Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupbnd2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limsupbnd2 13623
 Description: If a sequence is eventually greater than , then the limsup is also greater than . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1
limsupbnd.2
limsupbnd.3
limsupbnd2.4
limsupbnd2.5
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11
4 ressxr 9702 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10
6 supxrunb1 11630 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9
82, 7mpbird 240 . . . . . . . 8
9 ifcl 3914 . . . . . . . 8
10 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
1110rexbidv 2892 . . . . . . . . 9
1211rspccva 3135 . . . . . . . 8
138, 9, 12syl2an 485 . . . . . . 7
14 r19.29 2912 . . . . . . . 8
15 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 max1 11503 . . . . . . . . . . . . . . 15
1915, 17, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
2017, 15, 9syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
213adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15
2415, 20, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 24mpand 689 . . . . . . . . . . . . 13
2625imim1d 77 . . . . . . . . . . . 12
2726impd 438 . . . . . . . . . . 11
28 max2 11505 . . . . . . . . . . . . . . 15
2915, 17, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
30 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15
3117, 20, 22, 30syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31mpand 689 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantld 474 . . . . . . . . . . . 12
34 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534limsupgf 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 xrleid 11472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
4316, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
4434limsupgle 13612 . . . . . . . . . . . . . . 15
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . 14
4640, 45mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13
4746r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12
4833, 47syld 44 . . . . . . . . . . 11
4927, 48jcad 542 . . . . . . . . . 10
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12
5150ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
5242ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
5343adantr 472 . . . . . . . . . . 11
54 xrletr 11478 . . . . . . . . . . 11
5551, 52, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
5649, 55syld 44 . . . . . . . . 9
5756rexlimdva 2871 . . . . . . . 8
5814, 57syl5 32 . . . . . . 7
5913, 58mpan2d 688 . . . . . 6
6059anassrs 660 . . . . 5
6160rexlimdva 2871 . . . 4
6261ralrimdva 2812 . . 3
631, 62mpd 15 . 2
6434limsuple 13613 . . 3
653, 41, 50, 64syl3anc 1292 . 2
6663, 65mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  cif 3872   class class class wbr 4395   cmpt 4454  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cico 11662  clsp 13601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-ico 11666  df-limsup 13603 This theorem is referenced by:  caucvgrlem  13813  limsupre  37818
 Copyright terms: Public domain W3C validator