Theorem limsupbnd2OLD 13559

Description: If a sequence is eventually greater than A, then the limsup is also greater than A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.) Obsolete version of limsupbnd2 13558 as of 12-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupbnd.1	|- ( ph -> B C_ RR )
limsupbnd.2	|- ( ph -> F : B --> RR* )
limsupbnd.3	|- ( ph -> A e. RR* )
limsupbnd2.4	|- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
limsupbnd2.5	|- ( ph -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) )

Assertion

Ref	Expression
limsupbnd2OLD	|- ( ph -> A <_ ( limsup ` F ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   B, j, k   j, F, k   ph, j, k

Proof of Theorem limsupbnd2OLD

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupbnd2.5	. . 3 |- ( ph -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) )
2		limsupbnd2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
3		limsupbnd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ RR )
4		ressxr 9689	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ RR*
5	3, 4	syl6ss 3446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B C_ RR* )
6		supxrunb1 11612	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ RR* -> ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j <-> sup ( B , RR* , < ) = +oo ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j <-> sup ( B , RR* , < ) = +oo ) )
8	2, 7	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. RR E. j e. B n <_ j )
9		ifcl 3925	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> if ( k <_ m , m , k ) e. RR )
10		breq1 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( n = if ( k <_ m , m , k ) -> ( n <_ j <-> if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
11	10	rexbidv 2903	. . . . . . . . 9 |- ( n = if ( k <_ m , m , k ) -> ( E. j e. B n <_ j <-> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
12	11	rspccva 3151	. . . . . . . 8 |- ( ( A. n e. RR E. j e. B n <_ j /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR ) -> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j )
13	8, 9, 12	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j )
14		r19.29 2927	. . . . . . . 8 |- ( ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> E. j e. B ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) )
15		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> k e. RR )
16		simprl 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> m e. RR )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> m e. RR )
18		max1 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR ) -> k <_ if ( k <_ m , m , k ) )
19	15, 17, 18	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> k <_ if ( k <_ m , m , k ) )
20	17, 15, 9	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> if ( k <_ m , m , k ) e. RR )
21	3	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> B C_ RR )
22	21	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> j e. RR )
23		letr 9732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( k <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> k <_ j ) )
24	15, 20, 22, 23	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( k <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> k <_ j ) )
25	19, 24	mpand 682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> k <_ j ) )
26	25	imim1d 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) ) )
27	26	impd 433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( F ` j ) ) )
28		max2 11489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR ) -> m <_ if ( k <_ m , m , k ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> m <_ if ( k <_ m , m , k ) )
30		letr 9732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ if ( k <_ m , m , k ) e. RR /\ j e. RR ) -> ( ( m <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
31	17, 20, 22, 30	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( m <_ if ( k <_ m , m , k ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
32	29, 31	mpand 682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( if ( k <_ m , m , k ) <_ j -> m <_ j ) )
33	32	adantld 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> m <_ j ) )
34		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) = ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) )
35	34	limsupgf 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) : RR --> RR*
36	35	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. RR -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
38		xrleid 11456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
40	39	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
41		limsupbnd.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : B --> RR* )
42	41	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> F : B --> RR* )
43	16, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
44	34	limsupgle 13547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B C_ RR /\ F : B --> RR* ) /\ m e. RR /\ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* ) -> ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <-> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
45	21, 42, 16, 43, 44	syl211anc 1275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) <-> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
46	40, 45	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> A. j e. B ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
47	46	r19.21bi 2759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( m <_ j -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
48	33, 47	syld 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
49	27, 48	jcad 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) ) )
50		limsupbnd.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
51	50	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> A e. RR* )
52	42	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( F ` j ) e. RR* )
53	43	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* )
54		xrletr 11462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ ( F ` j ) e. RR* /\ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) e. RR* ) -> ( ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( A <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
56	49, 55	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) /\ j e. B ) -> ( ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
57	56	rexlimdva 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( E. j e. B ( ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
58	14, 57	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) /\ E. j e. B if ( k <_ m , m , k ) <_ j ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
59	13, 58	mpan2d 681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
60	59	anassrs 654	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ k e. RR ) -> ( A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
61	60	rexlimdva 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
62	61	ralrimdva 2808	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> A <_ ( F ` j ) ) -> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
63	1, 62	mpd 15	. 2 |- ( ph -> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) )
64	34	limsupleOLD 13549	. . 3 |- ( ( B C_ RR /\ F : B --> RR* /\ A e. RR* ) -> ( A <_ ( limsup ` F ) <-> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
65	3, 41, 50, 64	syl3anc 1269	. 2 |- ( ph -> ( A <_ ( limsup ` F ) <-> A. m e. RR A <_ ( ( n e. RR |-> sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) ) i^i RR* ) , RR* , < ) ) ` m ) ) )
66	63, 65	mpbird 236	1 |- ( ph -> A <_ ( limsup ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   i^i cin 3405   C_ wss 3406   ifcif 3883   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   "cima 4840   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   [,)cico 11644   limsupclspold 13537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-ico 11648  df-limsupOLD 13539

This theorem is referenced by:  caucvgrlemOLD  13749  limsupreOLD  37732