Theorem limcresiooub 37820

Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresiooub.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcresiooub.b	|- ( ph -> B e. RR* )
limcresiooub.c	|- ( ph -> C e. RR )
limcresiooub.bltc	|- ( ph -> B < C )
limcresiooub.bcss	|- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
limcresiooub.d	|- ( ph -> D e. RR* )
limcresiooub.cled	|- ( ph -> D <_ B )

Assertion

Ref	Expression
limcresiooub	|- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem limcresiooub

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresiooub.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
2		limcresiooub.cled	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ B )
3		iooss1 11696	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR* /\ D <_ B ) -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
5	4	resabs1d 5140	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( F |` ( B (,) C ) ) )
6	5	eqcomd 2477	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) C ) ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) )
7	6	oveq1d 6323	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) )
8		limcresiooub.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
9		fresin 5764	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
11		limcresiooub.bcss	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
12	11, 4	ssind 3647	. . 3 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A i^i ( D (,) C ) ) )
13		inss2 3644	. . . . 5 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ ( D (,) C )
14		ioosscn 37687	. . . . 5 |- ( D (,) C ) C_ CC
15	13, 14	sstri 3427	. . . 4 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC )
17		eqid 2471	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2471	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
19		limcresiooub.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
20		limcresiooub.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
21	20	rexrd 9708	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR* )
22		limcresiooub.bltc	. . . . 5 |- ( ph -> B < C )
23		ubioc1 11713	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> C e. ( B (,] C ) )
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( B (,] C ) )
25		snunioo2 37702	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
26	19, 21, 22, 25	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
27	26	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) )
28	17	cnfldtop 21882	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
29		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( D (,) C ) e. _V
30	29	inex2 4538	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) e. _V
31		snex 4641	. . . . . . . . 9 |- { C } e. _V
32	30, 31	unex 6608	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V
33		resttop 20253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
34	28, 32, 33	mp2an 686	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
36		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> +oo e. RR* )
38		xrleid 11472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
39	19, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B <_ B )
40	20	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C < +oo )
41		iocssioo 11749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( B <_ B /\ C < +oo ) ) -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
42	19, 37, 39, 40, 41	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
43		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x = C )
44		snidg 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. RR -> C e. { C } )
45		elun2 3593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. { C } -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
46	20, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
48	43, 47	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
49	48	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
50		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> ph )
51	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B e. RR* )
52	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
53	21	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> C e. RR* )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
55		iocssre 11739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B (,] C ) C_ RR )
56	19, 20, 55	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ RR )
57	56	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. RR )
58	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
59		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
60		iocgtlb 37695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
61	51, 53, 59, 60	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
62	61	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
63	20	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR )
64		iocleub 37696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
65	51, 53, 59, 64	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
66	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x <_ C )
67		neqne 2651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x = C -> x =/= C )
68	67	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x =/= C )
69	68	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C =/= x )
70	58, 63, 66, 69	leneltd 9806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
71	52, 54, 58, 62, 70	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
72	12	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
73		elun1 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
75	50, 71, 74	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
76	49, 75	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
77	76	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
78		dfss3 3408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) <-> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
79	77, 78	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
80	42, 79	ssind 3647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
81	80	sseld 3417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) -> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
82	24	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( B (,] C ) )
83	43, 82	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
84	83	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
85		ioossioc 37684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) C ) C_ ( B (,] C )
86	19	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
87	21	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
88		elinel1 3610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
89		elioore 11691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( B (,) +oo ) -> x e. RR )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. RR )
91	90	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
92	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> +oo e. RR* )
93	88	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
94		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( B (,) +oo ) ) -> B < x )
95	86, 92, 93, 94	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
96	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> D e. RR* )
97		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
98		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. x = C -> -. x = C )
99		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { C } <-> x = C )
100	98, 99	sylnibr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x = C -> -. x e. { C } )
101		elunnel2 37423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) /\ -. x e. { C } ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
102	97, 100, 101	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
103	13, 102	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
104	103	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
105		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( D (,) C ) ) -> x < C )
106	96, 87, 104, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
107	86, 87, 91, 95, 106	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
108	85, 107	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
109	84, 108	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
110	109	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,] C ) ) )
111	81, 110	impbid 195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) <-> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
112	111	eqrdv 2469	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
113		retop 21860	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
115	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V )
116		iooretop 21864	. . . . . . . . . 10 |- ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
118		elrestr 15405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V /\ ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
120	112, 119	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
121	17	tgioo2 21899	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	121	oveq1i 6318	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
123	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
124		ioossre 11721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D (,) C ) C_ RR
125	13, 124	sstri 3427	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR )
127	20	snssd 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { C } C_ RR )
128	126, 127	unssd 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR )
129		reex 9648	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR e. _V )
131		restabs 20258	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
132	123, 128, 130, 131	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
133	122, 132	syl5eq 2517	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
134	120, 133	eleqtrd 2551	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
135		isopn3i 20175	. . . . . 6 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top /\ ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
136	35, 134, 135	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
137	27, 136	eqtr2d 2506	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
138	24, 137	eleqtrd 2551	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
139	10, 12, 16, 17, 18, 138	limcres 22920	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )
140	7, 139	eqtrd 2505	1 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994   intcnt 20109   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  fouriersw  38207