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Theorem limsupbnd2 13546
Description: If a sequence is eventually greater than  A, then the limsup is also greater than  A. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
limsupbnd.2  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
limsupbnd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
limsupbnd2.4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo )
limsupbnd2.5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    j, F, k    ph, j, k

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) )
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo )
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ressxr 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  RR*
53, 4syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  RR* )
6 supxrunb1 11605 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  RR*  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  <->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
82, 7mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j )
9 ifcl 3923 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  if ( k  <_  m ,  m , 
k )  e.  RR )
10 breq1 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( n  <_  j  <->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1110rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  -> 
( E. j  e.  B  n  <_  j  <->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
1211rspccva 3149 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  RR  E. j  e.  B  n  <_  j  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
138, 9, 12syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )
14 r19.29 2925 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  E. j  e.  B  ( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j ) )
15 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  e.  RR )
16 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  m  e.  RR )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  e.  RR )
18 max1 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  k  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
1915, 17, 18syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  k  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
2017, 15, 9syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR )
213adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
2221sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  j  e.  RR )
23 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2415, 20, 22, 23syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  k  <_  j ) )
2519, 24mpand 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  k  <_  j ) )
2625imim1d 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  -> 
( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) ) ) )
2726impd 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( F `  j
) ) )
28 max2 11482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  m  <_  if (
k  <_  m ,  m ,  k )
)
2915, 17, 28syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  m  <_  if ( k  <_  m ,  m , 
k ) )
30 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3117, 20, 22, 30syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( m  <_  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_ 
j )  ->  m  <_  j ) )
3229, 31mpand 681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j  ->  m  <_  j ) )
3332adantld 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  m  <_  j ) )
34 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3534limsupgf 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) : RR --> RR*
3635ffvelrni 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
3736adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
38 xrleid 11449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR*  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
4039adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : B --> RR* )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  F : B --> RR* )
4316, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
4434limsupgle 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR* )  /\  m  e.  RR  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  ( ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  <->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
4640, 45mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  ->  A. j  e.  B  ( m  <_  j  -> 
( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4746r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
m  <_  j  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4833, 47syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
4927, 48jcad 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  ( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j )  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) ) )
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
5150ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  A  e.  RR* )
5242ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  ( F `  j )  e.  RR* )
5343adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )
54 xrletr 11455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( F `  j )  e.  RR*  /\  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m )  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( A  <_  ( F `  j )  /\  ( F `  j
)  <_  ( (
n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5649, 55syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  /\  j  e.  B )  ->  (
( ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5756rexlimdva 2879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( E. j  e.  B  ( ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j
) )  /\  if ( k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5814, 57syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  /\  E. j  e.  B  if (
k  <_  m ,  m ,  k )  <_  j )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F " ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
5913, 58mpan2d 680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  RR  /\  k  e.  RR ) )  -> 
( A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6059anassrs 654 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  RR )  /\  k  e.  RR )  ->  ( A. j  e.  B  ( k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6160rexlimdva 2879 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  (
k  <_  j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6261ralrimdva 2806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. j  e.  B  ( k  <_ 
j  ->  A  <_  ( F `  j ) )  ->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
631, 62mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) )
6434limsuple 13536 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  F : B --> RR*  /\  A  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  ( limsup `  F
)  <->  A. m  e.  RR  A  <_  ( ( n  e.  RR  |->  sup (
( ( F "
( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
653, 41, 50, 64syl3anc 1268 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( limsup `
 F )  <->  A. m  e.  RR  A  <_  (
( n  e.  RR  |->  sup ( ( ( F
" ( n [,) +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) ) `  m ) ) )
6663, 65mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( limsup `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   [,)cico 11637   limsupclsp 13524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-ico 11641  df-limsup 13526
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  13736  limsupre  37721
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