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Theorem limcresioolb 31603
Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcresioolb.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcresioolb.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
limcresioolb.bltc  |-  ( ph  ->  B  <  C )
limcresioolb.bcss  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
limcresioolb.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
limcresioolb.cled  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
limcresioolb  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
2 limcresioolb.cled . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
3 iooss2 11576 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  RR*  /\  C  <_  D )  ->  ( B (,) C )  C_  ( B (,) D ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( B (,) D ) )
54resabs1d 5293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) )  =  ( F  |`  ( B (,) C ) ) )
65eqcomd 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) C ) )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) )
76oveq1d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) D ) )  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B ) )
8 limcresioolb.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
9 fresin 5744 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) D ) ) : ( A  i^i  ( B (,) D ) ) --> CC )
11 limcresioolb.bcss . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  A )
1211, 4ssind 3707 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B (,) C
)  C_  ( A  i^i  ( B (,) D
) ) )
13 inss2 3704 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  ( B (,) D )
14 ioosscn 31481 . . . . 5  |-  ( B (,) D )  C_  CC
1513, 14sstri 3498 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  CC
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  CC )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
18 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
19 limcresioolb.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2019rexrd 9646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
21 limcresioolb.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
22 limcresioolb.bltc . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
23 lbico1 11590 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( B [,) C ) )
25 snunioo1 31506 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  < 
C )  ->  (
( B (,) C
)  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2620, 21, 22, 25syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B (,) C )  u.  { B } )  =  ( B [,) C ) )
2726fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  (
( B (,) C
)  u.  { B } ) )  =  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) ) )
2817cnfldtop 21269 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
29 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( B (,) D )  e. 
_V
3029inex2 4579 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  e. 
_V
31 snex 4678 . . . . . . . . 9  |-  { B }  e.  _V
3230, 31unex 6583 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V
33 resttop 19639 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  Top )
3428, 32, 33mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  e. 
Top
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top )
36 mnfxr 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  e.  RR* )
3821adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  C  e.  RR* )
39 icossre 11616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR* )  -> 
( B [,) C
)  C_  RR )
4019, 21, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  C_  RR )
4140sselda 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  RR )
4241mnfltd 31445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  -> -oo  <  x
)
4320adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
45 icoltub 31499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  x  <  C )
4643, 38, 44, 45syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  <  C )
4737, 38, 41, 42, 46eliood 31485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  =  B )
49 snidg 4040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  { B } )
50 elun2 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  { B }  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5119, 49, 503syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5348, 52eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
5453adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
55 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ph )
5643adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR* )
5738adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  C  e.  RR* )
5841adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  RR )
5919ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  e.  RR )
60 icogelb 31496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  ->  B  <_  x )
6143, 38, 44, 60syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  B  <_  x )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <_  x )
63 neqne 31388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  =  B  ->  x  =/=  B )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  =/=  B )
6559, 58, 62, 64leneltd 31448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  B  <  x )
6646adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  <  C )
6756, 57, 58, 65, 66eliood 31485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
6812sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
69 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B (,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7155, 67, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( B [,) C
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )
7254, 71pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
7347, 72elind 3673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B [,) C ) )  ->  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
7424adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  B  e.  ( B [,) C
) )
7548, 74eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C
) )
7675adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  x  =  B )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
77 ioossico 11624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) C )  C_  ( B [,) C )
7820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  e.  RR* )
7921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  C  e.  RR* )
80 elinel1 31378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C
) )
81 elioore 11570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -oo (,) C )  ->  x  e.  RR )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  RR )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  RR )
841ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  D  e.  RR* )
85 elinel2 31377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  ->  x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  =  B
)
87 elsn 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
8886, 87sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  =  B  ->  -.  x  e.  { B } )
89 elunnel2 31369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  /\  -.  x  e.  { B } )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9085, 88, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) )
9113, 90sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  ( B (,) D
) )
9291adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) D ) )
93 ioogtlb 31482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  x  e.  ( B (,) D
) )  ->  B  <  x )
9478, 84, 92, 93syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  B  <  x )
9536a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> -oo  e.  RR* )
9621adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  C  e.  RR* )
9780adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( -oo (,) C ) )
98 iooltub 31502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  x  e.  ( -oo (,) C
) )  ->  x  <  C )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  <  C )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  <  C )
10178, 79, 83, 94, 100eliood 31485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B (,) C ) )
10277, 101sseldi 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10376, 102pm2.61dan 791 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  ->  x  e.  ( B [,) C ) )
10473, 103impbida 832 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B [,) C )  <-> 
x  e.  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) )
105104eqrdv 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
106 retop 21246 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
107106a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
10832a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  e.  _V )
109 iooretop 21251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) C )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
110109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) C
)  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
111 elrestr 14808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
)  e.  _V  /\  ( -oo (,) C )  e.  ( topGen `  ran  (,) ) )  ->  (
( -oo (,) C )  i^i  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
112107, 108, 110, 111syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo (,) C )  i^i  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
113105, 112eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )
11417tgioo2 21286 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
115114oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )
11628a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
117 ioossre 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B (,) D )  C_  RR
11813, 117sstri 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  ( B (,) D ) )  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) D ) ) 
C_  RR )
12019snssd 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { B }  C_  RR )
121119, 120unssd 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR )
122 reex 9586 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
123122a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
124 restabs 19644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } )  C_  RR  /\  RR  e.  _V )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
125116, 121, 123, 124syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
126115, 125syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) )
127113, 126eleqtrd 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) )
128 isopn3i 19561 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) )  e.  Top  /\  ( B [,) C )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  (
( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B }
) ) )  -> 
( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
12935, 127, 128syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u. 
{ B } ) ) ) `  ( B [,) C ) )  =  ( B [,) C ) )
13027, 129eqtr2d 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B [,) C
)  =  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13124, 130eleqtrd 2533 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  ( (
TopOpen ` fld )t  ( ( A  i^i  ( B (,) D ) )  u.  { B } ) ) ) `
 ( ( B (,) C )  u. 
{ B } ) ) )
13210, 12, 16, 17, 18, 131limcres 22268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) D
) )  |`  ( B (,) C ) ) lim
CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D ) ) lim CC  B ) )
1337, 132eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( B (,) C ) ) lim CC  B )  =  ( ( F  |`  ( B (,) D
) ) lim CC  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   ran crn 4990    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   (,)cioo 11540   [,)cico 11542   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂfldccnfld 18399   Topctop 19372   intcnt 19496   lim CC climc 22244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-ntr 19499  df-cnp 19707  df-xms 20801  df-ms 20802  df-limc 22248
This theorem is referenced by:  fouriersw  31968
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