Theorem limsucncmpi 31176

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsucncmpi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limsucncmpi	|- -. suc A e. Comp

Proof of Theorem limsucncmpi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3040	. . . . 5 |- ( suc A e. Top -> suc A e. _V )
2		sucexb 6655	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
3	1, 2	sylibr 217	. . . 4 |- ( suc A e. Top -> A e. _V )
4		sssucid 5507	. . . . 5 |- A C_ suc A
5		elpwg 3950	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P suc A <-> A C_ suc A ) )
6	4, 5	mpbiri 241	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. ~P suc A )
7		limsucncmpi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
8		limuni 5490	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> A = U. A )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A = U. A
10		elin 3608	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) )
11		elpwi 3951	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~P A -> z C_ A )
12	11	anim1i 578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
13	10, 12	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
14		nlim0 5488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. Lim (/)
15	7, 14	2th 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim A <-> -. Lim (/) )
16		xor3 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) <-> ( Lim A <-> -. Lim (/) ) )
17	15, 16	mpbir 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( Lim A <-> Lim (/) )
18		limeq 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = (/) -> ( Lim A <-> Lim (/) ) )
19	18	necon3bi 2669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) -> A =/= (/) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- A =/= (/)
21		uni0 4217	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	neeqtrri 2716	. . . . . . . . . . . 12 |- A =/= U. (/)
23		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> U. z = U. (/) )
24	23	neeq2d 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = (/) -> ( A =/= U. z <-> A =/= U. (/) ) )
25	22, 24	mpbiri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> A =/= U. z )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z = (/) -> A =/= U. z ) )
27		limord 5489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim A -> Ord A )
28		ordsson 6635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord A -> A C_ On )
29	7, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ On
30		sstr2 3425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( A C_ On -> z C_ On ) )
31	29, 30	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> z C_ On )
32		ordunifi 7839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin /\ z =/= (/) ) -> U. z e. z )
33	32	3expia 1233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
34	31, 33	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
35		ssel 3412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> U. z e. A ) )
36	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord A
37		nordeq 5449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ U. z e. A ) -> A =/= U. z )
38	36, 37	mpan 684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. z e. A -> A =/= U. z )
39	35, 38	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
40	39	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
41	34, 40	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> A =/= U. z ) )
42	26, 41	pm2.61dne 2729	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> A =/= U. z )
43	13, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> A =/= U. z )
44	43	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> -. A = U. z )
45	44	nrex 2841	. . . . . 6 |- -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z
46		unieq 4198	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> U. y = U. A )
47	46	eqeq2d 2481	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( A = U. y <-> A = U. A ) )
48		pweq 3945	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ~P y = ~P A )
49	48	ineq1d 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ~P y i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
50	49	rexeqdv 2980	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
51	50	notbid 301	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
52	47, 51	anbi12d 725	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) )
53	52	rspcev 3136	. . . . . 6 |- ( ( A e. ~P suc A /\ ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
54	9, 45, 53	mpanr12 699	. . . . 5 |- ( A e. ~P suc A -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
55		rexanali 2839	. . . . 5 |- ( E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
56	54, 55	sylib 201	. . . 4 |- ( A e. ~P suc A -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
57	3, 6, 56	3syl 18	. . 3 |- ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
58		imnan 429	. . 3 |- ( ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) <-> -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
59	57, 58	mpbi 213	. 2 |- -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
60		ordunisuc 6678	. . . . 5 |- ( Ord A -> U. suc A = A )
61	7, 27, 60	mp2b 10	. . . 4 |- U. suc A = A
62	61	eqcomi 2480	. . 3 |- A = U. suc A
63	62	iscmp 20480	. 2 |- ( suc A e. Comp <-> ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
64	59, 63	mtbir 306	1 |- -. suc A e. Comp

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   Fincfn 7587   Topctop 19994   Compccmp 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-cmp 20479

This theorem is referenced by:  limsucncmp  31177