Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsucncmpi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limsucncmpi 31105
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
limsucncmpi.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limsucncmpi  |-  -.  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem limsucncmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3054 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  suc 
A  e.  _V )
2 sucexb 6636 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2sylibr 216 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  A  e.  _V )
4 sssucid 5500 . . . . 5  |-  A  C_  suc  A
5 elpwg 3959 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P suc  A  <-> 
A  C_  suc  A ) )
64, 5mpbiri 237 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P suc  A )
7 limsucncmpi.1 . . . . . . 7  |-  Lim  A
8 limuni 5483 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A  = 
U. A
10 elin 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin ) )
11 elpwi 3960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
1211anim1i 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin ) )
1310, 12sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
z  C_  A  /\  z  e.  Fin )
)
14 nlim0 5481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  Lim  (/)
157, 142th 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  <->  -.  Lim  (/) )
16 xor3 359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  <->  ( Lim  A  <->  -.  Lim  (/) ) )
1715, 16mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )
18 limeq 5435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
1918necon3bi 2650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =/=  (/)
21 uni0 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21neeqtrri 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =/=  U. (/)
23 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
2423neeq2d 2684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  =/=  U. z  <->  A  =/=  U. (/) ) )
2522, 24mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z
) )
27 limord 5482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
28 ordsson 6616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
297, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  On
30 sstr2 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A  C_  On  ->  z  C_  On ) )
3129, 30mpi 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  z  C_  On )
32 ordunifi 7821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/) )  ->  U. z  e.  z )
33323expia 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
3431, 33sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
35 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  U. z  e.  A
) )
367, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  A
37 nordeq 5442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  U. z  e.  A )  ->  A  =/=  U. z
)
3836, 37mpan 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. z  e.  A  ->  A  =/=  U. z )
3935, 38syl6 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z
) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z ) )
4134, 40syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  A  =/=  U. z ) )
4226, 41pm2.61dne 2710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  A  =/=  U. z
)
4313, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  A  =/=  U. z )
4443neneqd 2629 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  -.  A  =  U. z
)
4544nrex 2842 . . . . . 6  |-  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
46 unieq 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4746eqeq2d 2461 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( A  =  U. y  <->  A  =  U. A ) )
48 pweq 3954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ~P y  =  ~P A
)
4948ineq1d 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
5150notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z 
<->  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5247, 51anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  ( A  =  U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) ) )
5352rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~P suc  A  /\  ( A  = 
U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
549, 45, 53mpanr12 691 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
55 rexanali 2840 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  -.  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5654, 55sylib 200 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
573, 6, 563syl 18 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  -. 
A. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
58 imnan 424 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  Top  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )  <->  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
5957, 58mpbi 212 . 2  |-  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
60 ordunisuc 6659 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
617, 27, 60mp2b 10 . . . 4  |-  U. suc  A  =  A
6261eqcomi 2460 . . 3  |-  A  = 
U. suc  A
6362iscmp 20403 . 2  |-  ( suc 
A  e.  Comp  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A
( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
6459, 63mtbir 301 1  |-  -.  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   Ord word 5422   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   suc csuc 5425   Fincfn 7569   Topctop 19917   Compccmp 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-cmp 20402
This theorem is referenced by:  limsucncmp  31106
  Copyright terms: Public domain W3C validator