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Theorem limsucncmpi 28428
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
limsucncmpi.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limsucncmpi  |-  -.  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem limsucncmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3080 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  suc 
A  e.  _V )
2 sucexb 6523 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2sylibr 212 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  A  e.  _V )
4 sssucid 4897 . . . . 5  |-  A  C_  suc  A
5 elpwg 3969 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P suc  A  <-> 
A  C_  suc  A ) )
64, 5mpbiri 233 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P suc  A )
7 limsucncmpi.1 . . . . . . 7  |-  Lim  A
8 limuni 4880 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A  = 
U. A
10 elin 3640 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin ) )
11 elpwi 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
1211anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin ) )
1310, 12sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
z  C_  A  /\  z  e.  Fin )
)
14 nlim0 4878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  Lim  (/)
157, 142th 239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  <->  -.  Lim  (/) )
16 xor3 357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  <->  ( Lim  A  <->  -.  Lim  (/) ) )
1715, 16mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )
18 limeq 4832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
1918necon3bi 2677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =/=  (/)
21 uni0 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21neeqtrri 2747 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =/=  U. (/)
23 unieq 4200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
2423neeq2d 2726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  =/=  U. z  <->  A  =/=  U. (/) ) )
2522, 24mpbiri 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z
) )
27 limord 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
28 ordsson 6504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
297, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  On
30 sstr2 3464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A  C_  On  ->  z  C_  On ) )
3129, 30mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  z  C_  On )
32 ordunifi 7666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/) )  ->  U. z  e.  z )
33323expia 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
3431, 33sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
35 ssel 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  U. z  e.  A
) )
367, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  A
37 nordeq 4839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  U. z  e.  A )  ->  A  =/=  U. z
)
3836, 37mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. z  e.  A  ->  A  =/=  U. z )
3935, 38syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z
) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z ) )
4134, 40syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  A  =/=  U. z ) )
4226, 41pm2.61dne 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  A  =/=  U. z
)
4313, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  A  =/=  U. z )
4443neneqd 2651 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  -.  A  =  U. z
)
4544nrex 2917 . . . . . 6  |-  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
46 unieq 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4746eqeq2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( A  =  U. y  <->  A  =  U. A ) )
48 pweq 3964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ~P y  =  ~P A
)
4948ineq1d 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
5150notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z 
<->  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5247, 51anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  ( A  =  U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) ) )
5352rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~P suc  A  /\  ( A  = 
U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
549, 45, 53mpanr12 685 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
55 rexanali 2875 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  -.  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5654, 55sylib 196 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
573, 6, 563syl 20 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  -. 
A. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
58 imnan 422 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  Top  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )  <->  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
5957, 58mpbi 208 . 2  |-  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
60 ordunisuc 6546 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
617, 27, 60mp2b 10 . . . 4  |-  U. suc  A  =  A
6261eqcomi 2464 . . 3  |-  A  = 
U. suc  A
6362iscmp 19116 . 2  |-  ( suc 
A  e.  Comp  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A
( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
6459, 63mtbir 299 1  |-  -.  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   ~Pcpw 3961   U.cuni 4192   Ord word 4819   Oncon0 4820   Lim wlim 4821   suc csuc 4822   Fincfn 7413   Topctop 18623   Compccmp 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-1o 7023  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417  df-cmp 19115
This theorem is referenced by:  limsucncmp  28429
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