Theorem limcrecl 37806

Description: If F is a real valued function, B is a limit point of its domain, and the limit of F at B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcrecl.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
limcrecl.2	|- ( ph -> A C_ CC )
limcrecl.3	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
limcrecl.4	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
limcrecl	|- ( ph -> L e. RR )

Proof of Theorem limcrecl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
2	1	adantr 472	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( F lim CC B ) )
3		limccl 22909	. . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ CC
4	3, 1	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. CC )
5	4	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. CC )
6		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. RR )
7	5, 6	eldifd 3401	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( CC \ RR ) )
8	7	dstregt0 37581	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
9		cnxmet 21871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
12	11	ad4antr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A C_ CC )
13	12	ssdifssd 3560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
15		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
16	15	cnfldtop 21882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
18		unicntop 37433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
19	11, 18	syl6sseq 3464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) )
20		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( TopOpen ` ℂfld ) = U. ( TopOpen ` ℂfld )
21	20	lpdifsn 20236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
22	17, 19, 21	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
23	14, 22	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
24	23	ad4antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
25		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
26	15	cnfldtopn 21880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
27	26	lpbl 21596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A \ { B } ) C_ CC /\ B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
29		eldif 3400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ -. z e. { B } ) )
30	29	anbi1i 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
31		anass 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
32	30, 31	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
33	32	rexbii2 2879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
34	28, 33	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
35		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. z e. { B } )
36		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } <-> z = B )
37	36	necon3bbii 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. { B } <-> z =/= B )
38	35, 37	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z =/= B )
39		simp-5l 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
40		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> y e. RR+ )
41		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
42		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
44	18	lpss 20235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ CC ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
45	17, 11, 44	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
46	45, 14	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. CC )
47	46	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> B e. CC )
48		rpxr 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. RR+ -> y e. RR* )
49	48	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> y e. RR* )
50		elbl 21481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
52	42, 51	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) )
53	52	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. CC )
54	53, 47	abssubd 13592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
55		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
56	55	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
57	47, 53, 56	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
58	52	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) < y )
59	57, 58	eqbrtrrd 4418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( B - z ) ) < y )
60	54, 59	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
62	38, 61	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
63	62	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
64	39	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
65		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. A )
66	64, 65	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( ph /\ z e. A ) )
67		simp-5r 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> x e. RR+ )
68		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
69		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
70	69	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x e. RR )
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> RR )
72	71	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
73	72	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
74	73	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
75	4	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> L e. CC )
76	74, 75	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( ( F ` z ) - L ) e. CC )
77	76	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) e. RR )
78	72	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
79		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ph
80		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) )
81	79, 80	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ w ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
82		rspa 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
83	82	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
84	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> L e. CC )
85		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- RR C_ CC
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> RR C_ CC )
87	86	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. CC )
88	84, 87	abssubd 13592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
89	88	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
90	83, 89	breqtrd 4420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( w - L ) ) )
91	90	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( w e. RR -> x < ( abs ` ( w - L ) ) ) )
92	81, 91	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
93	92	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
94		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` z ) -> ( w - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
95	94	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` z ) -> ( abs ` ( w - L ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
96	95	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` z ) -> ( x < ( abs ` ( w - L ) ) <-> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
97	96	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
98	78, 93, 97	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
99	98	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
100	70, 77, 99	ltnsymd 9801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
101	66, 67, 68, 100	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
102	63, 101	jcn 37431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
103	102	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
104	103	reximdva 2858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
105	34, 104	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
106		rexnal 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
107	105, 106	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
108	107	nrexdv 2842	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
109	108	ex 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
110	109	reximdva 2858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
111	8, 110	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
112		rexnal 2836	. . . . 5 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
113	111, 112	sylib 201	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
114	113	intnand 930	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
115	71, 86	fssd 5750	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
116	115, 11, 46	ellimc3 22913	. . . 4 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
117	116	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
118	114, 117	mtbird 308	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. ( F lim CC B ) )
119	2, 118	condan 811	1 |- ( ph -> L e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   RR+crp 11325   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034  ℂ_fldccnfld 19047   Topctop 19994   limPtclp 20227   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  37870  fourierdlem60  38142  fourierdlem61  38143  fourierdlem74  38156  fourierdlem75  38157  fourierdlem85  38167  fourierdlem88  38170  fourierdlem95  38177  fourierdlem103  38185  fourierdlem104  38186