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Theorem limcres 21320
Description: If  B is an interior point of  C  u.  { B } relative to the domain  A, then a limit point of  F  |`  C extends to a limit of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcres.c  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
limcres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcres.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcres.i  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
Assertion
Ref Expression
limcres  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )

Proof of Theorem limcres
Dummy variables  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 21308 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) : dom  ( F  |`  C ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  C ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp3d 997 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  B  e.  CC )
3 limccl 21309 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  C_  CC
43sseli 3349 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  x  e.  CC )
52, 4jca 529 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B
)  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  -> 
( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
7 limcrcl 21308 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
87simp3d 997 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
9 limccl 21309 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
109sseli 3349 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  CC )
118, 10jca 529 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) ) )
13 limcres.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
14 limcres.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
1514cnfldtopon 20321 . . . . . . . . 9  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1716adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  A  C_  CC )
18 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
1918snssd 4015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  { B }  C_  CC )
2017, 19unssd 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  C_  CC )
21 resttopon 18724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2215, 20, 21sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
2313, 22syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
24 topontop 18490 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  J  e.  Top )
2523, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  J  e.  Top )
26 limcres.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
2726adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  A )
28 unss1 3522 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } ) )
30 toponuni 18491 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3123, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  =  U. J )
3229, 31sseqtrd 3389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( C  u.  { B } )  C_  U. J
)
33 limcres.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `
 ( C  u.  { B } ) ) )
3433adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  B  e.  ( ( int `  J ) `  ( C  u.  { B } ) ) )
35 elun 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
36 simplrr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  x  e.  CC )
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3837adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  F : A --> CC )
3938ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
40 ifcl 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( F `  z )  e.  CC )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4136, 39, 40syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  A )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z
) )  e.  CC )
42 elsni 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  =  B )
4342adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  z  =  B )
44 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  B  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  =  x )
46 simplrr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  x  e.  CC )
4745, 46eqeltrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4841, 47jaodan 778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
4935, 48sylan2b 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if (
z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) )  e.  CC )
50 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
5149, 50fmptd 5864 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC )
5231feq2d 5544 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> CC  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC ) )
5351, 52mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J --> CC )
54 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
5515toponunii 18496 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. K
5654, 55cnprest 18852 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( C  u.  { B } )  C_  U. J
)  /\  ( B  e.  ( ( int `  J
) `  ( C  u.  { B } ) )  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) : U. J
--> CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5725, 32, 34, 53, 56syl22anc 1214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5813, 14, 50, 38, 17, 18ellimc 21307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
59 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) )
60 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )
61 fssres 5575 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6238, 27, 61syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
6327, 17sstrd 3363 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  C  C_  CC )
6459, 14, 60, 62, 63, 18ellimc 21307 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
65 resmpt 5153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  ->  (
( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
6629, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) ) )
67 elun 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } ) )
68 elsn 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
6968orbi2i 516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
7067, 69bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  <->  ( z  e.  C  \/  z  =  B ) )
71 pm5.61 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B ) )
72 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7372adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( ( F  |`  C ) `  z )  =  ( F `  z ) )
7471, 73sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  C  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  (
( F  |`  C ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
7574ifeq2da 3817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  \/  z  =  B )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7670, 75sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  ->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) )  =  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7776mpteq2ia 4371 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `
 z ) ) )  =  ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )
7866, 77syl6reqr 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  =  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) ) )
7913oveq1i 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )
8015a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
81 cnex 9359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  e.  _V
8281ssex 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  { B } )  C_  CC  ->  ( A  u.  { B } )  e.  _V )
8320, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( A  u.  { B } )  e.  _V )
84 restabs 18728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( C  u.  { B } )  C_  ( A  u.  { B } )  /\  ( A  u.  { B } )  e.  _V )  ->  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )t  ( C  u.  { B }
) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B } ) ) )
8580, 29, 83, 84syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )t  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( C  u.  { B }
) ) )
8679, 85syl5req 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( Kt  ( C  u.  { B } ) )  =  ( Jt  ( C  u.  { B }
) ) )
8786oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( Kt  ( C  u.  { B }
) )  CnP  K
)  =  ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) )
8887fveq1d 5690 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8978, 88eleq12d 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( ( z  e.  ( C  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( ( F  |`  C ) `  z ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9064, 89bitrd 253 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  ( (
z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  x ,  ( F `  z ) ) )  |`  ( C  u.  { B } ) )  e.  ( ( ( Jt  ( C  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9157, 58, 903bitr4rd 286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9291ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
936, 12, 92pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( F  |`  C ) lim
CC  B )  <->  x  e.  ( F lim CC  B ) ) )
9493eqrdv 2439 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  =  ( F lim CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    u. cun 3323    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   dom cdm 4836    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   intcnt 18580    CnP ccnp 18788   lim CC climc 21296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-ntr 18583  df-cnp 18791  df-xms 19854  df-ms 19855  df-limc 21300
This theorem is referenced by:  dvreslem  21343  dvaddbr  21371  dvmulbr  21372  lhop2  21446  lhop  21447
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