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Theorem limcresioolb 37761
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresioolb.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcresioolb.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
limcresioolb.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresioolb.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresioolb.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresioolb.cled  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
limcresioolb  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresioolb.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 iooss2 11700 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  ( B (,) C )  C_  ( B (,) D ) )
41, 2, 3syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B (,) D ) )
54resabs1d 5152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6329 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B ) )
8 limcresioolb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5774 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
11 limcresioolb.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( B (,) D
) ) )
13 inss2 3664 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  ( B (,) D )
14 ioosscn 37628 . . . . 5  |-  ( B (,) D )  C_  CC
1513, 14sstri 3452 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2461 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2461 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
19 limcresioolb.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019rexrd 9715 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
21 limcresioolb.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresioolb.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 lbico1 11717 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1276 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,) C ) )
25 snunioo1 37650 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2620, 21, 22, 25syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2726fveq2d 5891 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { B } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) ) )
2817cnfldtop 21852 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6342 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) D )  e. 
_V
3029inex2 4558 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  e. 
_V
31 snex 4654 . . . . . . . . 9  |-  { B }  e.  _V
3230, 31unex 6615 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V
33 resttop 20224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 683 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
36 mnfxr 11442 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  e.  RR* )
3821adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  C  e.  RR* )
39 icossre 11743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR* )  -> 
( B [,) C
)  C_  RR )
4019, 21, 39syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  C_  RR )
4140sselda 3443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  RR )
4241mnfltd 11454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  <  x
)
4320adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simpr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
45 icoltub 37644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  x  <  C )
4643, 38, 44, 45syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  <  C )
4737, 38, 41, 42, 46eliood 37632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
48 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
49 snidg 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  { B } )
50 elun2 3613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5251adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5348, 52eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5453adantlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
5643adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
5738adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  C  e.  RR* )
5841adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  RR )
5919ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR )
60 icogelb 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  B  <_  x )
6143, 38, 44, 60syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  <_  x )
6261adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <_  x )
63 neqne 2642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  B  ->  x  =/=  B )
6463adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  =/=  B )
6559, 58, 62, 64leneltd 9814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <  x )
6646adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  <  C )
6756, 57, 58, 65, 66eliood 37632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
6812sselda 3443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
69 elun1 3612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7155, 67, 70syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
7254, 71pm2.61dan 805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7347, 72elind 3629 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
7424adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
7548, 74eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C
) )
7675adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
77 ioossico 11751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,) C )
7820ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  e.  RR* )
7921ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  C  e.  RR* )
80 elinel1 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C
) )
81 elioore 11694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -oo (,) C )  ->  x  e.  RR )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  RR )
8382ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  RR )
841ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  D  e.  RR* )
85 elinel2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  =  B
)
87 elsn 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
8886, 87sylnibr 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  e.  { B } )
89 elunnel2 37399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  /\  -.  x  e.  { B } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9085, 88, 89syl2an 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9113, 90sseldi 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) D
) )
9291adantll 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) D ) )
93 ioogtlb 37629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) D
) )  ->  B  <  x )
9478, 84, 92, 93syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  <  x )
9536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> -oo  e.  RR* )
9621adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  C  e.  RR* )
9780adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
98 iooltub 37647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  x  <  C )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  <  C )
10099adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  <  C )
10178, 79, 83, 94, 100eliood 37632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10277, 101sseldi 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10376, 102pm2.61dan 805 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10473, 103impbida 848 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,) C )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) )
105104eqrdv 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
106 retop 21830 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
10832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )
109 iooretop 21834 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
110109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
111 elrestr 15375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V  /\  ( -oo (,) C )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )  ->  (
( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
112107, 108, 110, 111syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
113105, 112eqeltrd 2539 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
11417tgioo2 21869 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
115114oveq1i 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
11628a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
117 ioossre 11724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) D )  C_  RR
11813, 117sstri 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  RR )
12019snssd 4129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
121119, 120unssd 3621 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR )
122 reex 9655 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
124 restabs 20229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
125116, 121, 123, 124syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
126115, 125syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
127113, 126eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) )
128 isopn3i 20146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top  /\  ( B [,) C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
12935, 127, 128syl2anc 671 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
13027, 129eqtr2d 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13124, 130eleqtrd 2541 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13210, 12, 16, 17, 18, 131limcres 22889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D ) ) lim CC  B ) )
1337, 132eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   _Vcvv 3056    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   {csn 3979   class class class wbr 4415   ran crn 4853    |` cres 4854   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   CCcc 9562   RRcr 9563   -oocmnf 9698   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701   (,)cioo 11663   [,)cico 11665   ↾t crest 15367   TopOpenctopn 15368   topGenctg 15384  ℂfldccnfld 19018   Topctop 19965   intcnt 20080   lim CC climc 22865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-rest 15369  df-topn 15370  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-ntr 20083  df-cnp 20292  df-xms 21383  df-ms 21384  df-limc 22869
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