Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupbnd1 Structured version   Unicode version

Theorem limsupbnd1 13285
 Description: If a sequence is eventually at most , then the limsup is also at most . (The converse is only true if the less or equal is replaced by strictly less than; consider the sequence which is never less or equal to zero even though the limsup is.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1
limsupbnd.2
limsupbnd.3
limsupbnd1.4
Assertion
Ref Expression
limsupbnd1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem limsupbnd1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd1.4 . 2
2 limsupbnd.1 . . . . . 6
32adantr 465 . . . . 5
4 limsupbnd.2 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 simpr 461 . . . . 5
7 limsupbnd.3 . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 eqid 2467 . . . . . 6
109limsupgle 13280 . . . . 5
113, 5, 6, 8, 10syl211anc 1234 . . . 4
12 reex 9595 . . . . . . . . . . . 12
1312ssex 4597 . . . . . . . . . . 11
142, 13syl 16 . . . . . . . . . 10
15 xrex 11229 . . . . . . . . . . 11
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10
17 fex2 6750 . . . . . . . . . 10
184, 14, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
19 limsupcl 13276 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
21 xrleid 11368 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7
239limsuple 13281 . . . . . . . 8
242, 4, 20, 23syl3anc 1228 . . . . . . 7
2522, 24mpbid 210 . . . . . 6
2625r19.21bi 2836 . . . . 5
2720adantr 465 . . . . . 6
289limsupgf 13278 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
3029ffvelrnda 6032 . . . . . 6
31 xrletr 11373 . . . . . 6
3227, 30, 8, 31syl3anc 1228 . . . . 5
3326, 32mpand 675 . . . 4
3411, 33sylbird 235 . . 3
3534rexlimdva 2959 . 2
361, 35mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   cin 3480   wss 3481   class class class wbr 4453   cmpt 4511  cima 5008  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  csup 7912  cr 9503   cpnf 9637  cxr 9639   clt 9640   cle 9641  cico 11543  clsp 13273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-ico 11547  df-limsup 13274 This theorem is referenced by:  caucvgrlem  13475  limsupre  31506
 Copyright terms: Public domain W3C validator