Theorem limcrecl 37529

Description: If F is a real valued function, B is a limit point of its domain, and the limit of F at B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcrecl.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
limcrecl.2	|- ( ph -> A C_ CC )
limcrecl.3	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
limcrecl.4	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
limcrecl	|- ( ph -> L e. RR )

Proof of Theorem limcrecl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
2	1	adantr 466	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( F lim CC B ) )
3		limccl 22817	. . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ CC
4	3, 1	sseldi 3462	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. CC )
5	4	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. CC )
6		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. RR )
7	5, 6	eldifd 3447	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( CC \ RR ) )
8	7	dstregt0 37333	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
9		cnxmet 21780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
12	11	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A C_ CC )
13	12	ssdifssd 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
15		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
16	15	cnfldtop 21791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
18		unicntop 37232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
19	11, 18	syl6sseq 3510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) )
20		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( TopOpen ` ℂfld ) = U. ( TopOpen ` ℂfld )
21	20	lpdifsn 20146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
22	17, 19, 21	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
23	14, 22	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
24	23	ad4antr 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
25		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
26	15	cnfldtopn 21789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
27	26	lpbl 21505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A \ { B } ) C_ CC /\ B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
29		eldif 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ -. z e. { B } ) )
30	29	anbi1i 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
31		anass 653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
32	30, 31	bitri 252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
33	32	rexbii2 2925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
34	28, 33	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
35		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. z e. { B } )
36		elsn 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } <-> z = B )
37	36	necon3bbii 2685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. { B } <-> z =/= B )
38	35, 37	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z =/= B )
39		simp-5l 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
40		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> y e. RR+ )
41		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
42		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
44	18	lpss 20145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ CC ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
45	17, 11, 44	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
46	45, 14	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. CC )
47	46	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> B e. CC )
48		rpxr 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. RR+ -> y e. RR* )
49	48	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> y e. RR* )
50		elbl 21390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
52	42, 51	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) )
53	52	simpld 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. CC )
54	53, 47	abssubd 13503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
55		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
56	55	cnmetdval 21778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
57	47, 53, 56	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
58	52	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) < y )
59	57, 58	eqbrtrrd 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( B - z ) ) < y )
60	54, 59	eqbrtrd 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
62	38, 61	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
63	62	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
64	39	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
65		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. A )
66	64, 65	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( ph /\ z e. A ) )
67		simp-5r 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> x e. RR+ )
68		simp-4r 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
69		rpre 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
70	69	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x e. RR )
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> RR )
72	71	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
73	72	recnd 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
74	73	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
75	4	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> L e. CC )
76	74, 75	subcld 9987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( ( F ` z ) - L ) e. CC )
77	76	abscld 13486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) e. RR )
78	72	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
79		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ph
80		nfra1 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) )
81	79, 80	nfan 1984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ w ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
82		rspa 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
83	82	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
84	4	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> L e. CC )
85		ax-resscn 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- RR C_ CC
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> RR C_ CC )
87	86	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. CC )
88	84, 87	abssubd 13503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
89	88	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
90	83, 89	breqtrd 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( w - L ) ) )
91	90	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( w e. RR -> x < ( abs ` ( w - L ) ) ) )
92	81, 91	ralrimi 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
93	92	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
94		oveq1 6309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` z ) -> ( w - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
95	94	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` z ) -> ( abs ` ( w - L ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
96	95	breq2d 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` z ) -> ( x < ( abs ` ( w - L ) ) <-> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
97	96	rspcv 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
98	78, 93, 97	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
99	98	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
100	70, 77, 99	ltnsymd 9785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
101	66, 67, 68, 100	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
102	63, 101	jcn 37229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
103	102	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
104	103	reximdva 2900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
105	34, 104	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
106		rexnal 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
107	105, 106	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
108	107	nrexdv 2881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
109	108	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
110	109	reximdva 2900	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
111	8, 110	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
112		rexnal 2873	. . . . 5 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
113	111, 112	sylib 199	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
114	113	intnand 924	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
115	71, 86	fssd 5752	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
116	115, 11, 46	ellimc3 22821	. . . 4 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
117	116	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
118	114, 117	mtbird 302	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. ( F lim CC B ) )
119	2, 118	condan 801	1 |- ( ph -> L e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   \ cdif 3433   C_ wss 3436   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   RR*cxr 9675   < clt 9676   - cmin 9861   RR+crp 11303   abscabs 13286   TopOpenctopn 15308   *Metcxmt 18943   ballcbl 18945  ℂ_fldccnfld 18958   Topctop 19904   limPtclp 20137   lim CC climc 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-rest 15309  df-topn 15310  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-cnp 20231  df-xms 21322  df-ms 21323  df-limc 22808

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  37593  fourierdlem60  37850  fourierdlem61  37851  fourierdlem74  37864  fourierdlem75  37865  fourierdlem85  37875  fourierdlem88  37878  fourierdlem95  37885  fourierdlem103  37893  fourierdlem104  37894