Theorem limcmpt2 22154

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcmpt2.b	|- ( ph -> B e. A )
limcmpt2.f	|- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
limcmpt2.j	|- J = ( K ↾t A )
limcmpt2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	|- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   J( z)   K( z)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
2	1	ssdifssd 3647	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
3		limcmpt2.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4	1, 3	sseldd 3510	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		eldifsn 4158	. . . 4 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
6		limcmpt2.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
7	5, 6	sylan2b 475	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> D e. CC )
8		eqid 2467	. . 3 |- ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
9		limcmpt2.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 22153	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11		undif1 3908	. . . . 5 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
12	3	snssd 4178	. . . . . 6 |- ( ph -> { B } C_ A )
13		ssequn2 3682	. . . . . 6 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
14	12, 13	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = A )
15	11, 14	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
16	15	mpteq1d 4534	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) = ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) )
17	15	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t A ) )
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
19	17, 18	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = J )
20	19	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) = ( J CnP K ) )
21	20	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( J CnP K ) ` B ) )
22	16, 21	eleq12d 2549	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
23	10, 22	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   \ cdif 3478   u. cun 3479   C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   ↾_t crest 14692   TopOpenctopn 14693  ℂ_fldccnfld 18288   CnP ccnp 19592   lim CC climc 22132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-rest 14694  df-topn 14695  df-topgen 14715  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cnp 19595  df-xms 20689  df-ms 20690  df-limc 22136

This theorem is referenced by:  dvcnp  22188