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Theorem limcperiod 37805
Description: If  F is a periodic function with period  T, the limit doesn't change if we shift the limiting point by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
limcperiod.assc  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcperiod.3  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
limcperiod.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
limcperiod.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
limcperiod.bss  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
limcperiod.fper  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
limcperiod.clim  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
limcperiod  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables  b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  D )  C_  CC
2 limcperiod.clim . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
31, 2sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
64, 5fssresd 5762 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> CC )
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 limcrcl 22908 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
109simp3d 1044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
116, 7, 10ellimc3 22913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  D )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
122, 11mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) )
1312simprd 470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1413r19.21bi 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )
15 simpl1l 1081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  ph )
1615adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ph )
17 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  b  e.  B
)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  B )
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
20 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  T )  =  ( z  +  T ) )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  ( y  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
2221cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T
) )
23 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  w  =  ( z  +  T
) ) )
2423rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2522, 24syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2625cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  =  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2719, 26eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2818, 27syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) } )
29 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  b  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  b  =  ( z  +  T
) ) )
3029rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3130elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  <->  ( b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3228, 31sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  (
b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T ) ) )
3332simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  B  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
35 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  =  ( ( z  +  T )  -  T ) )
36353ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  ( ( z  +  T
)  -  T ) )
377sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  T  e.  CC )
4037, 39pncand 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  +  T
)  -  T )  =  z )
41403adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( (
z  +  T )  -  T )  =  z )
4236, 41eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  z )
43 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  z  e.  A )
4442, 43eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  e.  A
)
45443exp 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  ->  ( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
z  e.  A  -> 
( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4746rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  ( E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  e.  A ) )
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
b  -  T )  e.  A )
49 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  C_  CC
5027, 49eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
5251sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  CC )
5338adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  T  e.  CC )
5452, 53npcand 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  -  T
)  +  T )  =  b )
5554eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
56 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
x  +  T )  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
b  =  ( x  +  T )  <->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T
) ) )
5857rspcev 3136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  -  T
)  e.  A  /\  b  =  ( (
b  -  T )  +  T ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
5948, 55, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
) )
6016, 17, 59syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
61 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
62 nfrab1 2957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
6319, 62nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
6463nfcri 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  b  e.  B
6561, 64nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )
66 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )
6765, 66nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )
68 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
69 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x F
7069, 63nfres 5113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( F  |`  B )
71 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
b
7270, 71nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( F  |`  B ) `  b
)
73 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
74 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x C
7572, 73, 74nfov 6334 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C )
7668, 75nffv 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
78 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
7976, 77, 78nfbr 4440 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w
80 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =  ( x  +  T
) )
8180fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) ) )
82173ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  e.  B )
8380, 82eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  +  T )  e.  B
)
84 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  +  T )  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  ( x  +  T ) ) )
86163ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ph )
87 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  A )
88 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
8988anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  <->  ( ph  /\  x  e.  A ) ) )
90 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
9190fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
9391, 92eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) ) )
9489, 93imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x ) ) ) )
95 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
9694, 95chvarv 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
9786, 87, 96syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
98 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
9987, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( F `  x ) )
10097, 99eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
10181, 85, 1003eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
102101oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
( F  |`  B ) `
 b )  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )
103102fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) ) )
104 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1051043ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
106105, 87jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
) )
107 simp1rl 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =/=  ( D  +  T
) )
108107neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  b  =  ( D  +  T ) )
109 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  D  ->  (
x  +  T )  =  ( D  +  T ) )
11080, 109sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  /\  x  =  D )  ->  b  =  ( D  +  T ) )
111108, 110mtand 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  x  =  D )
112111neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  =/=  D )
11380oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( b  -  ( D  +  T ) )  =  ( ( x  +  T )  -  ( D  +  T )
) )
1147sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
11586, 87, 114syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  CC )
11686, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  D  e.  CC )
11786, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  T  e.  CC )
118115, 116, 117pnpcan2d 10043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  ( D  +  T ) )  =  ( x  -  D
) )
119113, 118eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  -  D )  =  ( b  -  ( D  +  T ) ) )
120119fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  =  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) ) )
121 simp1rr 1096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)
122120, 121eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)
123112, 122jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
124 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =/=  D  <->  x  =/=  D ) )
125 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  D )  =  ( x  -  D ) )
126125fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( y  -  D ) )  =  ( abs `  (
x  -  D ) ) )
127126breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
y  -  D ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
128124, 127anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  <-> 
( x  =/=  D  /\  ( abs `  (
x  -  D ) )  <  z ) ) )
129 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( ( F  |`  A ) `  x
) )
130129oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  -  C
) )
131130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `
 x )  -  C ) ) )
132131breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
133128, 132imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  <-> 
( ( x  =/= 
D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) ) )
134133rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
135106, 123, 134sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w )
136103, 135eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
1371363exp 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( b  =  ( x  +  T )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) ) )
13867, 79, 137rexlimd 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
13960, 138mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
140139ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
141140ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  ->  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
1421413exp 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( z  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
143142reximdvai 2856 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) )
14414, 143mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T
) ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) )
145144ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
146 limcperiod.bss . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
1474, 146fssresd 5762 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
14810, 38addcld 9680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  +  T
)  e.  CC )
149147, 51, 148ellimc3 22913 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  ( D  +  T ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
1503, 145, 149mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   dom cdm 4839    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555    + caddc 9560    < clt 9693    - cmin 9880   RR+crp 11325   abscabs 13374   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  38130  fourierdlem49  38131  fourierdlem81  38163  fourierdlem89  38171  fourierdlem91  38173  fourierdlem92  38174
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