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Theorem limcperiod 36969
Description: If  F is a periodic function with period  T, the limit doesn't change if we shift the limiting point by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
limcperiod.assc  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcperiod.3  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
limcperiod.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
limcperiod.b  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
limcperiod.bss  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
limcperiod.fper  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
limcperiod.clim  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
limcperiod  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, C, y    x, D, y    x, F, y   
x, T, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables  b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22461 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) lim CC  D )  C_  CC
2 limcperiod.clim . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D ) )
31, 2sseldi 3437 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
64, 5fssresd 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> CC )
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 limcrcl 22460 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim CC  D
)  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
109simp3d 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
116, 7, 10ellimc3 22465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  A ) lim
CC  D )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
122, 11mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) ) )
1312simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1413r19.21bi 2770 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )
15 simpl1l 1046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  ph )
1615adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ph )
17 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  b  e.  B
)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  B )
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
20 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  T )  =  ( z  +  T ) )
2120eqeq2d 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  ( y  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
2221cbvrexv 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T
) )
23 eqeq1 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  w  =  ( z  +  T
) ) )
2423rexbidv 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  A  x  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2522, 24syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T )  <->  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) ) )
2625cbvrabv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T
) }  =  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2719, 26eqtri 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) }
2818, 27syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  B  ->  b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T ) } )
29 eqeq1 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  b  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  b  =  ( z  +  T
) ) )
3029rexbidv 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3130elrab 3204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  <->  ( b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) ) )
3228, 31sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  ->  (
b  e.  CC  /\  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T ) ) )
3332simprd 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  B  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
3433adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T
) )
35 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  =  ( ( z  +  T )  -  T ) )
36353ad2ant3 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  ( ( z  +  T
)  -  T ) )
377sselda 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
3938adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  T  e.  CC )
4037, 39pncand 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( z  +  T
)  -  T )  =  z )
41403adant3 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( (
z  +  T )  -  T )  =  z )
4236, 41eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  =  z )
43 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  z  e.  A )
4442, 43eqeltrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  b  =  ( z  +  T ) )  ->  ( b  -  T )  e.  A
)
45443exp 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  ->  ( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4645adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
z  e.  A  -> 
( b  =  ( z  +  T )  ->  ( b  -  T )  e.  A
) ) )
4746rexlimdv 2891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  ( E. z  e.  A  b  =  ( z  +  T )  ->  (
b  -  T )  e.  A ) )
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
b  -  T )  e.  A )
49 ssrab2 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  A  w  =  ( z  +  T
) }  C_  CC
5027, 49eqsstri 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
5251sselda 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  CC )
5338adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  T  e.  CC )
5452, 53npcand 9889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  -  T
)  +  T )  =  b )
5554eqcomd 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
56 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
x  +  T )  =  ( ( b  -  T )  +  T ) )
5756eqeq2d 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( b  -  T )  ->  (
b  =  ( x  +  T )  <->  b  =  ( ( b  -  T )  +  T
) ) )
5857rspcev 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  -  T
)  e.  A  /\  b  =  ( (
b  -  T )  +  T ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
5948, 55, 58syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
) )
6016, 17, 59syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T ) )
61 nfv 1726 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
62 nfrab1 2985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  E. y  e.  A  x  =  ( y  +  T ) }
6319, 62nfcxfr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
6463nfcri 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  b  e.  B
6561, 64nfan 1954 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )
66 nfv 1726 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )
6765, 66nfan 1954 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )
68 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x abs
69 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x F
7069, 63nfres 5215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( F  |`  B )
71 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
b
7270, 71nffv 5810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( F  |`  B ) `  b
)
73 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  -
74 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x C
7572, 73, 74nfov 6258 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C )
7668, 75nffv 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )
77 nfcv 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x  <
78 nfcv 2562 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x w
7976, 77, 78nfbr 4436 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w
80 simp3 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =  ( x  +  T
) )
8180fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) ) )
82173ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  e.  B )
8380, 82eqeltrrd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  +  T )  e.  B
)
84 fvres 5817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  +  T )  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 ( x  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  ( x  +  T ) ) )
86163ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ph )
87 simp2 996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  A )
88 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
8988anbi2d 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( ph  /\  y  e.  A )  <->  ( ph  /\  x  e.  A ) ) )
90 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
9190fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  (
x  +  T ) ) )
92 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
9391, 92eqeq12d 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) ) )
9489, 93imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  (
y  +  T ) )  =  ( F `
 y ) )  <-> 
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  (
x  +  T ) )  =  ( F `
 x ) ) ) )
95 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  ( y  +  T ) )  =  ( F `  y
) )
9694, 95chvarv 2039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( x  +  T ) )  =  ( F `  x
) )
9786, 87, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
98 fvres 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
9987, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( F `  x ) )
10097, 99eqtr4d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( F `  ( x  +  T
) )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
10181, 85, 1003eqtrd 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( ( F  |`  B ) `  b )  =  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
102101oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
( F  |`  B ) `
 b )  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )
103102fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) ) )
104 simpll3 1036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
1051043ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )
106105, 87jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
) )
107 simp1rl 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  b  =/=  ( D  +  T
) )
108107neneqd 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  b  =  ( D  +  T ) )
109 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  D  ->  (
x  +  T )  =  ( D  +  T ) )
11080, 109sylan9eq 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  /\  x  =  D )  ->  b  =  ( D  +  T ) )
111108, 110mtand 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  -.  x  =  D )
112111neqned 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  =/=  D )
11380oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( b  -  ( D  +  T ) )  =  ( ( x  +  T )  -  ( D  +  T )
) )
1147sselda 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  CC )
11586, 87, 114syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  x  e.  CC )
11686, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  D  e.  CC )
11786, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  T  e.  CC )
118115, 116, 117pnpcan2d 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  ( D  +  T ) )  =  ( x  -  D
) )
119113, 118eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  -  D )  =  ( b  -  ( D  +  T ) ) )
120119fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  =  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) ) )
121 simp1rr 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)
122120, 121eqbrtrd 4412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)
123112, 122jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
124 neeq1 2682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =/=  D  <->  x  =/=  D ) )
125 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
y  -  D )  =  ( x  -  D ) )
126125fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( y  -  D ) )  =  ( abs `  (
x  -  D ) ) )
127126breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
y  -  D ) )  <  z  <->  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
) )
128124, 127anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  <-> 
( x  =/=  D  /\  ( abs `  (
x  -  D ) )  <  z ) ) )
129 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( ( F  |`  A ) `  x
) )
130129oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C )  =  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  -  C
) )
131130fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `
 x )  -  C ) ) )
132131breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
133128, 132imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  <-> 
( ( x  =/= 
D  /\  ( abs `  ( x  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) ) )
134133rspccva 3156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  A  ( ( y  =/= 
D  /\  ( abs `  ( y  -  D
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  D  /\  ( abs `  ( x  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w ) )
135106, 123, 134sylc 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  -  C ) )  <  w )
136103, 135eqbrtrd 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( ( y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  A ) `  y )  -  C
) )  <  w
) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  /\  x  e.  A  /\  b  =  (
x  +  T ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
1371363exp 1194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( b  =  ( x  +  T )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) ) )
13867, 79, 137rexlimd 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( E. x  e.  A  b  =  ( x  +  T
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
13960, 138mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  /\  (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z ) )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w )
140139ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  /\  b  e.  B )  ->  (
( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
141140ralrimiva 2815 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  z  e.  RR+  /\  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w ) )  ->  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
1421413exp 1194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( z  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  A  (
( y  =/=  D  /\  ( abs `  (
y  -  D ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
143142reximdvai 2873 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  A  ( (
y  =/=  D  /\  ( abs `  ( y  -  D ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  A ) `  y
)  -  C ) )  <  w )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  (
b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) )
14414, 143mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T
) ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b )  -  C
) )  <  w
) )
145144ralrimiva 2815 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( (
b  =/=  ( D  +  T )  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T ) ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) )
146 limcperiod.bss . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  dom  F )
1474, 146fssresd 5689 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> CC )
14810, 38addcld 9563 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  +  T
)  e.  CC )
149147, 51, 148ellimc3 22465 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( F  |`  B ) lim
CC  ( D  +  T ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. w  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. b  e.  B  ( ( b  =/=  ( D  +  T
)  /\  ( abs `  ( b  -  ( D  +  T )
) )  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  B ) `  b
)  -  C ) )  <  w ) ) ) )
1503, 145, 149mpbir2and 921 1  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  ( D  +  T
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   {crab 2755    C_ wss 3411   class class class wbr 4392   dom cdm 4940    |` cres 4942   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438    + caddc 9443    < clt 9576    - cmin 9759   RR+crp 11181   abscabs 13121   lim CC climc 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-rest 14927  df-topn 14928  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cnp 19912  df-xms 21005  df-ms 21006  df-limc 22452
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  37272  fourierdlem49  37273  fourierdlem81  37305  fourierdlem89  37313  fourierdlem91  37315  fourierdlem92  37316
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