Theorem limsuc 3933

Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member.

Assertion

Ref	Expression
limsuc	|- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Proof of Theorem limsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim4 3932	. . 3 |- (Lim A <-> (Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A))
2		suceq 3729	. . . . . 6 |- (x = B -> suc x = suc B)
3	2	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = B -> (suc x e. A <-> suc B e. A))
4	3	rcla4cv 2377	. . . 4 |- (A.x e. A suc x e. A -> (B e. A -> suc B e. A))
5	4	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((Ord A /\ (/) e. A /\ A.x e. A suc x e. A) -> (B e. A -> suc B e. A))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 |- (Lim A -> (B e. A -> suc B e. A))
7		limord 3723	. . 3 |- (Lim A -> Ord A)
8		ordtr 3672	. . 3 |- (Ord A -> Tr A)
9		trsuc 3752	. . . 4 |- ((Tr A /\ suc B e. A) -> B e. A)
10	9	ex 402	. . 3 |- (Tr A -> (suc B e. A -> B e. A))
11	7, 8, 10	3syl 24	. 2 |- (Lim A -> (suc B e. A -> B e. A))
12	6, 11	impbid 574	1 |- (Lim A -> (B e. A <-> suc B e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  (/)c0 2875  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Lim wlim 3658  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  limsssuc 3934  limuni3 3936  peano2b 3968  oaordi 5227  oarec 5244  omordi 5245  oeordi 5262  oelim2 5270  limenpsi 5599  r1ord 5766  ranklim 5796  r1pwcl 5798  rankxplim3 5825  alephordi 6022  cflim 6057  ordsucuniel 13863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain