Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limsupgle 13528
 Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1
Assertion
Ref Expression
limsupgle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5
21limsupgval 13527 . . . 4
43breq1d 4411 . 2
5 inss2 3652 . . 3
6 simp3 1009 . . 3
7 supxrleub 11609 . . 3
85, 6, 7sylancr 668 . 2
9 imassrn 5178 . . . . . . 7
10 simp1r 1032 . . . . . . . 8
11 frn 5733 . . . . . . . 8
1210, 11syl 17 . . . . . . 7
139, 12syl5ss 3442 . . . . . 6
14 df-ss 3417 . . . . . 6
1513, 14sylib 200 . . . . 5
16 imadmres 5326 . . . . 5
1715, 16syl6eqr 2502 . . . 4
1817raleqdv 2992 . . 3
19 ffn 5726 . . . . 5
2010, 19syl 17 . . . 4
21 fdm 5731 . . . . . . . 8
2210, 21syl 17 . . . . . . 7
2322ineq2d 3633 . . . . . 6
24 dmres 5124 . . . . . 6
25 incom 3624 . . . . . 6
2623, 24, 253eqtr4g 2509 . . . . 5
27 inss1 3651 . . . . 5
2826, 27syl6eqss 3481 . . . 4
29 breq1 4404 . . . . 5
3029ralima 6143 . . . 4
3120, 28, 30syl2anc 666 . . 3
3226eleq2d 2513 . . . . . . . 8
33 elin 3616 . . . . . . . 8
3432, 33syl6bb 265 . . . . . . 7
35 simpl2 1011 . . . . . . . . 9
36 simp1l 1031 . . . . . . . . . 10
3736sselda 3431 . . . . . . . . 9
38 elicopnf 11727 . . . . . . . . . 10
3938baibd 919 . . . . . . . . 9
4035, 37, 39syl2anc 666 . . . . . . . 8
4140pm5.32da 646 . . . . . . 7
4234, 41bitrd 257 . . . . . 6
4342imbi1d 319 . . . . 5
44 impexp 448 . . . . 5
4543, 44syl6bb 265 . . . 4
4645ralbidv2 2822 . . 3
4718, 31, 463bitrd 283 . 2
484, 8, 473bitrd 283 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736   cin 3402   wss 3403   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cdm 4833   crn 4834   cres 4835  cima 4836   wfn 5576  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  csup 7951  cr 9535   cpnf 9669  cxr 9671   clt 9672   cle 9673  cico 11634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-ico 11638 This theorem is referenced by:  limsupgre  13535  limsupgreOLD  13536  limsupbnd1  13537  limsupbnd1OLD  13538  limsupbnd2  13539  limsupbnd2OLD  13540  mbflimsup  22616  mbflimsupOLD  22617
 Copyright terms: Public domain W3C validator