Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Unicode version

Theorem limcresioolb 31815
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresioolb.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcresioolb.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
limcresioolb.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresioolb.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresioolb.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresioolb.cled  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
limcresioolb  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresioolb.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 iooss2 11486 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  ( B (,) C )  C_  ( B (,) D ) )
41, 2, 3syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B (,) D ) )
54resabs1d 5215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B ) )
8 limcresioolb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5662 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
11 limcresioolb.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( B (,) D
) ) )
13 inss2 3633 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  ( B (,) D )
14 ioosscn 31693 . . . . 5  |-  ( B (,) D )  C_  CC
1513, 14sstri 3426 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2382 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2382 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
19 limcresioolb.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019rexrd 9554 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
21 limcresioolb.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresioolb.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 lbico1 11500 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,) C ) )
25 snunioo1 31718 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2620, 21, 22, 25syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2726fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { B } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) ) )
2817cnfldtop 21376 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) D )  e. 
_V
3029inex2 4507 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  e. 
_V
31 snex 4603 . . . . . . . . 9  |-  { B }  e.  _V
3230, 31unex 6497 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V
33 resttop 19747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
36 mnfxr 11244 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  e.  RR* )
3821adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  C  e.  RR* )
39 icossre 11526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR* )  -> 
( B [,) C
)  C_  RR )
4019, 21, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  C_  RR )
4140sselda 3417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  RR )
4241mnfltd 31657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  <  x
)
4320adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
45 icoltub 31711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  x  <  C )
4643, 38, 44, 45syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  <  C )
4737, 38, 41, 42, 46eliood 31697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
48 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
49 snidg 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  { B } )
50 elun2 3586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5119, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5348, 52eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5453adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
55 simpll 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
5643adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
5738adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  C  e.  RR* )
5841adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  RR )
5919ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR )
60 icogelb 31708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  B  <_  x )
6143, 38, 44, 60syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  <_  x )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <_  x )
63 neqne 31601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  B  ->  x  =/=  B )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  =/=  B )
6559, 58, 62, 64leneltd 31660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <  x )
6646adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  <  C )
6756, 57, 58, 65, 66eliood 31697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
6812sselda 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
69 elun1 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7155, 67, 70syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
7254, 71pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7347, 72elind 3602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
7424adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
7548, 74eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C
) )
7675adantlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
77 ioossico 11534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,) C )
7820ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  e.  RR* )
7921ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  C  e.  RR* )
80 elinel1 31591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C
) )
81 elioore 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -oo (,) C )  ->  x  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  RR )
8382ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  RR )
841ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  D  e.  RR* )
85 elinel2 31590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  =  B
)
87 elsn 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
8886, 87sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  e.  { B } )
89 elunnel2 31582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  /\  -.  x  e.  { B } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9085, 88, 89syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9113, 90sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) D
) )
9291adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) D ) )
93 ioogtlb 31694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) D
) )  ->  B  <  x )
9478, 84, 92, 93syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  <  x )
9536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> -oo  e.  RR* )
9621adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  C  e.  RR* )
9780adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
98 iooltub 31714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  x  <  C )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  <  C )
10099adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  <  C )
10178, 79, 83, 94, 100eliood 31697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10277, 101sseldi 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10376, 102pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10473, 103impbida 830 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,) C )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) )
105104eqrdv 2379 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
106 retop 21353 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
10832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )
109 iooretop 21358 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
110109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
111 elrestr 14836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V  /\  ( -oo (,) C )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )  ->  (
( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
112107, 108, 110, 111syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
113105, 112eqeltrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
11417tgioo2 21393 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
115114oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
11628a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
117 ioossre 11507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) D )  C_  RR
11813, 117sstri 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  RR )
12019snssd 4089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
121119, 120unssd 3594 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR )
122 reex 9494 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
124 restabs 19752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
125116, 121, 123, 124syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
126115, 125syl5eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
127113, 126eleqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) )
128 isopn3i 19669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top  /\  ( B [,) C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
12935, 127, 128syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
13027, 129eqtr2d 2424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13124, 130eleqtrd 2472 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13210, 12, 16, 17, 18, 131limcres 22375 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D ) ) lim CC  B ) )
1337, 132eqtrd 2423 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   ran crn 4914    |` cres 4915   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   -oocmnf 9537   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   (,)cioo 11450   [,)cico 11452   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   topGenctg 14845  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479   intcnt 19603   lim CC climc 22351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-ntr 19606  df-cnp 19815  df-xms 20908  df-ms 20909  df-limc 22355
This theorem is referenced by:  fouriersw  32180
  Copyright terms: Public domain W3C validator