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Theorem limcresiooub 37733
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresiooub.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
limcresiooub.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
limcresiooub.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresiooub.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresiooub.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresiooub.cled  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
Assertion
Ref Expression
limcresiooub  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresiooub.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
3 iooss1 11678 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  D  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( D (,) C ) )
41, 2, 3syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( D (,) C ) )
54resabs1d 5137 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C ) )
8 limcresiooub.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5757 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
11 limcresiooub.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( D (,) C
) ) )
13 inss2 3655 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  ( D (,) C )
14 ioosscn 37601 . . . . 5  |-  ( D (,) C )  C_  CC
1513, 14sstri 3443 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2453 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2453 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
19 limcresiooub.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
20 limcresiooub.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2120rexrd 9695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresiooub.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 ubioc1 11695 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B (,] C ) )
25 snunioo2 37616 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2619, 21, 22, 25syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2726fveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) ) )
2817cnfldtop 21816 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( D (,) C )  e. 
_V
3029inex2 4548 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  e. 
_V
31 snex 4644 . . . . . . . . 9  |-  { C }  e.  _V
3230, 31unex 6594 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V
33 resttop 20188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 679 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top )
36 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
38 xrleid 11456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
3919, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
4020ltpnfd 11430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  < +oo )
41 iocssioo 11731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( B  <_  B  /\  C  < +oo ) )  -> 
( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
4219, 37, 39, 40, 41syl22anc 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
43 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  =  C )
44 snidg 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  { C } )
45 elun2 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  { C }  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4620, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4746adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4843, 47eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4948adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
50 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  ph )
5119adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  e.  RR* )
5251adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  e.  RR* )
5321adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  C  e.  RR* )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR* )
55 iocssre 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B (,] C )  C_  RR )
5619, 20, 55syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  RR )
5756sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  RR )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  RR )
59 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
60 iocgtlb 37609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  B  <  x )
6151, 53, 59, 60syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  <  x )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  <  x )
6320ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR )
64 iocleub 37610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  x  <_  C )
6551, 53, 59, 64syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  <_  C )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <_  C )
67 neqne 37384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  =  C  ->  x  =/=  C )
6867adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  =/=  C )
6968necomd 2681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  =/=  x )
7058, 63, 66, 69leneltd 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <  C )
7152, 54, 58, 62, 70eliood 37605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
7212sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
73 elun1 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7550, 71, 74syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
7649, 75pm2.61dan 801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7776ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
78 dfss3 3424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B (,] C ) 
C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } )  <->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
7977, 78sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
8042, 79ssind 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
8180sseld 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  ->  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) )
8224adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
8343, 82eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C
) )
8483adantlr 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
85 ioossioc 37598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B (,) C )  C_  ( B (,] C )
8619ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  e.  RR* )
8721ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  C  e.  RR* )
88 elinel1 3621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( B (,) +oo ) )
89 elioore 11673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( B (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  RR )
9190ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  RR )
9236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  -> +oo  e.  RR* )
9388ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
)
94 ioogtlb 37602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) +oo ) )  ->  B  <  x )
9586, 92, 93, 94syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  <  x )
961ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  D  e.  RR* )
97 elinel2 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  =  C
)
99 elsn 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { C }  <->  x  =  C )
10098, 99sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  e.  { C } )
101 elunnel2 37370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  /\  -.  x  e.  { C } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10297, 100, 101syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10313, 102sseldi 3432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
104103adantll 721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
105 iooltub 37620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( D (,) C
) )  ->  x  <  C )
10696, 87, 104, 105syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  <  C )
10786, 87, 91, 95, 106eliood 37605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10885, 107sseldi 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
10984, 108pm2.61dan 801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
110109ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) ) )
11181, 110impbid 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  <-> 
x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) )
112111eqrdv 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
113 retop 21794 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
114113a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
11532a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )
116 iooretop 21798 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
118 elrestr 15339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V  /\  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
120112, 119eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
12117tgioo2 21833 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
122121oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
12328a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
124 ioossre 11703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D (,) C )  C_  RR
12513, 124sstri 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  RR )
12720snssd 4120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { C }  C_  RR )
128126, 127unssd 3612 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR )
129 reex 9635 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
131 restabs 20193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
132123, 128, 130, 131syl3anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
133122, 132syl5eq 2499 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
134120, 133eleqtrd 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
135 isopn3i 20110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top  /\  ( B (,] C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13635, 134, 135syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13727, 136eqtr2d 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13824, 137eleqtrd 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13910, 12, 16, 17, 18, 138limcres 22853 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C ) ) lim CC  C ) )
1407, 139eqtrd 2487 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   (,)cioo 11642   (,]cioc 11643   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332   topGenctg 15348  ℂfldccnfld 18982   Topctop 19929   intcnt 20044   lim CC climc 22829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-ntr 20047  df-cnp 20256  df-xms 21347  df-ms 21348  df-limc 22833
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