Theorem limcresiooub 37733

Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresiooub.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcresiooub.b	|- ( ph -> B e. RR* )
limcresiooub.c	|- ( ph -> C e. RR )
limcresiooub.bltc	|- ( ph -> B < C )
limcresiooub.bcss	|- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
limcresiooub.d	|- ( ph -> D e. RR* )
limcresiooub.cled	|- ( ph -> D <_ B )

Assertion

Ref	Expression
limcresiooub	|- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem limcresiooub

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresiooub.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
2		limcresiooub.cled	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ B )
3		iooss1 11678	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR* /\ D <_ B ) -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
5	4	resabs1d 5137	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( F |` ( B (,) C ) ) )
6	5	eqcomd 2459	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) C ) ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) )
7	6	oveq1d 6310	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) )
8		limcresiooub.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
9		fresin 5757	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
11		limcresiooub.bcss	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
12	11, 4	ssind 3658	. . 3 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A i^i ( D (,) C ) ) )
13		inss2 3655	. . . . 5 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ ( D (,) C )
14		ioosscn 37601	. . . . 5 |- ( D (,) C ) C_ CC
15	13, 14	sstri 3443	. . . 4 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC )
17		eqid 2453	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2453	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
19		limcresiooub.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
20		limcresiooub.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
21	20	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR* )
22		limcresiooub.bltc	. . . . 5 |- ( ph -> B < C )
23		ubioc1 11695	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> C e. ( B (,] C ) )
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( B (,] C ) )
25		snunioo2 37616	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
26	19, 21, 22, 25	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
27	26	fveq2d 5874	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) )
28	17	cnfldtop 21816	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
29		ovex 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( D (,) C ) e. _V
30	29	inex2 4548	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) e. _V
31		snex 4644	. . . . . . . . 9 |- { C } e. _V
32	30, 31	unex 6594	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V
33		resttop 20188	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
34	28, 32, 33	mp2an 679	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
36		pnfxr 11419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> +oo e. RR* )
38		xrleid 11456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
39	19, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B <_ B )
40	20	ltpnfd 11430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C < +oo )
41		iocssioo 11731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( B <_ B /\ C < +oo ) ) -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
42	19, 37, 39, 40, 41	syl22anc 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
43		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x = C )
44		snidg 3996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. RR -> C e. { C } )
45		elun2 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. { C } -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
46	20, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
48	43, 47	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
49	48	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
50		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> ph )
51	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B e. RR* )
52	51	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
53	21	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> C e. RR* )
54	53	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
55		iocssre 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B (,] C ) C_ RR )
56	19, 20, 55	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ RR )
57	56	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. RR )
58	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
59		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
60		iocgtlb 37609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
61	51, 53, 59, 60	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
62	61	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
63	20	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR )
64		iocleub 37610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
65	51, 53, 59, 64	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
66	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x <_ C )
67		neqne 37384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x = C -> x =/= C )
68	67	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x =/= C )
69	68	necomd 2681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C =/= x )
70	58, 63, 66, 69	leneltd 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
71	52, 54, 58, 62, 70	eliood 37605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
72	12	sselda 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
73		elun1 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
75	50, 71, 74	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
76	49, 75	pm2.61dan 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
77	76	ralrimiva 2804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
78		dfss3 3424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) <-> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
79	77, 78	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
80	42, 79	ssind 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
81	80	sseld 3433	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) -> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
82	24	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( B (,] C ) )
83	43, 82	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
84	83	adantlr 722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
85		ioossioc 37598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) C ) C_ ( B (,] C )
86	19	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
87	21	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
88		elinel1 3621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
89		elioore 11673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( B (,) +oo ) -> x e. RR )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. RR )
91	90	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
92	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> +oo e. RR* )
93	88	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
94		ioogtlb 37602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( B (,) +oo ) ) -> B < x )
95	86, 92, 93, 94	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
96	1	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> D e. RR* )
97		elinel2 3622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
98		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. x = C -> -. x = C )
99		elsn 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { C } <-> x = C )
100	98, 99	sylnibr 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x = C -> -. x e. { C } )
101		elunnel2 37370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) /\ -. x e. { C } ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
102	97, 100, 101	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
103	13, 102	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
104	103	adantll 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
105		iooltub 37620	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( D (,) C ) ) -> x < C )
106	96, 87, 104, 105	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
107	86, 87, 91, 95, 106	eliood 37605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
108	85, 107	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
109	84, 108	pm2.61dan 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
110	109	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,] C ) ) )
111	81, 110	impbid 194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) <-> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
112	111	eqrdv 2451	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
113		retop 21794	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
115	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V )
116		iooretop 21798	. . . . . . . . . 10 |- ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
118		elrestr 15339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V /\ ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
120	112, 119	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
121	17	tgioo2 21833	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	121	oveq1i 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
123	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
124		ioossre 11703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D (,) C ) C_ RR
125	13, 124	sstri 3443	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR )
127	20	snssd 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { C } C_ RR )
128	126, 127	unssd 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR )
129		reex 9635	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
130	129	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR e. _V )
131		restabs 20193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
132	123, 128, 130, 131	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
133	122, 132	syl5eq 2499	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
134	120, 133	eleqtrd 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
135		isopn3i 20110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top /\ ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
136	35, 134, 135	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
137	27, 136	eqtr2d 2488	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
138	24, 137	eleqtrd 2533	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
139	10, 12, 16, 17, 18, 138	limcres 22853	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )
140	7, 139	eqtrd 2487	1 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   (,)cioo 11642   (,]cioc 11643   ↾_t crest 15331   TopOpenctopn 15332   topGenctg 15348  ℂ_fldccnfld 18982   Topctop 19929   intcnt 20044   lim CC climc 22829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-ntr 20047  df-cnp 20256  df-xms 21347  df-ms 21348  df-limc 22833

This theorem is referenced by:  fouriersw  38105