MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Structured version   Unicode version

Theorem limom 6721
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom  |-  Lim  om

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 6715 . 2  |-  Ord  om
2 ordeleqon 6629 . . 3  |-  ( Ord 
om 
<->  ( om  e.  On  \/  om  =  On ) )
3 ordirr 5460 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
41, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
5 elom 6709 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  om  <->  ( om  e.  On  /\  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
65baib 911 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  om  <->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) ) )
74, 6mtbii 303 . . . . 5  |-  ( om  e.  On  ->  -.  A. x ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
8 limomss 6711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  om  C_  x
)
9 limord 5501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 5471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  x )  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
111, 9, 10sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( om  C_  x  <->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) ) )
128, 11mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( om  e.  x  \/  om  =  x ) )
1312ord 378 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  om  =  x ) )
14 limeq 5454 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  =  x  ->  ( Lim  om  <->  Lim  x ) )
1514biimprcd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( om  =  x  ->  Lim  om ) )
1613, 15syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  om  e.  x  ->  Lim  om ) )
1716con1d 127 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( -.  Lim  om  ->  om  e.  x ) )
1817com12 32 . . . . . 6  |-  ( -. 
Lim  om  ->  ( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
1918alrimiv 1767 . . . . 5  |-  ( -. 
Lim  om  ->  A. x
( Lim  x  ->  om  e.  x ) )
207, 19nsyl2 130 . . . 4  |-  ( om  e.  On  ->  Lim  om )
21 limon 6677 . . . . 5  |-  Lim  On
22 limeq 5454 . . . . 5  |-  ( om  =  On  ->  ( Lim  om  <->  Lim  On ) )
2321, 22mpbiri 236 . . . 4  |-  ( om  =  On  ->  Lim  om )
2420, 23jaoi 380 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  \/  om  =  On )  ->  Lim  om )
252, 24sylbi 198 . 2  |-  ( Ord 
om  ->  Lim  om )
261, 25ax-mp 5 1  |-  Lim  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872    C_ wss 3436   Ord word 5441   Oncon0 5442   Lim wlim 5443   omcom 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-om 6707
This theorem is referenced by:  peano2b  6722  ssnlim  6724  peano1  6726  onesuc  7243  oaabslem  7355  oaabs2  7357  omabslem  7358  infensuc  7759  infeq5i  8150  elom3  8162  omenps  8168  omensuc  8169  infdifsn  8170  cardlim  8414  r1om  8681  cfom  8701  ominf4  8749  alephom  9017  wunex3  9173
  Copyright terms: Public domain W3C validator