MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt2 22413
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
limcmpt2.f  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
limcmpt2.j  |-  J  =  ( Kt  A )
limcmpt2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt2
StepHypRef Expression
1 limcmpt2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
21ssdifssd 3638 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
3 limcmpt2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
41, 3sseldd 3500 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 eldifsn 4157 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
6 limcmpt2.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
75, 6sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  D  e.  CC )
8 eqid 2457 . . 3  |-  ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )
9 limcmpt2.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
102, 4, 7, 8, 9limcmpt 22412 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
11 undif1 3906 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
123snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
13 ssequn2 3673 . . . . . 6  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1412, 13sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1511, 14syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
1615mpteq1d 4538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
) )
1715oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
18 limcmpt2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  A )
1917, 18syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  J )
2019oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K )  =  ( J  CnP  K ) )
2120fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )
2216, 21eleq12d 2539 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
2310, 22bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   ↾t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ℂfldccnfld 18546    CnP ccnp 19852   lim CC climc 22391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-rest 14839  df-topn 14840  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cnp 19855  df-xms 20948  df-ms 20949  df-limc 22395
This theorem is referenced by:  dvcnp  22447
  Copyright terms: Public domain W3C validator