Theorem limcresiooub 31853

Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresiooub.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcresiooub.b	|- ( ph -> B e. RR* )
limcresiooub.c	|- ( ph -> C e. RR )
limcresiooub.bltc	|- ( ph -> B < C )
limcresiooub.bcss	|- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
limcresiooub.d	|- ( ph -> D e. RR* )
limcresiooub.cled	|- ( ph -> D <_ B )

Assertion

Ref	Expression
limcresiooub	|- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem limcresiooub

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresiooub.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
2		limcresiooub.cled	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ B )
3		iooss1 11507	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR* /\ D <_ B ) -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
5	4	resabs1d 5232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( F |` ( B (,) C ) ) )
6	5	eqcomd 2404	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) C ) ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) )
7	6	oveq1d 6233	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) )
8		limcresiooub.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
9		fresin 5679	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
10	8, 9	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
11		limcresiooub.bcss	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
12	11, 4	ssind 3653	. . 3 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A i^i ( D (,) C ) ) )
13		inss2 3650	. . . . 5 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ ( D (,) C )
14		ioosscn 31732	. . . . 5 |- ( D (,) C ) C_ CC
15	13, 14	sstri 3443	. . . 4 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC )
17		eqid 2396	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2396	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
19		limcresiooub.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
20		limcresiooub.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
21	20	rexrd 9576	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR* )
22		limcresiooub.bltc	. . . . 5 |- ( ph -> B < C )
23		ubioc1 11521	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> C e. ( B (,] C ) )
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( B (,] C ) )
25		snunioo2 31749	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
26	19, 21, 22, 25	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
27	26	fveq2d 5795	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) )
28	17	cnfldtop 21399	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
29		ovex 6246	. . . . . . . . . 10 |- ( D (,) C ) e. _V
30	29	inex2 4524	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) e. _V
31		snex 4620	. . . . . . . . 9 |- { C } e. _V
32	30, 31	unex 6519	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V
33		resttop 19770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
34	28, 32, 33	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
36		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> +oo e. RR* )
38		xrleid 11299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
39	19, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B <_ B )
40	20	ltpnfd 31686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C < +oo )
41		iocssioo 11557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( B <_ B /\ C < +oo ) ) -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
42	19, 37, 39, 40, 41	syl22anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
43		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x = C )
44		snidg 3987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. RR -> C e. { C } )
45		elun2 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. { C } -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
46	20, 44, 45	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
47	46	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
48	43, 47	eqeltrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
49	48	adantlr 712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
50		simpll 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> ph )
51	19	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B e. RR* )
52	51	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
53	21	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> C e. RR* )
54	53	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
55		iocssre 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B (,] C ) C_ RR )
56	19, 20, 55	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ RR )
57	56	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. RR )
58	57	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
59		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
60		iocgtlb 31740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
61	51, 53, 59, 60	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
62	61	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
63	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR )
64		iocleub 31741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
65	51, 53, 59, 64	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
66	65	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x <_ C )
67		neqne 31641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x = C -> x =/= C )
68	67	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x =/= C )
69	68	necomd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C =/= x )
70	58, 63, 66, 69	leneltd 31699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
71	52, 54, 58, 62, 70	eliood 31736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
72	12	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
73		elun1 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
75	50, 71, 74	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
76	49, 75	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
77	76	ralrimiva 2810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
78		dfss3 3424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) <-> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
79	77, 78	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
80	42, 79	ssind 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
81	80	sseld 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) -> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
82	24	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( B (,] C ) )
83	43, 82	eqeltrd 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
84	83	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
85		ioossioc 31729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) C ) C_ ( B (,] C )
86	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
87	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
88		elinel1 31631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
89		elioore 11502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( B (,) +oo ) -> x e. RR )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. RR )
91	90	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
92	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> +oo e. RR* )
93	88	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
94		ioogtlb 31733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( B (,) +oo ) ) -> B < x )
95	86, 92, 93, 94	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
96	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> D e. RR* )
97		elinel2 31630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
98		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. x = C -> -. x = C )
99		elsn 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { C } <-> x = C )
100	98, 99	sylnibr 303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x = C -> -. x e. { C } )
101		elunnel2 31622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) /\ -. x e. { C } ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
102	97, 100, 101	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
103	13, 102	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
104	103	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
105		iooltub 31753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( D (,) C ) ) -> x < C )
106	96, 87, 104, 105	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
107	86, 87, 91, 95, 106	eliood 31736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
108	85, 107	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
109	84, 108	pm2.61dan 789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
110	109	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,] C ) ) )
111	81, 110	impbid 191	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) <-> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
112	111	eqrdv 2393	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
113		retop 21376	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
115	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V )
116		iooretop 21381	. . . . . . . . . 10 |- ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
118		elrestr 14859	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V /\ ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
120	112, 119	eqeltrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
121	17	tgioo2 21416	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	121	oveq1i 6228	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
123	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
124		ioossre 11529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D (,) C ) C_ RR
125	13, 124	sstri 3443	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR )
127	20	snssd 4106	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { C } C_ RR )
128	126, 127	unssd 3611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR )
129		reex 9516	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR e. _V )
131		restabs 19775	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
132	123, 128, 130, 131	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
133	122, 132	syl5eq 2449	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
134	120, 133	eleqtrd 2486	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
135		isopn3i 19692	. . . . . 6 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top /\ ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
136	35, 134, 135	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
137	27, 136	eqtr2d 2438	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
138	24, 137	eleqtrd 2486	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
139	10, 12, 16, 17, 18, 138	limcres 22398	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )
140	7, 139	eqtrd 2437	1 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1836   =/= wne 2591   A.wral 2746   _Vcvv 3051   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   {csn 3961   class class class wbr 4384   ran crn 4931   |` cres 4932   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   +oocpnf 9558   RR*cxr 9560   < clt 9561   <_ cle 9562   (,)cioo 11472   (,]cioc 11473   ↾_t crest 14851   TopOpenctopn 14852   topGenctg 14868  ℂ_fldccnfld 18556   Topctop 19502   intcnt 19626   lim CC climc 22374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-icc 11479  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-ntr 19629  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932  df-limc 22378

This theorem is referenced by:  fouriersw  32219