Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcrecl Structured version   Unicode version

Theorem limcrecl 37529
Description: If  F is a real valued function,  B is a limit point of its domain, and the limit of  F at  B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
limcrecl.2  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcrecl.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
limcrecl.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
limcrecl  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
21adantr 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
3 limccl 22817 . . . . . . . . . 10  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
43, 1sseldi 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
54adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
6 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  RR )
75, 6eldifd 3447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( CC  \  RR ) )
87dstregt0 37333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
9 cnxmet 21780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1211ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  CC )
1312ssdifssd 3603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
15 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtop 21791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
18 unicntop 37232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1911, 18syl6sseq 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )
20 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( TopOpen
` fld
)  =  U. ( TopOpen
` fld
)
2120lpdifsn 20146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2217, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2314, 22mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
2423ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
25 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
2615cnfldtopn 21789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
2726lpbl 21505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC  /\  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B } ) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
29 eldif 3446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } ) )
3029anbi1i 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
31 anass 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3230, 31bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3332rexbii2 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( A 
\  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
3428, 33sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
35 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  z  e.  { B } )
36 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
3736necon3bbii 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  { B } 
<->  z  =/=  B )
3835, 37sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  =/=  B
)
39 simp-5l 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
40 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
41 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
42 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4418lpss 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  CC )  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4517, 11, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4645, 14sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
47463ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  B  e.  CC )
48 rpxr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
49483ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
y  e.  RR* )
50 elbl 21390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5143, 47, 49, 50syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5242, 51mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  CC  /\  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
)
5352simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  CC )
5453, 47abssubd 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
55 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5655cnmetdval 21778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5747, 53, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5852simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
5957, 58eqbrtrrd 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  ( B  -  z )
)  <  y )
6054, 59eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6139, 40, 41, 60syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6238, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6362adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6439adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
65 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  A
)
6664, 65jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( ph  /\  z  e.  A )
)
67 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
68 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
69 rpre 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
7069ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  e.  RR )
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
7271ffvelrnda 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
7372recnd 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
7473ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
754ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  L  e.  CC )
7674, 75subcld 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  (
( F `  z
)  -  L )  e.  CC )
7776abscld 13486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  e.  RR )
7872adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
79 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w ph
80 nfra1 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)
8179, 80nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ w
( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
82 rspa 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)  /\  w  e.  RR )  ->  x  < 
( abs `  ( L  -  w )
) )
8382adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
844adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
85 ax-resscn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
8786sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  CC )
8884, 87abssubd 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
8988adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9083, 89breqtrd 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9190ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  ( w  e.  RR  ->  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) ) )
9281, 91ralrimi 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9392adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
94 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
w  -  L )  =  ( ( F `
 z )  -  L ) )
9594fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( w  -  L ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9695breq2d 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
x  <  ( abs `  ( w  -  L
) )  <->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9796rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) )  ->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9878, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9998adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
10070, 77, 99ltnsymd 9785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) )  <  x )
10166, 67, 68, 100syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
10263, 101jcn 37229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
103102ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( -.  z  e. 
{ B }  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
104103reximdva 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
10534, 104mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) )
106 rexnal 2873 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)  <->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
107105, 106sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
108107nrexdv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
109108ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
110109reximdva 2900 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
1118, 110mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
112 rexnal 2873 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
113111, 112sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
114113intnand 924 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  ( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
11571, 86fssd 5752 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
116115, 11, 46ellimc3 22821 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) ) )
117116adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( L  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) ) )
118114, 117mtbird 302 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  ( F lim CC  B ) )
1192, 118condan 801 1  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3996   U.cuni 4216   class class class wbr 4420    o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   RR*cxr 9675    < clt 9676    - cmin 9861   RR+crp 11303   abscabs 13286   TopOpenctopn 15308   *Metcxmt 18943   ballcbl 18945  ℂfldccnfld 18958   Topctop 19904   limPtclp 20137   lim CC climc 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-rest 15309  df-topn 15310  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-lp 20139  df-cnp 20231  df-xms 21322  df-ms 21323  df-limc 22808
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  37593  fourierdlem60  37850  fourierdlem61  37851  fourierdlem74  37864  fourierdlem75  37865  fourierdlem85  37875  fourierdlem88  37878  fourierdlem95  37885  fourierdlem103  37893  fourierdlem104  37894
  Copyright terms: Public domain W3C validator