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Theorem limcrecl 37709
Description: If  F is a real valued function,  B is a limit point of its domain, and the limit of  F at  B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
limcrecl.2  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcrecl.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
limcrecl.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
limcrecl  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
21adantr 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
3 limccl 22830 . . . . . . . . . 10  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
43, 1sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
54adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
6 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  RR )
75, 6eldifd 3415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  L  e.  ( CC  \  RR ) )
87dstregt0 37491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
9 cnxmet 21793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1211ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  A  C_  CC )
1312ssdifssd 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
) )
15 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtop 21804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
18 unicntop 37371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1911, 18syl6sseq 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )
20 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( TopOpen
` fld
)  =  U. ( TopOpen
` fld
)
2120lpdifsn 20159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  U. ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2217, 19, 21syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  A
)  <->  B  e.  (
( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2314, 22mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
2423ad4antr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )
25 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
2615cnfldtopn 21802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
2726lpbl 21518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC  /\  B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A  \  { B }
) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  ( A  \  { B } ) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
29 eldif 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } ) )
3029anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
31 anass 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  -.  z  e.  { B } )  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3230, 31bitri 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { B }
)  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) ) )
3332rexbii2 2887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( A 
\  { B }
) z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
3428, 33sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )
35 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  z  e.  { B } )
36 elsn 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
3736necon3bbii 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  { B } 
<->  z  =/=  B )
3835, 37sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  =/=  B
)
39 simp-5l 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
40 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  y  e.  RR+ )
41 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
42 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
4418lpss 20158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  A  C_  CC )  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4517, 11, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  A
)  C_  CC )
4645, 14sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
47463ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  B  e.  CC )
48 rpxr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
49483ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
y  e.  RR* )
50 elbl 21403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  B  e.  CC  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5143, 47, 49, 50syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y )  <->  ( z  e.  CC  /\  ( B ( abs  o.  -  ) z )  < 
y ) ) )
5242, 51mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( z  e.  CC  /\  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
)
5352simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
z  e.  CC )
5453, 47abssubd 13515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
55 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
5655cnmetdval 21791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5747, 53, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( B  -  z
) ) )
5852simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( B ( abs 
o.  -  ) z
)  <  y )
5957, 58eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  ( B  -  z )
)  <  y )
6054, 59eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ 
/\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  -> 
( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6139, 40, 41, 60syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )
6238, 61jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6362adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
6439adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ph )
65 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  z  e.  A
)
6664, 65jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  ( ph  /\  z  e.  A )
)
67 simp-5r 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
68 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
69 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
7069ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  e.  RR )
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
7271ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
7372recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
7473ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
754ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  L  e.  CC )
7674, 75subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  (
( F `  z
)  -  L )  e.  CC )
7776abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  e.  RR )
7872adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
79 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w ph
80 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ w A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)
8179, 80nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ w
( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )
82 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
)  /\  w  e.  RR )  ->  x  < 
( abs `  ( L  -  w )
) )
8382adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )
844adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  L  e.  CC )
85 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  RR  C_  CC
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
8786sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  CC )
8884, 87abssubd 13515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w
) )  =  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
8988adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  ( L  -  w ) )  =  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9083, 89breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  w  e.  RR )  ->  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9190ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  ( w  e.  RR  ->  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) ) )
9281, 91ralrimi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) ) )
9392adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( w  -  L ) ) )
94 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
w  -  L )  =  ( ( F `
 z )  -  L ) )
9594fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( w  -  L ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9695breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
x  <  ( abs `  ( w  -  L
) )  <->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9796rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  (
w  -  L ) )  ->  x  <  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) ) ) )
9878, 93, 97sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
9998adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  x  <  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) ) )
10070, 77, 99ltnsymd 9784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L ) )  <  x )
10166, 67, 68, 100syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
10263, 101jcn 37368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  /\  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) ) )  ->  -.  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
103102ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w )
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  A )  ->  (
( -.  z  e. 
{ B }  /\  z  e.  ( B
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) y ) )  ->  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
104103reximdva 2862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  A  ( -.  z  e.  { B }  /\  z  e.  ( B ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) y ) )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) )
10534, 104mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) )
106 rexnal 2836 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  -.  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)  <->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
107105, 106sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  -.  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
108107nrexdv 2843 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  /\  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
109108ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -.  L  e.  RR )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
110109reximdva 2862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR+  A. w  e.  RR  x  <  ( abs `  ( L  -  w ) )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
1118, 110mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
112 rexnal 2836 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR+  -.  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
113111, 112sylib 200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
114113intnand 927 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  ( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
11571, 86fssd 5738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
116115, 11, 46ellimc3 22834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) ) )
117116adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <->  ( L  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
) ) ) )
118114, 117mtbird 303 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  L  e.  RR )  ->  -.  L  e.  ( F lim CC  B ) )
1192, 118condan 803 1  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   RR*cxr 9674    < clt 9675    - cmin 9860   RR+crp 11302   abscabs 13297   TopOpenctopn 15320   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957  ℂfldccnfld 18970   Topctop 19917   limPtclp 20150   lim CC climc 22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821
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