Theorem limfil 10297

Description: The set of limit points of a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
limfil.1	|- X = U.J
limfil.2	|- Y = U.F

Assertion

Ref	Expression
limfil	|- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> ((fLim1` J)` F) = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})

Distinct variable groups:   F,l   J,l   X,l

Proof of Theorem limfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limfil.1	. . . . 5 |- X = U.J
2	1	sfvlim 10296	. . . 4 |- (J e. Top -> (fLim1` J) = {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})})
3	2	fveq1d 4683	. . 3 |- (J e. Top -> ((fLim1` J)` F) = ({<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}` F))
4	3	3ad2ant1 897	. 2 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> ((fLim1` J)` F) = ({<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}` F))
5		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
6	5, 1	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. _V)
7		rabexg 3460	. . . . . 6 |- (X e. _V -> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V)
8	6, 7	syl 12	. . . . 5 |- (J e. Top -> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V)
9	8	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V)
10		simp3 878	. . . . . 6 |- ((x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}) -> y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})
11	10	ssopab2i 3574	. . . . 5 |- {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} C_ {<.x, y>. | y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}}
12		funopabeq 4456	. . . . 5 |- Fun {<.x, y>. | y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}}
13		funss 4439	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} C_ {<.x, y>. | y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}} -> (Fun {<.x, y>. | y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}} -> Fun {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}))
14	11, 12, 13	mp2 54	. . . 4 |- Fun {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}
15	9, 14	jctir 317	. . 3 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> ({l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V /\ Fun {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}))
16		simp2 877	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> F e. Fil)
17		eqcom 1886	. . . . . . 7 |- (X = Y <-> Y = X)
18	17	biimpi 168	. . . . . 6 |- (X = Y -> Y = X)
19	18	3ad2ant3 899	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> Y = X)
20		eqidd 1885	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})
21	16, 19, 20	3jca 1050	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}))
22		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- (x = F -> (x e. Fil <-> F e. Fil))
23		unieq 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = F -> U.x = U.F)
24		limfil.2	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = U.F
25	23, 24	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . 11 |- (x = F -> U.x = Y)
26	25	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . 10 |- (x = F -> (U.x = X <-> Y = X))
27		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = F -> (((nei` J)` {l}) C_ x <-> ((nei` J)` {l}) C_ F))
28	27	rabbidv 2287	. . . . . . . . . . 11 |- (x = F -> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})
29	28	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- (x = F -> (y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x} <-> y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}))
30	22, 26, 29	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (x = F -> ((x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x}) <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
31		eqeq1 1890	. . . . . . . . . 10 |- (y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} -> (y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} <-> {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}))
32	31	3anbi3d 1174	. . . . . . . . 9 |- (y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} -> ((F e. Fil /\ Y = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}) <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
33	30, 32	opelopabg 3567	. . . . . . . 8 |- ((F e. Fil /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
34	33, 7	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((F e. Fil /\ X e. _V) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
35	34	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((X e. _V /\ F e. Fil) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
36	35, 6	sylan 497	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ F e. Fil) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
37	36	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} <-> (F e. Fil /\ Y = X /\ {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})))
38	21, 37	mpbird 213	. . 3 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> <.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})})
39		funopfvg 4711	. . 3 |- (({l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F} e. _V /\ Fun {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}) -> (<.F, {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}>. e. {<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})} -> ({<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}` F) = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F}))
40	15, 38, 39	sylc 83	. 2 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> ({<.x, y>. | (x e. Fil /\ U.x = X /\ y = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ x})}` F) = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})
41	4, 40	eqtrd 1925	1 |- ((J e. Top /\ F e. Fil /\ X = Y) -> ((fLim1` J)` F) = {l e. X | ((nei` J)` {l}) C_ F})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  Fun wfun 3992  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem is referenced by:  isfillim 10298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain