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Theorem limcresiooub 37820
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresiooub.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
limcresiooub.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
limcresiooub.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresiooub.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresiooub.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresiooub.cled  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
Assertion
Ref Expression
limcresiooub  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresiooub.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
3 iooss1 11696 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  D  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( D (,) C ) )
41, 2, 3syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( D (,) C ) )
54resabs1d 5140 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C ) )
8 limcresiooub.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5764 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
11 limcresiooub.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( D (,) C
) ) )
13 inss2 3644 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  ( D (,) C )
14 ioosscn 37687 . . . . 5  |-  ( D (,) C )  C_  CC
1513, 14sstri 3427 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2471 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2471 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
19 limcresiooub.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
20 limcresiooub.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2120rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresiooub.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 ubioc1 11713 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B (,] C ) )
25 snunioo2 37702 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2619, 21, 22, 25syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2726fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) ) )
2817cnfldtop 21882 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( D (,) C )  e. 
_V
3029inex2 4538 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  e. 
_V
31 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { C }  e.  _V
3230, 31unex 6608 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V
33 resttop 20253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top )
36 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
38 xrleid 11472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
3919, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
4020ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  < +oo )
41 iocssioo 11749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( B  <_  B  /\  C  < +oo ) )  -> 
( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
4219, 37, 39, 40, 41syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
43 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  =  C )
44 snidg 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  { C } )
45 elun2 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  { C }  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4620, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4843, 47eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4948adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
50 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  ph )
5119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  e.  RR* )
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  e.  RR* )
5321adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  C  e.  RR* )
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR* )
55 iocssre 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B (,] C )  C_  RR )
5619, 20, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  RR )
5756sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  RR )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  RR )
59 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
60 iocgtlb 37695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  B  <  x )
6151, 53, 59, 60syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  <  x )
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  <  x )
6320ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR )
64 iocleub 37696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  x  <_  C )
6551, 53, 59, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  <_  C )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <_  C )
67 neqne 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  =  C  ->  x  =/=  C )
6867adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  =/=  C )
6968necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  =/=  x )
7058, 63, 66, 69leneltd 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <  C )
7152, 54, 58, 62, 70eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
7212sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
73 elun1 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7550, 71, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
7649, 75pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7776ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
78 dfss3 3408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B (,] C ) 
C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } )  <->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
7977, 78sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
8042, 79ssind 3647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
8180sseld 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  ->  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) )
8224adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
8343, 82eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C
) )
8483adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
85 ioossioc 37684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B (,) C )  C_  ( B (,] C )
8619ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  e.  RR* )
8721ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  C  e.  RR* )
88 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( B (,) +oo ) )
89 elioore 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( B (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  RR )
9190ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  RR )
9236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  -> +oo  e.  RR* )
9388ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
)
94 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) +oo ) )  ->  B  <  x )
9586, 92, 93, 94syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  <  x )
961ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  D  e.  RR* )
97 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  =  C
)
99 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { C }  <->  x  =  C )
10098, 99sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  e.  { C } )
101 elunnel2 37423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  /\  -.  x  e.  { C } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10297, 100, 101syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10313, 102sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
104103adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
105 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( D (,) C
) )  ->  x  <  C )
10696, 87, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  <  C )
10786, 87, 91, 95, 106eliood 37691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10885, 107sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
10984, 108pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
110109ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) ) )
11181, 110impbid 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  <-> 
x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) )
112111eqrdv 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
113 retop 21860 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
114113a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
11532a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )
116 iooretop 21864 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
118 elrestr 15405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V  /\  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
120112, 119eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
12117tgioo2 21899 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
122121oveq1i 6318 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
12328a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
124 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D (,) C )  C_  RR
12513, 124sstri 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  RR )
12720snssd 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { C }  C_  RR )
128126, 127unssd 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR )
129 reex 9648 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
131 restabs 20258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
132123, 128, 130, 131syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
133122, 132syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
134120, 133eleqtrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
135 isopn3i 20175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top  /\  ( B (,] C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13635, 134, 135syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13727, 136eqtr2d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13824, 137eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13910, 12, 16, 17, 18, 138limcres 22920 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C ) ) lim CC  C ) )
1407, 139eqtrd 2505 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   (,]cioc 11661   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994   intcnt 20109   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
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