Theorem limsucncmpi 30072

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsucncmpi.1	|- Lim A

Assertion

Ref	Expression
limsucncmpi	|- -. suc A e. Comp

Proof of Theorem limsucncmpi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3118	. . . . 5 |- ( suc A e. Top -> suc A e. _V )
2		sucexb 6643	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
3	1, 2	sylibr 212	. . . 4 |- ( suc A e. Top -> A e. _V )
4		sssucid 4964	. . . . 5 |- A C_ suc A
5		elpwg 4023	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. ~P suc A <-> A C_ suc A ) )
6	4, 5	mpbiri 233	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. ~P suc A )
7		limsucncmpi.1	. . . . . . 7 |- Lim A
8		limuni 4947	. . . . . . 7 |- ( Lim A -> A = U. A )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A = U. A
10		elin 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) )
11		elpwi 4024	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~P A -> z C_ A )
12	11	anim1i 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~P A /\ z e. Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
13	10, 12	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( z C_ A /\ z e. Fin ) )
14		nlim0 4945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. Lim (/)
15	7, 14	2th 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim A <-> -. Lim (/) )
16		xor3 357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) <-> ( Lim A <-> -. Lim (/) ) )
17	15, 16	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( Lim A <-> Lim (/) )
18		limeq 4899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = (/) -> ( Lim A <-> Lim (/) ) )
19	18	necon3bi 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( Lim A <-> Lim (/) ) -> A =/= (/) )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- A =/= (/)
21		uni0 4278	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. (/) = (/)
22	20, 21	neeqtrri 2756	. . . . . . . . . . . 12 |- A =/= U. (/)
23		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = (/) -> U. z = U. (/) )
24	23	neeq2d 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = (/) -> ( A =/= U. z <-> A =/= U. (/) ) )
25	22, 24	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (/) -> A =/= U. z )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z = (/) -> A =/= U. z ) )
27		limord 4946	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Lim A -> Ord A )
28		ordsson 6624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord A -> A C_ On )
29	7, 27, 28	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ On
30		sstr2 3506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( A C_ On -> z C_ On ) )
31	29, 30	mpi 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> z C_ On )
32		ordunifi 7788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin /\ z =/= (/) ) -> U. z e. z )
33	32	3expia 1198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z C_ On /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
34	31, 33	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> U. z e. z ) )
35		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> U. z e. A ) )
36	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord A
37		nordeq 4906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ U. z e. A ) -> A =/= U. z )
38	36, 37	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. z e. A -> A =/= U. z )
39	35, 38	syl6 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ A -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( U. z e. z -> A =/= U. z ) )
41	34, 40	syld 44	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> ( z =/= (/) -> A =/= U. z ) )
42	26, 41	pm2.61dne 2774	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ A /\ z e. Fin ) -> A =/= U. z )
43	13, 42	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> A =/= U. z )
44	43	neneqd 2659	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> -. A = U. z )
45	44	nrex 2912	. . . . . 6 |- -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z
46		unieq 4259	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> U. y = U. A )
47	46	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( A = U. y <-> A = U. A ) )
48		pweq 4018	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ~P y = ~P A )
49	48	ineq1d 3695	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( ~P y i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
50	49	rexeqdv 3061	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
51	50	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z <-> -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) )
52	47, 51	anbi12d 710	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) )
53	52	rspcev 3210	. . . . . 6 |- ( ( A e. ~P suc A /\ ( A = U. A /\ -. E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A = U. z ) ) -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
54	9, 45, 53	mpanr12 685	. . . . 5 |- ( A e. ~P suc A -> E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
55		rexanali 2910	. . . . 5 |- ( E. y e. ~P suc A ( A = U. y /\ -. E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) <-> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
56	54, 55	sylib 196	. . . 4 |- ( A e. ~P suc A -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
57	3, 6, 56	3syl 20	. . 3 |- ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
58		imnan 422	. . 3 |- ( ( suc A e. Top -> -. A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) <-> -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
59	57, 58	mpbi 208	. 2 |- -. ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) )
60		ordunisuc 6666	. . . . 5 |- ( Ord A -> U. suc A = A )
61	7, 27, 60	mp2b 10	. . . 4 |- U. suc A = A
62	61	eqcomi 2470	. . 3 |- A = U. suc A
63	62	iscmp 20014	. 2 |- ( suc A e. Comp <-> ( suc A e. Top /\ A. y e. ~P suc A ( A = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) A = U. z ) ) )
64	59, 63	mtbir 299	1 |- -. suc A e. Comp

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889   Fincfn 7535   Topctop 19520   Compccmp 20012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-cmp 20013

This theorem is referenced by:  limsucncmp  30073