Theorem limensuc 5601

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor.

Assertion

Ref	Expression
limensuc	|- ((A e. B /\ Lim A) -> A ~~ suc A)

Proof of Theorem limensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . 4 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (A e. B <-> if(Lim A, A, On) e. B))
2		id 73	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> A = if(Lim A, A, On))
3		suceq 3729	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> suc A = suc if(Lim A, A, On))
4	2, 3	breq12d 3351	. . . 4 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (A ~~ suc A <-> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On)))
5	1, 4	imbi12d 688	. . 3 |- (A = if(Lim A, A, On) -> ((A e. B -> A ~~ suc A) <-> (if(Lim A, A, On) e. B -> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On))))
6		limeq 3669	. . . . 5 |- (A = if(Lim A, A, On) -> (Lim A <-> Lim if(Lim A, A, On)))
7		limeq 3669	. . . . 5 |- (On = if(Lim A, A, On) -> (Lim On <-> Lim if(Lim A, A, On)))
8		limon 3917	. . . . 5 |- Lim On
9	6, 7, 8	elimhyp 3021	. . . 4 |- Lim if(Lim A, A, On)
10	9	limensuci 5600	. . 3 |- (if(Lim A, A, On) e. B -> if(Lim A, A, On) ~~ suc if(Lim A, A, On))
11	5, 10	dedth 3011	. 2 |- (Lim A -> (A e. B -> A ~~ suc A))
12	11	impcom 378	1 |- ((A e. B /\ Lim A) -> A ~~ suc A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982   class class class wbr 3338  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  infensuc 5745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428

Copyright terms: Public domain