MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt2 Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt2 22154
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt2.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
limcmpt2.f  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
limcmpt2.j  |-  J  =  ( Kt  A )
limcmpt2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt2
StepHypRef Expression
1 limcmpt2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
21ssdifssd 3647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  { B } )  C_  CC )
3 limcmpt2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
41, 3sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 eldifsn 4158 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  <->  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )
6 limcmpt2.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  z  =/=  B ) )  ->  D  e.  CC )
75, 6sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  \  { B } ) )  ->  D  e.  CC )
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )
9 limcmpt2.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
102, 4, 7, 8, 9limcmpt 22153 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
11 undif1 3908 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } )
123snssd 4178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { B }  C_  A )
13 ssequn2 3682 . . . . . 6  |-  ( { B }  C_  A  <->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1412, 13sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  A )
1511, 14syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } )  =  A )
1615mpteq1d 4534 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  =  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
) )
1715oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  ( Kt  A ) )
18 limcmpt2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( Kt  A )
1917, 18syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( ( A 
\  { B }
)  u.  { B } ) )  =  J )
2019oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K )  =  ( J  CnP  K ) )
2120fveq1d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  =  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) )
2216, 21eleq12d 2549 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) 
|->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( ( Kt  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
2310, 22bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  ( A  \  { B } )  |->  D ) lim
CC  B )  <->  ( z  e.  A  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   ↾t crest 14692   TopOpenctopn 14693  ℂfldccnfld 18288    CnP ccnp 19592   lim CC climc 22132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-rest 14694  df-topn 14695  df-topgen 14715  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cnp 19595  df-xms 20689  df-ms 20690  df-limc 22136
This theorem is referenced by:  dvcnp  22188
  Copyright terms: Public domain W3C validator