MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limcmpt2 22832
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
limcmpt2.f  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
limcmpt2.j  |-  J  =  ( Kt  A )
limcmpt2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt2
StepHypRef Expression
1 limcmpt2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
21ssdifssd 3570 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
3 limcmpt2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
41, 3sseldd 3432 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 eldifsn 4096 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
6 limcmpt2.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
75, 6sylan2b 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  D  e.  CC )
8 eqid 2450 . . 3  |-  ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )
9 limcmpt2.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
102, 4, 7, 8, 9limcmpt 22831 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
11 undif1 3841 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
123snssd 4116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
13 ssequn2 3606 . . . . . 6  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1412, 13sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1511, 14syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
1615mpteq1d 4483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
) )
1715oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
18 limcmpt2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  A )
1917, 18syl6eqr 2502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  J )
2019oveq1d 6303 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K )  =  ( J  CnP  K ) )
2120fveq1d 5865 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )
2216, 21eleq12d 2522 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
2310, 22bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621    \ cdif 3400    u. cun 3401    C_ wss 3403   ifcif 3880   {csn 3967    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313  ℂfldccnfld 18963    CnP ccnp 20234   lim CC climc 22810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cnp 20237  df-xms 21328  df-ms 21329  df-limc 22814
This theorem is referenced by:  dvcnp  22866
  Copyright terms: Public domain W3C validator