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Theorem limcperiod 31588
Description: If  F is a periodic function with period  T, the limit doesn't change if we shift the limiting point by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
limcperiod.assc  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcperiod.3  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
limcperiod.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
limcperiod.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
limcperiod.bss  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
limcperiod.fper  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
limcperiod.clim  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
limcperiod  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables  b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22257 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  D )  C_  CC
2 limcperiod.clim . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
31, 2sseldi 3487 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
64, 5fssresd 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> CC )
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 limcrcl 22256 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
92, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
109simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
116, 7, 10ellimc3 22261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  D )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
122, 11mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) )
1312simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1413r19.21bi 2812 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )
15 simpl1l 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  ph )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ph )
17 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  b  e.  B
)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  B )
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
20 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  T )  =  ( z  +  T ) )
2120eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  ( y  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
2221cbvrexv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T
) )
23 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  w  =  ( z  +  T
) ) )
2423rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2522, 24syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2625cbvrabv 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  =  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2719, 26eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2818, 27syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) } )
29 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  b  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  b  =  ( z  +  T
) ) )
3029rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3130elrab 3243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  <->  ( b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3228, 31sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  (
b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T ) ) )
3332simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  B  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
35 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  =  ( ( z  +  T )  -  T ) )
36353ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  ( ( z  +  T
)  -  T ) )
377sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  T  e.  CC )
4037, 39pncand 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  +  T
)  -  T )  =  z )
41403adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( (
z  +  T )  -  T )  =  z )
4236, 41eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  z )
43 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  z  e.  A )
4442, 43eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  e.  A
)
45443exp 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  ->  ( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
z  e.  A  -> 
( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4746rexlimdv 2933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  ( E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  e.  A ) )
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
b  -  T )  e.  A )
49 ssrab2 3570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  C_  CC
5027, 49eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
5251sselda 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  CC )
5338adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  T  e.  CC )
5452, 53npcand 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  -  T
)  +  T )  =  b )
5554eqcomd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
56 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
x  +  T )  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
5756eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
b  =  ( x  +  T )  <->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T
) ) )
5857rspcev 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  -  T
)  e.  A  /\  b  =  ( (
b  -  T )  +  T ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
5948, 55, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
) )
6016, 17, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
61 nfv 1694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
62 nfrab1 3024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
6319, 62nfcxfr 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
6463nfcri 2598 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  b  e.  B
6561, 64nfan 1914 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )
66 nfv 1694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )
6765, 66nfan 1914 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )
68 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
69 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x F
7069, 63nfres 5265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( F  |`  B )
71 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
b
7270, 71nffv 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( F  |`  B ) `  b
)
73 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
74 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x C
7572, 73, 74nfov 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C )
7668, 75nffv 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )
77 nfcv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
78 nfcv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
7976, 77, 78nfbr 4481 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w
80 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =  ( x  +  T
) )
8180fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) ) )
82173ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  e.  B )
8380, 82eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  +  T )  e.  B
)
84 fvres 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  +  T )  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  ( x  +  T ) ) )
86163ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ph )
87 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  A )
88 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
8988anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  <->  ( ph  /\  x  e.  A ) ) )
90 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
9190fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
92 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
9391, 92eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) ) )
9489, 93imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x ) ) ) )
95 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
9694, 95chvarv 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
9786, 87, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
98 fvres 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
9987, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( F `  x ) )
10097, 99eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
10181, 85, 1003eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
102101oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
( F  |`  B ) `
 b )  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )
103102fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) ) )
104 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1051043ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
106105, 87jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
) )
107 simp1rl 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =/=  ( D  +  T
) )
108107neneqd 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  b  =  ( D  +  T ) )
109 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  D  ->  (
x  +  T )  =  ( D  +  T ) )
11080, 109sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  /\  x  =  D )  ->  b  =  ( D  +  T ) )
111108, 110mtand 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  x  =  D )
112111neqned 2646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  =/=  D )
11380oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( b  -  ( D  +  T ) )  =  ( ( x  +  T )  -  ( D  +  T )
) )
1147sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
11586, 87, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  CC )
11686, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  D  e.  CC )
11786, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  T  e.  CC )
118115, 116, 117pnpcan2d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  ( D  +  T ) )  =  ( x  -  D
) )
119113, 118eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  -  D )  =  ( b  -  ( D  +  T ) ) )
120119fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  =  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) ) )
121 simp1rr 1063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)
122120, 121eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)
123112, 122jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
124 neeq1 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =/=  D  <->  x  =/=  D ) )
125 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  D )  =  ( x  -  D ) )
126125fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( y  -  D ) )  =  ( abs `  (
x  -  D ) ) )
127126breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
y  -  D ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
128124, 127anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  <-> 
( x  =/=  D  /\  ( abs `  (
x  -  D ) )  <  z ) ) )
129 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( ( F  |`  A ) `  x
) )
130129oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  -  C
) )
131130fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `
 x )  -  C ) ) )
132131breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
133128, 132imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  <-> 
( ( x  =/= 
D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) ) )
134133rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
135106, 123, 134sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w )
136103, 135eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
1371363exp 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( b  =  ( x  +  T )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) ) )
13867, 79, 137rexlimd 2927 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
13960, 138mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
140139ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
141140ralrimiva 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  ->  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
1421413exp 1196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( z  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
143142reximdvai 2915 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) )
14414, 143mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T
) ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) )
145144ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
146 limcperiod.bss . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
1474, 146fssresd 5742 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
14810, 38addcld 9618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  +  T
)  e.  CC )
149147, 51, 148ellimc3 22261 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  ( D  +  T ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
1503, 145, 149mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   dom cdm 4989    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493    + caddc 9498    < clt 9631    - cmin 9810   RR+crp 11231   abscabs 13049   lim CC climc 22244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cnp 19707  df-xms 20801  df-ms 20802  df-limc 22248
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  31891  fourierdlem49  31892  fourierdlem81  31924  fourierdlem89  31932  fourierdlem91  31934  fourierdlem92  31935
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