 11094 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR  ->  r  < +oo )
10138, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  r  < +oo )
102 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  n )  < +oo )
103 breq1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( r  < +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
)
104 breq1 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  n )  =  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  -> 
( ( G `  n )  < +oo  <->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
)
105103, 104ifboth 3820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  < +oo  /\  ( G `  n )  < +oo )  ->  if ( ( G `  n )  <_  r ,  r ,  ( G `  n ) )  < +oo )
106101, 102, 105syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  if (
( G `  n
)  <_  r , 
r ,  ( G `
 n ) )  < +oo )
10737, 45, 46, 99, 106xrlelttrd 11126 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `
 F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  (
n  e.  RR  /\  ( G `  n )  < +oo ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. m  e.  ( M ... ( |_
`  n ) ) ( F `  m
)  <_  r )
)  ->  ( G `  a )  < +oo )
10832, 107rexlimddv 2840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z
--> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  /\  ( n  e.  RR  /\  ( G `
 n )  < +oo ) )  ->  ( G `  a )  < +oo )
10923, 108rexlimddv 2840 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  < +oo )
1107, 109eqbrtrrd 4309 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo )
111 imassrn 5175 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( a [,) +oo ) )  C_  ran  F
112 frn 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
11315, 112syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ran  F 
C_  RR )
114111, 113syl5ss 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  C_  RR )
115114, 16syl6ss 3363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  C_  RR* )
116 df-ss 3337 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) ) 
C_  RR*  <->  ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* )  =  ( F " ( a [,) +oo ) ) )
117115, 116sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =  ( F " (
a [,) +oo )
) )
118117, 114eqsstrd 3385 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  C_  RR )
119 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  ZZ )
120 flcl 11637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  RR  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( |_ `  a )  e.  ZZ )
122121peano2zd 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  ZZ )
123 ifcl 3826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
124122, 119, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ )
125119zred 10739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
126122zred 10739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  e.  RR )
127 max1 11149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
128125, 126, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
129 eluz2 10859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ZZ  /\  M  <_  if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
) ) )
130119, 124, 128, 129syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
131130, 9syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  Z )
132 fdm 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Z --> RR  ->  dom 
F  =  Z )
13315, 132syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  dom  F  =  Z )
134131, 133eleqtrrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F )
135124zred 10739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR )
136 fllep1 11643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
137136adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) )
138 max2 11151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( ( |_ `  a )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  a )  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
139125, 126, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( |_ `  a
)  +  1 )  <_  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M ) )
14033, 126, 135, 137, 139letrd 9520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) )
141 elicopnf 11377 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  RR  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,) +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
142141adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( if ( M  <_  (
( |_ `  a
)  +  1 ) ,  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  M
)  e.  ( a [,) +oo )  <->  ( if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  RR  /\  a  <_  if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M ) ) ) )
143135, 140, 142mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  if ( M  <_  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) +oo ) )
144 inelcm 3728 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a )  +  1 ) ,  M )  e.  dom  F  /\  if ( M  <_  ( ( |_
`  a )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  a
)  +  1 ) ,  M )  e.  ( a [,) +oo ) )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
145134, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
146 imadisj 5183 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) )  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =  (/) )
147146necon3bii 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( F " ( a [,) +oo ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  F  i^i  ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
148145, 147sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( F " ( a [,) +oo ) )  =/=  (/) )
149117, 148eqnetrd 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =/=  (/) )
150 supxrre1 11285 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* )  C_  RR  /\  (
( F " (
a [,) +oo )
)  i^i  RR* )  =/=  (/) )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
151118, 149, 150syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup (
( ( F "
( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
152110, 151mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  sup ( ( ( F
" ( a [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
1537, 152eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  /\  a  e.  RR )  ->  ( G `  a )  e.  RR )
1543, 5, 153fmpt2d 5868 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> RR  /\  ( limsup `  F )  < +oo )  ->  G : RR --> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   dom cdm 4835   ran crn 4836   "cima 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   supcsup 7682   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277   +oocpnf 9407   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   [,)cico 11294   ...cfz 11429   |_cfl 11632   limsupclsp 12940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fl 11634  df-limsup 12941
This theorem is referenced by:  mbflimsup  21119
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