Theorem limcres 22920

Description: If B is an interior point of C u. { B } relative to the domain A, then a limit point of F |` C extends to a limit of F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcres.c	|- ( ph -> C C_ A )
limcres.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcres.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcres.j	|- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
limcres.i	|- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
limcres	|- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcres

Dummy variables z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 22908	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( ( F |` C ) : dom ( F |` C ) --> CC /\ dom ( F |` C ) C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp3d 1044	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> B e. CC )
3		limccl 22909	. . . . . 6 |- ( ( F |` C ) lim CC B ) C_ CC
4	3	sseli 3414	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> x e. CC )
5	2, 4	jca 541	. . . 4 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
7		limcrcl 22908	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	7	simp3d 1044	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
9		limccl 22909	. . . . . 6 |- ( F lim CC B ) C_ CC
10	9	sseli 3414	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> x e. CC )
11	8, 10	jca 541	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
13		limcres.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
15	14	cnfldtopon 21881	. . . . . . . . 9 |- K e. (TopOn ` CC )
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> A C_ CC )
18		simprl 772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. CC )
19	18	snssd 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> { B } C_ CC )
20	17, 19	unssd 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) C_ CC )
21		resttopon 20254	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
22	15, 20, 21	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
23	13, 22	syl5eqel 2553	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
24		topontop 20018	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> J e. Top )
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. Top )
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ A )
27	26	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ A )
28		unss1 3594	. . . . . . . 8 |- ( C C_ A -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
30		toponuni 20019	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
32	29, 31	sseqtrd 3454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ U. J )
33		limcres.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
34	33	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
35		elun 3565	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
36		simplrr 779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> x e. CC )
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
38	37	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> F : A --> CC )
39	38	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
40	36, 39	ifcld 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
41		elsni 3985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { B } -> z = B )
42	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> z = B )
43	42	iftrued 3880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) = x )
44		simplrr 779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> x e. CC )
45	43, 44	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
46	40, 45	jaodan 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ ( z e. A \/ z e. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
47	35, 46	sylan2b 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
48		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
49	47, 48	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
50	31	feq2d 5725	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) )
51	49, 50	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC )
52		eqid 2471	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
53	15	toponunii 20024	. . . . . . 7 |- CC = U. K
54	52, 53	cnprest 20382	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( C u. { B } ) C_ U. J ) /\ ( B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
55	25, 32, 34, 51, 54	syl22anc 1293	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
56	13, 14, 48, 38, 17, 18	ellimc 22907	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
57		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) )
58		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) )
59	38, 27	fssresd 5762	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( F |` C ) : C --> CC )
60	27, 17	sstrd 3428	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ CC )
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 22907	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
62	29	resmptd 5162	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) )
63		elun 3565	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z e. { B } ) )
64		elsn 3973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { B } <-> z = B )
65	64	orbi2i 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C \/ z e. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
66	63, 65	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
67		pm5.61 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. C /\ -. z = B ) )
68		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. C -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
69	68	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
70	67, 69	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
71	70	ifeq2da 3903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C \/ z = B ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
72	66, 71	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( C u. { B } ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
73	72	mpteq2ia 4478	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
74	62, 73	syl6reqr 2524	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) )
75	13	oveq1i 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t ( C u. { B } ) ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) )
76	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
77		cnex 9638	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
78	77	ssex 4540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
79	20, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
80		restabs 20258	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
81	76, 29, 79, 80	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
82	75, 81	syl5req 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( J ↾t ( C u. { B } ) ) )
83	82	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) = ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) )
84	83	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
85	74, 84	eleq12d 2543	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
86	61, 85	bitrd 261	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
87	55, 56, 86	3bitr4rd 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
88	87	ex 441	. . 3 |- ( ph -> ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) ) )
89	6, 12, 88	pm5.21ndd 361	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
90	89	eqrdv 2469	1 |- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   U.cuni 4190   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   intcnt 20109   CnP ccnp 20318   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  dvreslem  22943  dvaddbr  22971  dvmulbr  22972  lhop2  23046  lhop  23047  limciccioolb  37798  limcicciooub  37814  limcresiooub  37820  limcresioolb  37821  ioccncflimc  37860  icocncflimc  37864  dirkercncflem3  38079  fourierdlem32  38114  fourierdlem33  38115  fourierdlem48  38130  fourierdlem49  38131  fourierdlem62  38144  fouriersw  38207