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Theorem limcresioolb 37607
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresioolb.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcresioolb.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
limcresioolb.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresioolb.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresioolb.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresioolb.cled  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
limcresioolb  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresioolb.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 iooss2 11623 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  ( B (,) C )  C_  ( B (,) D ) )
41, 2, 3syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B (,) D ) )
54resabs1d 5096 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B ) )
8 limcresioolb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5712 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
11 limcresioolb.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( B (,) D
) ) )
13 inss2 3626 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  ( B (,) D )
14 ioosscn 37483 . . . . 5  |-  ( B (,) D )  C_  CC
1513, 14sstri 3416 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2428 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2428 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
19 limcresioolb.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019rexrd 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
21 limcresioolb.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresioolb.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 lbico1 11640 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,) C ) )
25 snunioo1 37505 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2620, 21, 22, 25syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2726fveq2d 5829 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { B } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) ) )
2817cnfldtop 21746 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) D )  e. 
_V
3029inex2 4509 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  e. 
_V
31 snex 4605 . . . . . . . . 9  |-  { B }  e.  _V
3230, 31unex 6547 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V
33 resttop 20118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
36 mnfxr 11365 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  e.  RR* )
3821adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  C  e.  RR* )
39 icossre 11666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR* )  -> 
( B [,) C
)  C_  RR )
4019, 21, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  C_  RR )
4140sselda 3407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  RR )
4241mnfltd 11377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  <  x
)
4320adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
45 icoltub 37499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  x  <  C )
4643, 38, 44, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  <  C )
4737, 38, 41, 42, 46eliood 37487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
48 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
49 snidg 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  { B } )
50 elun2 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5348, 52eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5453adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
55 simpll 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
5643adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
5738adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  C  e.  RR* )
5841adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  RR )
5919ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR )
60 icogelb 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  B  <_  x )
6143, 38, 44, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  <_  x )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <_  x )
63 neqne 37290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  B  ->  x  =/=  B )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  =/=  B )
6559, 58, 62, 64leneltd 9740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <  x )
6646adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  <  C )
6756, 57, 58, 65, 66eliood 37487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
6812sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
69 elun1 3576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7155, 67, 70syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
7254, 71pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7347, 72elind 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
7424adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
7548, 74eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C
) )
7675adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
77 ioossico 11674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,) C )
7820ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  e.  RR* )
7921ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  C  e.  RR* )
80 elinel1 3594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C
) )
81 elioore 11617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -oo (,) C )  ->  x  e.  RR )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  RR )
8382ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  RR )
841ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  D  e.  RR* )
85 elinel2 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  =  B
)
87 elsn 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
8886, 87sylnibr 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  e.  { B } )
89 elunnel2 37276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  /\  -.  x  e.  { B } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9085, 88, 89syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9113, 90sseldi 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) D
) )
9291adantll 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) D ) )
93 ioogtlb 37484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) D
) )  ->  B  <  x )
9478, 84, 92, 93syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  <  x )
9536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> -oo  e.  RR* )
9621adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  C  e.  RR* )
9780adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
98 iooltub 37502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  x  <  C )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  <  C )
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  <  C )
10178, 79, 83, 94, 100eliood 37487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10277, 101sseldi 3405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10376, 102pm2.61dan 798 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10473, 103impbida 840 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,) C )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) )
105104eqrdv 2426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
106 retop 21724 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
10832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )
109 iooretop 21728 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
110109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
111 elrestr 15270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V  /\  ( -oo (,) C )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )  ->  (
( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
112107, 108, 110, 111syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
113105, 112eqeltrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
11417tgioo2 21763 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
115114oveq1i 6259 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
11628a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
117 ioossre 11647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) D )  C_  RR
11813, 117sstri 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  RR )
12019snssd 4088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
121119, 120unssd 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR )
122 reex 9581 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
124 restabs 20123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
125116, 121, 123, 124syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
126115, 125syl5eq 2474 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
127113, 126eleqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) )
128 isopn3i 20040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top  /\  ( B [,) C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
12935, 127, 128syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
13027, 129eqtr2d 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13124, 130eleqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13210, 12, 16, 17, 18, 131limcres 22783 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D ) ) lim CC  B ) )
1337, 132eqtrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   _Vcvv 3022    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   {csn 3941   class class class wbr 4366   ran crn 4797    |` cres 4798   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   (,)cioo 11586   [,)cico 11588   ↾t crest 15262   TopOpenctopn 15263   topGenctg 15279  ℂfldccnfld 18913   Topctop 19859   intcnt 19974   lim CC climc 22759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-seq 12164  df-exp 12223  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-rest 15264  df-topn 15265  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-ntr 19977  df-cnp 20186  df-xms 21277  df-ms 21278  df-limc 22763
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