Theorem limcres 22841

Description: If B is an interior point of C u. { B } relative to the domain A, then a limit point of F |` C extends to a limit of F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcres.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcres.c	|- ( ph -> C C_ A )
limcres.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcres.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcres.j	|- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
limcres.i	|- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
limcres	|- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcres

Dummy variables z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 22829	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( ( F |` C ) : dom ( F |` C ) --> CC /\ dom ( F |` C ) C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp3d 1022	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> B e. CC )
3		limccl 22830	. . . . . 6 |- ( ( F |` C ) lim CC B ) C_ CC
4	3	sseli 3428	. . . . 5 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> x e. CC )
5	2, 4	jca 535	. . . 4 |- ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
7		limcrcl 22829	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
8	7	simp3d 1022	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
9		limccl 22830	. . . . . 6 |- ( F lim CC B ) C_ CC
10	9	sseli 3428	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> x e. CC )
11	8, 10	jca 535	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) -> ( B e. CC /\ x e. CC ) ) )
13		limcres.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
14		limcres.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
15	14	cnfldtopon 21803	. . . . . . . . 9 |- K e. (TopOn ` CC )
16		limcres.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ CC )
17	16	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> A C_ CC )
18		simprl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. CC )
19	18	snssd 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> { B } C_ CC )
20	17, 19	unssd 3610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) C_ CC )
21		resttopon 20177	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
22	15, 20, 21	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
23	13, 22	syl5eqel 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
24		topontop 19941	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> J e. Top )
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> J e. Top )
26		limcres.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ A )
27	26	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ A )
28		unss1 3603	. . . . . . . 8 |- ( C C_ A -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) )
30		toponuni 19942	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
31	23, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) = U. J )
32	29, 31	sseqtrd 3468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( C u. { B } ) C_ U. J )
33		limcres.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
34	33	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) )
35		elun 3574	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A u. { B } ) <-> ( z e. A \/ z e. { B } ) )
36		simplrr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> x e. CC )
37		limcres.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> F : A --> CC )
39	38	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
40	36, 39	ifcld 3924	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. A ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
41		elsni 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. { B } -> z = B )
42	41	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> z = B )
43	42	iftrued 3889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) = x )
44		simplrr 771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> x e. CC )
45	43, 44	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. { B } ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
46	40, 45	jaodan 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ ( z e. A \/ z e. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
47	35, 46	sylan2b 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) /\ z e. ( A u. { B } ) ) -> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) e. CC )
48		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) = ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
49	47, 48	fmptd 6046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC )
50	31	feq2d 5715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : ( A u. { B } ) --> CC <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) )
51	49, 50	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC )
52		eqid 2451	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
53	15	toponunii 19947	. . . . . . 7 |- CC = U. K
54	52, 53	cnprest 20305	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( C u. { B } ) C_ U. J ) /\ ( B e. ( ( int ` J ) ` ( C u. { B } ) ) /\ ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) : U. J --> CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
55	25, 32, 34, 51, 54	syl22anc 1269	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
56	13, 14, 48, 38, 17, 18	ellimc 22828	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
57		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) )
58		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) )
59	38, 27	fssresd 5750	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( F |` C ) : C --> CC )
60	27, 17	sstrd 3442	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> C C_ CC )
61	57, 14, 58, 59, 60, 18	ellimc 22828	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
62	29	resmptd 5156	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) )
63		elun 3574	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z e. { B } ) )
64		elsn 3982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. { B } <-> z = B )
65	64	orbi2i 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C \/ z e. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
66	63, 65	bitri 253	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( C u. { B } ) <-> ( z e. C \/ z = B ) )
67		pm5.61 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) <-> ( z e. C /\ -. z = B ) )
68		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. C -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
69	68	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
70	67, 69	sylbi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. C \/ z = B ) /\ -. z = B ) -> ( ( F |` C ) ` z ) = ( F ` z ) )
71	70	ifeq2da 3912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C \/ z = B ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
72	66, 71	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( C u. { B } ) -> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) = if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
73	72	mpteq2ia 4485	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) )
74	62, 73	syl6reqr 2504	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) = ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) )
75	13	oveq1i 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t ( C u. { B } ) ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) )
76	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
77		cnex 9620	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
78	77	ssex 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A u. { B } ) C_ CC -> ( A u. { B } ) e. _V )
79	20, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( A u. { B } ) e. _V )
80		restabs 20181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( C u. { B } ) C_ ( A u. { B } ) /\ ( A u. { B } ) e. _V ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
81	76, 29, 79, 80	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) ↾t ( C u. { B } ) ) = ( K ↾t ( C u. { B } ) ) )
82	75, 81	syl5req 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( K ↾t ( C u. { B } ) ) = ( J ↾t ( C u. { B } ) ) )
83	82	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) = ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) )
84	83	fveq1d 5867	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
85	74, 84	eleq12d 2523	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( ( z e. ( C u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( ( F |` C ) ` z ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
86	61, 85	bitrd 257	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( ( z e. ( A u. { B } ) |-> if ( z = B , x , ( F ` z ) ) ) |` ( C u. { B } ) ) e. ( ( ( J ↾t ( C u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
87	55, 56, 86	3bitr4rd 290	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
88	87	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( ( B e. CC /\ x e. CC ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) ) )
89	6, 12, 88	pm5.21ndd 356	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> x e. ( F lim CC B ) ) )
90	89	eqrdv 2449	1 |- ( ph -> ( ( F |` C ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   u. cun 3402   C_ wss 3404   ifcif 3881   {csn 3968   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320  ℂ_fldccnfld 18970   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   intcnt 20032   CnP ccnp 20241   lim CC climc 22817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821

This theorem is referenced by:  dvreslem  22864  dvaddbr  22892  dvmulbr  22893  lhop2  22967  lhop  22968  limciccioolb  37701  limcicciooub  37717  limcresiooub  37723  limcresioolb  37724  ioccncflimc  37763  icocncflimc  37767  dirkercncflem3  37967  fourierdlem32  38002  fourierdlem33  38003  fourierdlem48  38018  fourierdlem49  38019  fourierdlem62  38032  fouriersw  38095