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Theorem limcrecl 37806
Description: If  F is a real valued function,  B is a limit point of its domain, and the limit of  F at  B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
limcrecl.2  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcrecl.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
limcrecl.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
limcrecl  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
21adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
3 limccl 22909 . . . . . . . . . 10  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
43, 1sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
54adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
6 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  RR )
75, 6eldifd 3401 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( CC  \  RR ) )
87dstregt0 37581 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
9 cnxmet 21871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1211ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  CC )
1312ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
15 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtop 21882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
18 unicntop 37433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1911, 18syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( TopOpen
` fld
)  =  U. ( TopOpen
` fld
)
2120lpdifsn 20236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2217, 19, 21syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2314, 22mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
2423ad4antr 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
25 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
2615cnfldtopn 21880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
2726lpbl 21596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC  /\  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B } ) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
29 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } ) )
3029anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
31 anass 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3230, 31bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3332rexbii2 2879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( A 
\  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
3428, 33sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
35 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  z  e.  { B } )
36 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
3736necon3bbii 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  { B } 
<->  z  =/=  B )
3835, 37sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  =/=  B
)
39 simp-5l 786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
40 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
41 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
42 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4418lpss 20235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  CC )  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4517, 11, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4645, 14sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
47463ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  B  e.  CC )
48 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
49483ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
y  e.  RR* )
50 elbl 21481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5143, 47, 49, 50syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5242, 51mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  CC  /\  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
)
5352simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  CC )
5453, 47abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5655cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5747, 53, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5852simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
5957, 58eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  ( B  -  z )
)  <  y )
6054, 59eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6139, 40, 41, 60syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6238, 61jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6362adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6439adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
65 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  A
)
6664, 65jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( ph  /\  z  e.  A )
)
67 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
68 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
69 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
7069ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  e.  RR )
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
7271ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
7372recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
7473ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
754ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  L  e.  CC )
7674, 75subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  (
( F `  z
)  -  L )  e.  CC )
7776abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  e.  RR )
7872adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
79 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w ph
80 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)
8179, 80nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ w
( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
82 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)  /\  w  e.  RR )  ->  x  < 
( abs `  ( L  -  w )
) )
8382adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
844adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
85 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
8786sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  CC )
8884, 87abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
8988adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9083, 89breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9190ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  ( w  e.  RR  ->  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) ) )
9281, 91ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9392adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
94 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
w  -  L )  =  ( ( F `
 z )  -  L ) )
9594fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( w  -  L ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9695breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
x  <  ( abs `  ( w  -  L
) )  <->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9796rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) )  ->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9878, 93, 97sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9998adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
10070, 77, 99ltnsymd 9801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) )  <  x )
10166, 67, 68, 100syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
10263, 101jcn 37431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
103102ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( -.  z  e. 
{ B }  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
104103reximdva 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
10534, 104mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) )
106 rexnal 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)  <->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
107105, 106sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
108107nrexdv 2842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
109108ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
110109reximdva 2858 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
1118, 110mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
112 rexnal 2836 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
113111, 112sylib 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
114113intnand 930 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  ( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
11571, 86fssd 5750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
116115, 11, 46ellimc3 22913 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) ) )
117116adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( L  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) ) )
118114, 117mtbird 308 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  ( F lim CC  B ) )
1192, 118condan 811 1  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880   RR+crp 11325   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994   limPtclp 20227   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
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