Theorem limcmpt2 22413

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcmpt2.b	|- ( ph -> B e. A )
limcmpt2.f	|- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
limcmpt2.j	|- J = ( K ↾t A )
limcmpt2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	|- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   J( z)   K( z)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
2	1	ssdifssd 3638	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
3		limcmpt2.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4	1, 3	sseldd 3500	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		eldifsn 4157	. . . 4 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
6		limcmpt2.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
7	5, 6	sylan2b 475	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> D e. CC )
8		eqid 2457	. . 3 |- ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
9		limcmpt2.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 22412	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11		undif1 3906	. . . . 5 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
12	3	snssd 4177	. . . . . 6 |- ( ph -> { B } C_ A )
13		ssequn2 3673	. . . . . 6 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
14	12, 13	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = A )
15	11, 14	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
16	15	mpteq1d 4538	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) = ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) )
17	15	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t A ) )
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
19	17, 18	syl6eqr 2516	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = J )
20	19	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) = ( J CnP K ) )
21	20	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( J CnP K ) ` B ) )
22	16, 21	eleq12d 2539	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
23	10, 22	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   ↾_t crest 14837   TopOpenctopn 14838  ℂ_fldccnfld 18546   CnP ccnp 19852   lim CC climc 22391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-rest 14839  df-topn 14840  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cnp 19855  df-xms 20948  df-ms 20949  df-limc 22395

This theorem is referenced by:  dvcnp  22447