Theorem limfilnei 14943

Description: A is a limit of the filter of the neighborhoods of A.

Hypotheses

Ref	Expression
limfilnei.1	|- X = U.J
limfilnei.2	|- F = ((nei` J)` {A})

Assertion

Ref	Expression
limfilnei	|- ((J e. Top /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` F))

Proof of Theorem limfilnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> J e. Top)
2		snssi 3129	. . . . 5 |- (A e. X -> {A} C_ X)
3	2	adantl 424	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> {A} C_ X)
4		snnzg 3118	. . . . 5 |- (A e. X -> {A} =/= (/))
5	4	adantl 424	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> {A} =/= (/))
6	1, 3, 5	3jca 1050	. . 3 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> (J e. Top /\ {A} C_ X /\ {A} =/= (/)))
7		limfilnei.1	. . . 4 |- X = U.J
8	7	neifil 10302	. . 3 |- ((J e. Top /\ {A} C_ X /\ {A} =/= (/)) -> ((nei` J)` {A}) e. Fil)
9		simp1 876	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> J e. Top)
10	2	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> {A} C_ X)
11	9, 10	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> (J e. Top /\ {A} C_ X))
12	7	unnei 9011	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ {A} C_ X) -> U.((nei` J)` {A}) = X)
13		ssid 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A})
14		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U.((nei` J)` {A}) = U.((nei` J)` {A})
15	7, 14	isfillim 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ X = U.((nei` J)` {A})) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> (A e. X /\ ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))
16		ibar 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A e. X -> (((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}) <-> (A e. X /\ ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))
17	16	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A e. X -> ((A e. X /\ ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A})))
18	15, 17	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ X = U.((nei` J)` {A})) /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A})))
19	18	3exp1 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (J e. Top -> (((nei` J)` {A}) e. Fil -> (X = U.((nei` J)` {A}) -> (A e. X -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))))
20	19	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (J e. Top -> (((nei` J)` {A}) e. Fil -> (A e. X -> (X = U.((nei` J)` {A}) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))))
21	20	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> (X = U.((nei` J)` {A}) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))
22	21	com12 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X = U.((nei` J)` {A}) -> ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))
23	22	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U.((nei` J)` {A}) = X -> ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A}))))
24	23	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U.((nei` J)` {A}) = X /\ (J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X)) -> (A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})) <-> ((nei` J)` {A}) C_ ((nei` J)` {A})))
25	13, 24	mpbiri 211	. . . . . . . . . . 11 |- ((U.((nei` J)` {A}) = X /\ (J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X)) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})))
26	25	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (U.((nei` J)` {A}) = X -> ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A}))))
27	11, 12, 26	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A}))))
28	27	pm2.43i 78	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})))
29		limfilnei.2	. . . . . . . . 9 |- F = ((nei` J)` {A})
30	29	fveq2i 4684	. . . . . . . 8 |- ((fLim1` J)` F) = ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A}))
31	28, 30	syl6eleqr 1982	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` F))
32	31	3exp 1066	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (((nei` J)` {A}) e. Fil -> (A e. X -> A e. ((fLim1` J)` F))))
33	32	com23 36	. . . . 5 |- (J e. Top -> (A e. X -> (((nei` J)` {A}) e. Fil -> A e. ((fLim1` J)` F))))
34	33	imp 377	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> (((nei` J)` {A}) e. Fil -> A e. ((fLim1` J)` F)))
35	34	com12 14	. . 3 |- (((nei` J)` {A}) e. Fil -> ((J e. Top /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` F)))
36	6, 8, 35	3syl 24	. 2 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> ((J e. Top /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` F)))
37	36	pm2.43i 78	1 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-nei 8989  df-fil 10265  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain