Theorem limcrecl 37709

Description: If F is a real valued function, B is a limit point of its domain, and the limit of F at B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcrecl.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
limcrecl.2	|- ( ph -> A C_ CC )
limcrecl.3	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
limcrecl.4	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
limcrecl	|- ( ph -> L e. RR )

Proof of Theorem limcrecl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
2	1	adantr 467	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( F lim CC B ) )
3		limccl 22830	. . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ CC
4	3, 1	sseldi 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. CC )
5	4	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. CC )
6		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. RR )
7	5, 6	eldifd 3415	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( CC \ RR ) )
8	7	dstregt0 37491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
9		cnxmet 21793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
12	11	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A C_ CC )
13	12	ssdifssd 3571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
15		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
16	15	cnfldtop 21804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
18		unicntop 37371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
19	11, 18	syl6sseq 3478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) )
20		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( TopOpen ` ℂfld ) = U. ( TopOpen ` ℂfld )
21	20	lpdifsn 20159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
22	17, 19, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
23	14, 22	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
24	23	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
25		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
26	15	cnfldtopn 21802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
27	26	lpbl 21518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A \ { B } ) C_ CC /\ B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
29		eldif 3414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ -. z e. { B } ) )
30	29	anbi1i 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
31		anass 655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
32	30, 31	bitri 253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
33	32	rexbii2 2887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
34	28, 33	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
35		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. z e. { B } )
36		elsn 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } <-> z = B )
37	36	necon3bbii 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. { B } <-> z =/= B )
38	35, 37	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z =/= B )
39		simp-5l 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
40		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> y e. RR+ )
41		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
42		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
44	18	lpss 20158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ CC ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
45	17, 11, 44	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
46	45, 14	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. CC )
47	46	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> B e. CC )
48		rpxr 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. RR+ -> y e. RR* )
49	48	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> y e. RR* )
50		elbl 21403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
52	42, 51	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) )
53	52	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. CC )
54	53, 47	abssubd 13515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
55		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
56	55	cnmetdval 21791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
57	47, 53, 56	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
58	52	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) < y )
59	57, 58	eqbrtrrd 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( B - z ) ) < y )
60	54, 59	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
62	38, 61	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
63	62	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
64	39	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
65		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. A )
66	64, 65	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( ph /\ z e. A ) )
67		simp-5r 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> x e. RR+ )
68		simp-4r 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
69		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
70	69	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x e. RR )
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> RR )
72	71	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
73	72	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
74	73	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
75	4	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> L e. CC )
76	74, 75	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( ( F ` z ) - L ) e. CC )
77	76	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) e. RR )
78	72	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
79		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ph
80		nfra1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) )
81	79, 80	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ w ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
82		rspa 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
83	82	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
84	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> L e. CC )
85		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- RR C_ CC
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> RR C_ CC )
87	86	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. CC )
88	84, 87	abssubd 13515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
89	88	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
90	83, 89	breqtrd 4427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( w - L ) ) )
91	90	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( w e. RR -> x < ( abs ` ( w - L ) ) ) )
92	81, 91	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
93	92	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
94		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` z ) -> ( w - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
95	94	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` z ) -> ( abs ` ( w - L ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
96	95	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` z ) -> ( x < ( abs ` ( w - L ) ) <-> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
97	96	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
98	78, 93, 97	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
99	98	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
100	70, 77, 99	ltnsymd 9784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
101	66, 67, 68, 100	syl21anc 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
102	63, 101	jcn 37368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
103	102	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
104	103	reximdva 2862	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
105	34, 104	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
106		rexnal 2836	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
107	105, 106	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
108	107	nrexdv 2843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
109	108	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
110	109	reximdva 2862	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
111	8, 110	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
112		rexnal 2836	. . . . 5 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
113	111, 112	sylib 200	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
114	113	intnand 927	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
115	71, 86	fssd 5738	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
116	115, 11, 46	ellimc3 22834	. . . 4 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
117	116	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
118	114, 117	mtbird 303	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. ( F lim CC B ) )
119	2, 118	condan 803	1 |- ( ph -> L e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   RR*cxr 9674   < clt 9675   - cmin 9860   RR+crp 11302   abscabs 13297   TopOpenctopn 15320   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957  ℂ_fldccnfld 18970   Topctop 19917   limPtclp 20150   lim CC climc 22817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  37773  fourierdlem60  38030  fourierdlem61  38031  fourierdlem74  38044  fourierdlem75  38045  fourierdlem85  38055  fourierdlem88  38058  fourierdlem95  38065  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074