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Theorem limcresiooub 31853
Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresiooub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresiooub.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
limcresiooub.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
limcresiooub.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresiooub.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresiooub.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresiooub.cled  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
Assertion
Ref Expression
limcresiooub  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )

Proof of Theorem limcresiooub
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresiooub.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresiooub.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  <_  B )
3 iooss1 11507 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  D  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( D (,) C ) )
41, 2, 3syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( D (,) C ) )
54resabs1d 5232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6233 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( ( F  |`  ( D (,) C ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C ) )
8 limcresiooub.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5679 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( D (,) C ) ) : ( A  i^i  ( D (,) C ) ) --> CC )
11 limcresiooub.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( D (,) C
) ) )
13 inss2 3650 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  ( D (,) C )
14 ioosscn 31732 . . . . 5  |-  ( D (,) C )  C_  CC
1513, 14sstri 3443 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2396 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2396 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
19 limcresiooub.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
20 limcresiooub.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2120rexrd 9576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresiooub.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 ubioc1 11521 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B (,] C ) )
25 snunioo2 31749 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2619, 21, 22, 25syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { C } )  =  ( B (,] C ) )
2726fveq2d 5795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { C } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) ) )
2817cnfldtop 21399 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6246 . . . . . . . . . 10  |-  ( D (,) C )  e. 
_V
3029inex2 4524 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  e. 
_V
31 snex 4620 . . . . . . . . 9  |-  { C }  e.  _V
3230, 31unex 6519 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V
33 resttop 19770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top )
36 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
38 xrleid 11299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
3919, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  <_  B )
4020ltpnfd 31686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  < +oo )
41 iocssioo 11557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( B  <_  B  /\  C  < +oo ) )  -> 
( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
4219, 37, 39, 40, 41syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( B (,) +oo ) )
43 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  =  C )
44 snidg 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  { C } )
45 elun2 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  { C }  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4620, 44, 453syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
4746adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4843, 47eqeltrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
4948adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
50 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  ph )
5119adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  e.  RR* )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  e.  RR* )
5321adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  C  e.  RR* )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR* )
55 iocssre 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B (,] C )  C_  RR )
5619, 20, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  RR )
5756sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  RR )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  RR )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
60 iocgtlb 31740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  B  <  x )
6151, 53, 59, 60syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  B  <  x )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  B  <  x )
6320ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  e.  RR )
64 iocleub 31741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  ->  x  <_  C )
6551, 53, 59, 64syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  <_  C )
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <_  C )
67 neqne 31641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  =  C  ->  x  =/=  C )
6867adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  =/=  C )
6968necomd 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  C  =/=  x )
7058, 63, 66, 69leneltd 31699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  <  C )
7152, 54, 58, 62, 70eliood 31736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
7212sselda 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
73 elun1 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7550, 71, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B (,] C
) )  /\  -.  x  =  C )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
7649, 75pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,] C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )
7776ralrimiva 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )
78 dfss3 3424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B (,] C ) 
C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } )  <->  A. x  e.  ( B (,] C ) x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
7977, 78sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
8042, 79ssind 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  C_  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
8180sseld 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  ->  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) )
8224adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  C  e.  ( B (,] C
) )
8343, 82eqeltrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C
) )
8483adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  x  =  C )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
85 ioossioc 31729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B (,) C )  C_  ( B (,] C )
8619ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  e.  RR* )
8721ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  C  e.  RR* )
88 elinel1 31631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( B (,) +oo ) )
89 elioore 11502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( B (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  RR )
9190ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  RR )
9236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  -> +oo  e.  RR* )
9388ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) +oo )
)
94 ioogtlb 31733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) +oo ) )  ->  B  <  x )
9586, 92, 93, 94syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  B  <  x )
961ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  D  e.  RR* )
97 elinel2 31630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
98 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  =  C
)
99 elsn 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { C }  <->  x  =  C )
10098, 99sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  C  ->  -.  x  e.  { C } )
101 elunnel2 31622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  /\  -.  x  e.  { C } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10297, 100, 101syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) )
10313, 102sseldi 3432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
104103adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( D (,) C ) )
105 iooltub 31753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( D (,) C
) )  ->  x  <  C )
10696, 87, 104, 105syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  <  C )
10786, 87, 91, 95, 106eliood 31736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10885, 107sseldi 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  /\  -.  x  =  C
)  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
10984, 108pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) )
110109ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  ->  x  e.  ( B (,] C ) ) )
11181, 110impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B (,] C )  <-> 
x  e.  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) )
112111eqrdv 2393 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
113 retop 21376 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
114113a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
11532a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  e.  _V )
116 iooretop 21381 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
117116a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
118 elrestr 14859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
)  e.  _V  /\  ( B (,) +oo )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) +oo )  i^i  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
120112, 119eqeltrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )
12117tgioo2 21416 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
122121oveq1i 6228 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )
12328a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
124 ioossre 11529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D (,) C )  C_  RR
12513, 124sstri 3443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( D (,) C ) )  C_  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( D (,) C ) ) 
C_  RR )
12720snssd 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { C }  C_  RR )
128126, 127unssd 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR )
129 reex 9516 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
130129a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
131 restabs 19775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
132123, 128, 130, 131syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
133122, 132syl5eq 2449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) )
134120, 133eleqtrd 2486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) )
135 isopn3i 19692 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) )  e.  Top  /\  ( B (,] C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13635, 134, 135syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u. 
{ C } ) ) ) `  ( B (,] C ) )  =  ( B (,] C ) )
13727, 136eqtr2d 2438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,] C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13824, 137eleqtrd 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( D (,) C ) )  u.  { C } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ C } ) ) )
13910, 12, 16, 17, 18, 138limcres 22398 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( D (,) C
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C ) ) lim CC  C ) )
1407, 139eqtrd 2437 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  C )  =  ( ( F  |`  ( D (,) C
) ) lim CC  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   A.wral 2746   _Vcvv 3051    u. cun 3404    i^i cin 3405    C_ wss 3406   {csn 3961   class class class wbr 4384   ran crn 4931    |` cres 4932   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   +oocpnf 9558   RR*cxr 9560    < clt 9561    <_ cle 9562   (,)cioo 11472   (,]cioc 11473   ↾t crest 14851   TopOpenctopn 14852   topGenctg 14868  ℂfldccnfld 18556   Topctop 19502   intcnt 19626   lim CC climc 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-ioc 11477  df-icc 11479  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-ntr 19629  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932  df-limc 22378
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