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Theorem limsupgre 12230
 Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupgre.z
Assertion
Ref Expression
limsupgre
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 10690 . . . 4
21supex 7424 . . 3
32a1i 11 . 2
4 limsupval.1 . . 3
54a1i 11 . 2
64limsupgval 12225 . . . 4
8 simpl3 962 . . . . . . 7
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11
10 uzssz 10461 . . . . . . . . . . 11
119, 10eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10
12 zssre 10245 . . . . . . . . . 10
1311, 12sstri 3317 . . . . . . . . 9
1413a1i 11 . . . . . . . 8
15 simpl2 961 . . . . . . . . 9
16 ressxr 9085 . . . . . . . . 9
17 fss 5558 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . 8
19 pnfxr 10669 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
214limsuplt 12228 . . . . . . . 8
2214, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . 7
238, 22mpbid 202 . . . . . 6
24 fzfi 11266 . . . . . . . 8
2515adantr 452 . . . . . . . . . 10
26 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11
2726, 9syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10
28 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10
2925, 27, 28syl2an 464 . . . . . . . . 9
3029ralrimiva 2749 . . . . . . . 8
31 fimaxre3 9913 . . . . . . . 8
3224, 30, 31sylancr 645 . . . . . . 7
33 simpr 448 . . . . . . . . . 10
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
354limsupgf 12224 . . . . . . . . . 10
3635ffvelrni 5828 . . . . . . . . 9
3734, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 simprl 733 . . . . . . . . . 10
3916, 38sseldi 3306 . . . . . . . . 9
40 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
4140adantr 452 . . . . . . . . . 10
4235ffvelrni 5828 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9
44 ifcl 3735 . . . . . . . . 9
4539, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8
4619a1i 11 . . . . . . . 8
4740ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
4813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4948sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12
50 xrleid 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5143, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5218ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
534limsupgle 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5448, 52, 41, 43, 53syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5551, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . 14
5756imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
5847, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5939adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 xrmax1 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6158, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6252ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6345adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 xrletr 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6562, 58, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
6661, 65mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
6857, 67mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
69 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7069, 9syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7141flcld 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7470, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7511, 69sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
76 flge 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7747, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7874, 77bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . 14
80 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
82 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14
8579, 81, 84sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
86 xrmax2 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8743, 39, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 xrletr 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9062, 59, 63, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15
9188, 90mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
9385, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
9447, 49, 68, 93lecasei 9135 . . . . . . . . . . 11
9594a1d 23 . . . . . . . . . 10
9695ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9
974limsupgle 12226 . . . . . . . . . 10
9848, 52, 34, 45, 97syl211anc 1190 . . . . . . . . 9
9996, 98mpbird 224 . . . . . . . 8
100 ltpnf 10677 . . . . . . . . . 10
10138, 100syl 16 . . . . . . . . 9
102 simplrr 738 . . . . . . . . 9
103 breq1 4175 . . . . . . . . . 10
104 breq1 4175 . . . . . . . . . 10
105103, 104ifboth 3730 . . . . . . . . 9
106101, 102, 105syl2anc 643 . . . . . . . 8
10737, 45, 46, 99, 106xrlelttrd 10706 . . . . . . 7
10832, 107rexlimddv 2794 . . . . . 6
10923, 108rexlimddv 2794 . . . . 5
1107, 109eqbrtrrd 4194 . . . 4
111 imassrn 5175 . . . . . . . . 9
112 frn 5556 . . . . . . . . . 10
11315, 112syl 16 . . . . . . . . 9
114111, 113syl5ss 3319 . . . . . . . 8
115114, 16syl6ss 3320 . . . . . . 7
116 df-ss 3294 . . . . . . 7
117115, 116sylib 189 . . . . . 6
118117, 114eqsstrd 3342 . . . . 5
119 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11
120 flcl 11159 . . . . . . . . . . . . . 14
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
122121peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . 12
123 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . 12
124122, 119, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
125119zred 10331 . . . . . . . . . . . 12
126122zred 10331 . . . . . . . . . . . 12
127 max1 10729 . . . . . . . . . . . 12
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
129 eluz2 10450 . . . . . . . . . . 11
130119, 124, 128, 129syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10
131130, 9syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9
132 fdm 5554 . . . . . . . . . 10
13315, 132syl 16 . . . . . . . . 9
134131, 133eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8
135124zred 10331 . . . . . . . . 9
136 fllep1 11165 . . . . . . . . . . 11
137136adantl 453 . . . . . . . . . 10
138 max2 10731 . . . . . . . . . . 11
139125, 126, 138syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
14033, 126, 135, 137, 139letrd 9183 . . . . . . . . 9
141 elicopnf 10956 . . . . . . . . . 10
142141adantl 453 . . . . . . . . 9
143135, 140, 142mpbir2and 889 . . . . . . . 8
144 inelcm 3642 . . . . . . . 8
145134, 143, 144syl2anc 643 . . . . . . 7
146 imadisj 5182 . . . . . . . 8
147146necon3bii 2599 . . . . . . 7
148145, 147sylibr 204 . . . . . 6
149117, 148eqnetrd 2585 . . . . 5
150 supxrre1 10865 . . . . 5
151118, 149, 150syl2anc 643 . . . 4
152110, 151mpbird 224 . . 3
1537, 152eqeltrd 2478 . 2
1543, 5, 153fmpt2d 5857 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667  cvv 2916   cin 3279   wss 3280  c0 3588  cif 3699   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837   crn 4838  cima 4840  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  csup 7403  cr 8945  c1 8947   caddc 8949   cpnf 9073  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  cz 10238  cuz 10444  cico 10874  cfz 10999  cfl 11156  clsp 12219 This theorem is referenced by:  mbflimsup  19511 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-limsup 12220
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