Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsucncmp Structured version   Unicode version

Theorem limsucncmp 29476
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
limsucncmp  |-  ( Lim 
A  ->  -.  suc  A  e.  Comp )

Proof of Theorem limsucncmp
StepHypRef Expression
1 suceq 4938 . . . 4  |-  ( A  =  if ( Lim 
A ,  A ,  On )  ->  suc  A  =  suc  if ( Lim 
A ,  A ,  On ) )
21eleq1d 2531 . . 3  |-  ( A  =  if ( Lim 
A ,  A ,  On )  ->  ( suc 
A  e.  Comp  <->  suc  if ( Lim  A ,  A ,  On )  e.  Comp ) )
32notbid 294 . 2  |-  ( A  =  if ( Lim 
A ,  A ,  On )  ->  ( -. 
suc  A  e.  Comp  <->  -.  suc  if ( Lim  A ,  A ,  On )  e.  Comp ) )
4 limeq 4885 . . . 4  |-  ( A  =  if ( Lim 
A ,  A ,  On )  ->  ( Lim 
A  <->  Lim  if ( Lim 
A ,  A ,  On ) ) )
5 limeq 4885 . . . 4  |-  ( On  =  if ( Lim 
A ,  A ,  On )  ->  ( Lim 
On 
<->  Lim  if ( Lim 
A ,  A ,  On ) ) )
6 limon 6644 . . . 4  |-  Lim  On
74, 5, 6elimhyp 3993 . . 3  |-  Lim  if ( Lim  A ,  A ,  On )
87limsucncmpi 29475 . 2  |-  -.  suc  if ( Lim  A ,  A ,  On )  e.  Comp
93, 8dedth 3986 1  |-  ( Lim 
A  ->  -.  suc  A  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   ifcif 3934   Oncon0 4873   Lim wlim 4874   suc csuc 4875   Compccmp 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6674  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-fin 7512  df-cmp 19648
This theorem is referenced by:  ordcmp  29477
  Copyright terms: Public domain W3C validator