Theorem limom 3967

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3960	. 2 |- Ord om
2		ordeleqon 3866	. . 3 |- (Ord om <-> (om e. On \/ om = On))
3		ordirr 3676	. . . . . 6 |- (Ord om -> -. om e. om)
4	1, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- -. om e. om
5		elomg 3953	. . . . . 6 |- (om e. On -> (om e. om <-> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x))))
6		ordtri1 3693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x C_ om <-> -. om e. x))
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x C_ om <-> -. om e. x))
8		ordsseleq 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x C_ om <-> (x e. om \/ x = om)))
9	8	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x C_ om -> (x e. om \/ x = om)))
10		nnlim 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. om -> -. Lim x)
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x e. om -> -. Lim x))
12		limeq 3669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
13	12	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = om -> (Lim x -> Lim om))
14	13	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = om -> (-. Lim om -> -. Lim x))
15	14	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. Lim om -> (x = om -> -. Lim x))
16	11, 15	jaod 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. Lim om -> ((x e. om \/ x = om) -> -. Lim x))
17	9, 16	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (x C_ om -> -. Lim x))
18	7, 17	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (-. om e. x -> -. Lim x))
19	18	con4d 91	. . . . . . . . . . . 12 |- (((Ord x /\ Ord om) /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
20	1, 19	mpanl2 771	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
21		limord 3723	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim x -> Ord x)
22	20, 21	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((Lim x /\ -. Lim om) -> (Lim x -> om e. x))
23	22	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (Lim x -> (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x)))
24	23	pm2.43b 81	. . . . . . . 8 |- (-. Lim om -> (Lim x -> om e. x))
25	24	19.21aiv 1664	. . . . . . 7 |- (-. Lim om -> A.x(Lim x -> om e. x))
26	25, 1	jctil 316	. . . . . 6 |- (-. Lim om -> (Ord om /\ A.x(Lim x -> om e. x)))
27	5, 26	syl5bir 227	. . . . 5 |- (om e. On -> (-. Lim om -> om e. om))
28	4, 27	mt3i 128	. . . 4 |- (om e. On -> Lim om)
29		limon 3917	. . . . 5 |- Lim On
30		limeq 3669	. . . . 5 |- (om = On -> (Lim om <-> Lim On))
31	29, 30	mpbiri 211	. . . 4 |- (om = On -> Lim om)
32	28, 31	jaoi 368	. . 3 |- ((om e. On \/ om = On) -> Lim om)
33	2, 32	sylbi 216	. 2 |- (Ord om -> Lim om)
34	1, 33	ax-mp 7	1 |- Lim om

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem is referenced by:  peano2b 3968  ssnlim 3970  peano1 3971  oaabslem 5308  oaabs 5309  infeq5 5727  elom3 5738  omenps 5743  omensuc 5744  omsublim 5887  cardlim 6003  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain