Theorem limcmpt2 21359

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcmpt2.b	|- ( ph -> B e. A )
limcmpt2.f	|- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
limcmpt2.j	|- J = ( K ↾t A )
limcmpt2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	|- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   J( z)   K( z)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
2	1	ssdifssd 3494	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
3		limcmpt2.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4	1, 3	sseldd 3357	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		eldifsn 4000	. . . 4 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
6		limcmpt2.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
7	5, 6	sylan2b 475	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> D e. CC )
8		eqid 2443	. . 3 |- ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
9		limcmpt2.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 21358	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11		undif1 3754	. . . . 5 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
12	3	snssd 4018	. . . . . 6 |- ( ph -> { B } C_ A )
13		ssequn2 3529	. . . . . 6 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
14	12, 13	sylib 196	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = A )
15	11, 14	syl5eq 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
16	15	mpteq1d 4373	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) = ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) )
17	15	oveq2d 6107	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t A ) )
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
19	17, 18	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = J )
20	19	oveq1d 6106	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) = ( J CnP K ) )
21	20	fveq1d 5693	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( J CnP K ) ` B ) )
22	16, 21	eleq12d 2511	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
23	10, 22	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   \ cdif 3325   u. cun 3326   C_ wss 3328   ifcif 3791   {csn 3877   e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   ↾_t crest 14359   TopOpenctopn 14360  ℂ_fldccnfld 17818   CnP ccnp 18829   lim CC climc 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-rest 14361  df-topn 14362  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cnp 18832  df-xms 19895  df-ms 19896  df-limc 21341

This theorem is referenced by:  dvcnp  21393