Theorem limsupbnd2OLD 13624

Description: If a sequence is eventually greater than A, then the limsup is also greater than A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.) Obsolete version of limsupbnd2 13623 as of 12-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupbnd.1	|- ( ph -> B C_ RR )
limsupbnd.2	|- ( ph -> F : B --> RR* )
limsupbnd.3	|- ( ph -> A e. RR* )
limsupbnd2.4	|- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
limsupbnd2.5	|- ( ph -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) )

Assertion

Ref	Expression
limsupbnd2OLD	|- ( ph -> A <_ ( limsup ` F ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   j, F, k   ph, j, k

Proof of Theorem limsupbnd2OLD

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupbnd2.5	. . 3 |- ( ph -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) )
2		limsupbnd2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
3		limsupbnd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
4		ressxr 9702	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR*
5	3, 4	syl6ss 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ RR* )
6		supxrunb1 11630	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ RR* -> ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j <-> sup ( B , RR* , < ) = +oo ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j <-> sup ( B , RR* , < ) = +oo ) )
8	2, 7	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR E. j e. B n <_ j )
9		ifcl 3914	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> if ( k <_ m , m , k ) e. RR )
10		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( n = if ( k <_ m , m , k ) -> ( n <_ j <-> if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
11	10	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( n = if ( k <_ m , m , k ) -> ( E. j e. B n <_ j <-> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
12	11	rspccva 3135	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR ) -> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j )
13	8, 9, 12	syl2an 485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j )
14		r19.29 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> E. j e. B ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
15		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> k e. RR )
16		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> m e. RR )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> m e. RR )
18		max1 11503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR ) -> k <_ if ( k <_ m , m , k ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> k <_ if ( k <_ m , m , k ) )
20	17, 15, 9	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> if ( k <_ m , m , k ) e. RR )
21	3	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> B C_ RR )
22	21	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> j e. RR )
23		letr 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( k <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> k <_ j ) )
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( k <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> k <_ j ) )
25	19, 24	mpand 689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> k <_ j ) )
26	25	imim1d 77	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) ) )
27	26	impd 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( F ` j ) ) )
28		max2 11505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR ) -> m <_ if ( k <_ m , m , k ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> m <_ if ( k <_ m , m , k ) )
30		letr 9745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( m <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
31	17, 20, 22, 30	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( m <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
32	29, 31	mpand 689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> m <_ j ) )
33	32	adantld 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
34		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
35	34	limsupgf 13610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) : RR --> RR*
36	35	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. RR -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
37	36	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
38		xrleid 11472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
40	39	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
41		limsupbnd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : B --> RR* )
42	41	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> F : B --> RR* )
43	16, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
44	34	limsupgle 13612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B C_ RR /\ F : B --> RR* ) /\ m e. RR /\ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* ) -> ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <-> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
45	21, 42, 16, 43, 44	syl211anc 1298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <-> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
46	40, 45	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
47	46	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
48	33, 47	syld 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
49	27, 48	jcad 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
50		limsupbnd.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
51	50	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> A e. RR* )
52	42	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( F ` j ) e. RR* )
53	43	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
54		xrletr 11478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ ( F ` j ) e. RR* /\ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* ) -> ( ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
56	49, 55	syld 44	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
57	56	rexlimdva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( E. j e. B ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
58	14, 57	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
59	13, 58	mpan2d 688	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
60	59	anassrs 660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
61	60	rexlimdva 2871	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
62	61	ralrimdva 2812	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
63	1, 62	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
64	34	limsupleOLD 13614	. . 3 |- ( ( B C_ RR /\ F : B --> RR* /\ A e. RR* ) -> ( A <_ ( limsup ` F ) <-> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
65	3, 41, 50, 64	syl3anc 1292	. 2 |- ( ph -> ( A <_ ( limsup ` F ) <-> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
66	63, 65	mpbird 240	1 |- ( ph -> A <_ ( limsup ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   [,)cico 11662   limsupclspold 13602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-ico 11666  df-limsupOLD 13604

This theorem is referenced by:  caucvgrlemOLD  13814  limsupreOLD  37819