Theorem limcres 21364

Description: If B is an interior point of C u. { B } relative to the domain A, then a limit point of F |` C extends to a limit of F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcres.c	|- ( ph -> C C_ A )
limcres.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcres.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcres.j	|- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
limcres.i	|- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
limcres	|- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcres

Dummy variables z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 21352	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( ( F |` C ) : dom ( F |` C ) --> CC /\ dom ( F |` C ) C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> B e. CC )
3		limccl 21353	. . . . . 6 |- ( ( F |` C ) lim CC B ) C_ CC
4	3	sseli 3355	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> x e. CC )
5	2, 4	jca 532	. . . 4 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
7		limcrcl 21352	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	7	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
9		limccl 21353	. . . . . 6 |- ( F lim CC B ) C_ CC
10	9	sseli 3355	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> x e. CC )
11	8, 10	jca 532	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
13		limcres.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
15	14	cnfldtopon 20365	. . . . . . . . 9 |- K e. (TopOn ` CC )
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
17	16	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> A C_ CC )
18		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. CC )
19	18	snssd 4021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> { B } C_ CC )
20	17, 19	unssd 3535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) C_ CC )
21		resttopon 18768	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
22	15, 20, 21	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
23	13, 22	syl5eqel 2527	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
24		topontop 18534	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> J e. Top )
25	23, 24	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. Top )
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ A )
27	26	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ A )
28		unss1 3528	. . . . . . . 8 |- ( C C_ A -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
30		toponuni 18535	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
31	23, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
32	29, 31	sseqtrd 3395	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ U. J )
33		limcres.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
34	33	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
35		elun 3500	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
36		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> x e. CC )
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> F : A --> CC )
39	38	ffvelrnda 5846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
40		ifcl 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( F ` z ) e. CC ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
41	36, 39, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
42		elsni 3905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { B } -> z = B )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> z = B )
44		iftrue 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = B -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) = x )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) = x )
46		simplrr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> x e. CC )
47	45, 46	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
48	41, 47	jaodan 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ ( z e. A \/ z e. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
49	35, 48	sylan2b 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
50		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
51	49, 50	fmptd 5870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
52	31	feq2d 5550	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) )
53	51, 52	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC )
54		eqid 2443	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
55	15	toponunii 18540	. . . . . . 7 |- CC = U. K
56	54, 55	cnprest 18896	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( C u. { B } ) C_ U. J ) /\ ( B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
57	25, 32, 34, 53, 56	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
58	13, 14, 50, 38, 17, 18	ellimc 21351	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
59		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) )
60		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) )
61		fssres 5581	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> CC /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> CC )
62	38, 27, 61	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( F |` C ) : C --> CC )
63	27, 17	sstrd 3369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ CC )
64	59, 14, 60, 62, 63, 18	ellimc 21351	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
65		resmpt 5159	. . . . . . . . 9 |- ( ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) )
66	29, 65	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) )
67		elun 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z e. { B } ) )
68		elsn 3894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { B } <-> z = B )
69	68	orbi2i 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C \/ z e. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
70	67, 69	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
71		pm5.61 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. C /\ -. z = B ) )
72		fvres 5707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. C -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
74	71, 73	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
75	74	ifeq2da 3823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C \/ z = B ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
76	70, 75	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( C u. { B } ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
77	76	mpteq2ia 4377	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
78	66, 77	syl6reqr 2494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) )
79	13	oveq1i 6104	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t ( C u. { B } ) ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) )
80	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
81		cnex 9366	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
82	81	ssex 4439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
83	20, 82	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
84		restabs 18772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
85	80, 29, 83, 84	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
86	79, 85	syl5req 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( J ↾t ( C u. { B } ) ) )
87	86	oveq1d 6109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) = ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) )
88	87	fveq1d 5696	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
89	78, 88	eleq12d 2511	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
90	64, 89	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
91	57, 58, 90	3bitr4rd 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
92	91	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) ) )
93	6, 12, 92	pm5.21ndd 354	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
94	93	eqrdv 2441	1 |- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2975   u. cun 3329   C_ wss 3331   ifcif 3794   {csn 3880   U.cuni 4094   e. cmpt 4353   dom cdm 4843   |` cres 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   ↾_t crest 14362   TopOpenctopn 14363  ℂ_fldccnfld 17821   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   intcnt 18624   CnP ccnp 18832   lim CC climc 21340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fi 7664  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-fz 11441  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-rest 14364  df-topn 14365  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-ntr 18627  df-cnp 18835  df-xms 19898  df-ms 19899  df-limc 21344

This theorem is referenced by:  dvreslem  21387  dvaddbr  21415  dvmulbr  21416  lhop2  21490  lhop  21491