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Theorem limsucncmpi 31097
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
limsucncmpi.1  |-  Lim  A
Assertion
Ref Expression
limsucncmpi  |-  -.  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem limsucncmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3090 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  suc 
A  e.  _V )
2 sucexb 6646 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  suc  A  e. 
_V )
31, 2sylibr 215 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  A  e.  _V )
4 sssucid 5515 . . . . 5  |-  A  C_  suc  A
5 elpwg 3987 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P suc  A  <-> 
A  C_  suc  A ) )
64, 5mpbiri 236 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  ~P suc  A )
7 limsucncmpi.1 . . . . . . 7  |-  Lim  A
8 limuni 5498 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  A  = 
U. A
10 elin 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin ) )
11 elpwi 3988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
1211anim1i 570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~P A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin ) )
1310, 12sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  (
z  C_  A  /\  z  e.  Fin )
)
14 nlim0 5496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  Lim  (/)
157, 142th 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  <->  -.  Lim  (/) )
16 xor3 358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  <->  ( Lim  A  <->  -.  Lim  (/) ) )
1715, 16mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )
18 limeq 5450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  (/)  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  (/) ) )
1918necon3bi 2653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( Lim  A  <->  Lim  (/) )  ->  A  =/=  (/) )
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =/=  (/)
21 uni0 4243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. (/)  =  (/)
2220, 21neeqtrri 2723 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =/=  U. (/)
23 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
2423neeq2d 2702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  =/=  U. z  <->  A  =/=  U. (/) ) )
2522, 24mpbiri 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =  (/)  ->  A  =/=  U. z
) )
27 limord 5497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
28 ordsson 6626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
297, 27, 28mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  On
30 sstr2 3471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( A  C_  On  ->  z  C_  On ) )
3129, 30mpi 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  z  C_  On )
32 ordunifi 7823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/) )  ->  U. z  e.  z )
33323expia 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  C_  On  /\  z  e.  Fin )  ->  (
z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
3431, 33sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  U. z  e.  z ) )
35 ssel 3458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  U. z  e.  A
) )
367, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  A
37 nordeq 5457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  U. z  e.  A )  ->  A  =/=  U. z
)
3836, 37mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. z  e.  A  ->  A  =/=  U. z )
3935, 38syl6 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  A  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z
) )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( U. z  e.  z  ->  A  =/=  U. z ) )
4134, 40syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  ( z  =/=  (/)  ->  A  =/=  U. z ) )
4226, 41pm2.61dne 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  A  /\  z  e.  Fin )  ->  A  =/=  U. z
)
4313, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  A  =/=  U. z )
4443neneqd 2625 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  -.  A  =  U. z
)
4544nrex 2880 . . . . . 6  |-  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
46 unieq 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4746eqeq2d 2436 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( A  =  U. y  <->  A  =  U. A ) )
48 pweq 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ~P y  =  ~P A
)
4948ineq1d 3663 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( ~P y  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 3032 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
5150notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z 
<->  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5247, 51anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  ( A  =  U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) ) )
5352rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~P suc  A  /\  ( A  = 
U. A  /\  -.  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
549, 45, 53mpanr12 689 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  E. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z
) )
55 rexanali 2878 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  /\  -.  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z )  <->  -.  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
5654, 55sylib 199 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P suc  A  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
573, 6, 563syl 18 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  Top  ->  -. 
A. y  e.  ~P  suc  A ( A  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) A  = 
U. z ) )
58 imnan 423 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  Top  ->  -.  A. y  e. 
~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )  <->  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
5957, 58mpbi 211 . 2  |-  -.  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A ( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) )
60 ordunisuc 6669 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
617, 27, 60mp2b 10 . . . 4  |-  U. suc  A  =  A
6261eqcomi 2435 . . 3  |-  A  = 
U. suc  A
6362iscmp 20389 . 2  |-  ( suc 
A  e.  Comp  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  suc  A
( A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) A  =  U. z ) ) )
6459, 63mtbir 300 1  |-  -.  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   Ord word 5437   Oncon0 5438   Lim wlim 5439   suc csuc 5440   Fincfn 7573   Topctop 19903   Compccmp 20387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-cmp 20388
This theorem is referenced by:  limsucncmp  31098
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