MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcnlp Structured version   Unicode version

Theorem limcnlp 22109
Description: If  B is not a limit point of the domain of the function  F, then every point is a limit of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limccl.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limccl.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcnlp.n  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A ) )
Assertion
Ref Expression
limcnlp  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  CC )

Proof of Theorem limcnlp
Dummy variables  x  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 limccl.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
3 limccl.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 ellimc2.k . . . 4  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
51, 2, 3, 4ellimc2 22108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
64cnfldtop 21118 . . . . . . . . . 10  |-  K  e. 
Top
72adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A  C_  CC )
87ssdifssd 3642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A 
\  { B }
)  C_  CC )
94cnfldtopon 21117 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
109toponunii 19240 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. K
1110clscld 19354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC )  ->  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) )  e.  (
Clsd `  K )
)
126, 8, 11sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) )  e.  ( Clsd `  K
) )
1310cldopn 19338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Clsd `  K )  ->  ( CC  \  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  e.  K )
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  e.  K )
15 limcnlp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A ) )
1610islp 19447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A )  <->  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
176, 2, 16sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  K ) `  A )  <->  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
1815, 17mtbid 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )
193, 18eldifd 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) ) )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) )
21 difin2 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  CC  ->  ( ( A  \  { B } )  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
228, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  \  { B } )  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) )
2310sscls 19363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( A  \  { B } )  C_  CC )  ->  ( A  \  { B } )  C_  ( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )
246, 8, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A 
\  { B }
)  C_  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B } ) ) )
25 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { B } )  C_  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) )  <->  ( ( A 
\  { B }
)  \  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
2624, 25sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A  \  { B } )  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
2722, 26eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) )  =  (/) )
2827imaeq2d 5337 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( F " (/) ) )
29 ima0 5352 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  (/) )
31 0ss 3814 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  u
3230, 31syl6eqss 3554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u )
33 eleq2 2540 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( B  e.  v  <->  B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
34 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
v  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )
3534imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  =  ( F "
( ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A  \  { B }
) ) ) )
3635sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u  <->  ( F " ( ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  i^i  ( A 
\  { B }
) ) )  C_  u ) )
3733, 36anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( CC  \ 
( ( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  ->  (
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  /\  ( F " ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
3837rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  \  (
( cls `  K
) `  ( A  \  { B } ) ) )  e.  K  /\  ( B  e.  ( CC  \  ( ( cls `  K ) `
 ( A  \  { B } ) ) )  /\  ( F
" ( ( CC 
\  ( ( cls `  K ) `  ( A  \  { B }
) ) )  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
3914, 20, 32, 38syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
4039a1d 25 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
4140ralrimivw 2879 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
4241ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  ->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) )
4342pm4.71d 634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  K  ( B  e.  v  /\  ( F " (
v  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
445, 43bitr4d 256 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  CC ) )
4544eqrdv 2464 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   TopOpenctopn 14680  ℂfldccnfld 18231   Topctop 19201   Clsdccld 19323   clsccl 19325   limPtclp 19441   lim CC climc 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-fz 11674  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-rest 14681  df-topn 14682  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-cls 19328  df-lp 19443  df-cnp 19535  df-xms 20650  df-ms 20651  df-limc 22097
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator