Theorem limcmpt2 22832

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	|- ( ph -> A C_ CC )
limcmpt2.b	|- ( ph -> B e. A )
limcmpt2.f	|- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
limcmpt2.j	|- J = ( K ↾t A )
limcmpt2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	|- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, C   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   J( z)   K( z)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 |- ( ph -> A C_ CC )
2	1	ssdifssd 3570	. . 3 |- ( ph -> ( A \ { B } ) C_ CC )
3		limcmpt2.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. A )
4	1, 3	sseldd 3432	. . 3 |- ( ph -> B e. CC )
5		eldifsn 4096	. . . 4 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ z =/= B ) )
6		limcmpt2.f	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ z =/= B ) ) -> D e. CC )
7	5, 6	sylan2b 478	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> D e. CC )
8		eqid 2450	. . 3 |- ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
9		limcmpt2.k	. . 3 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 22831	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
11		undif1 3841	. . . . 5 |- ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = ( A u. { B } )
12	3	snssd 4116	. . . . . 6 |- ( ph -> { B } C_ A )
13		ssequn2 3606	. . . . . 6 |- ( { B } C_ A <-> ( A u. { B } ) = A )
14	12, 13	sylib 200	. . . . 5 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = A )
15	11, 14	syl5eq 2496	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
16	15	mpteq1d 4483	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) = ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) )
17	15	oveq2d 6304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = ( K ↾t A ) )
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 |- J = ( K ↾t A )
19	17, 18	syl6eqr 2502	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) = J )
20	19	oveq1d 6303	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) = ( J CnP K ) )
21	20	fveq1d 5865	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) = ( ( J CnP K ) ` B ) )
22	16, 21	eleq12d 2522	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( ( K ↾t ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
23	10, 22	bitrd 257	1 |- ( ph -> ( C e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> D ) lim CC B ) <-> ( z e. A |-> if ( z = B , C , D ) ) e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   \ cdif 3400   u. cun 3401   C_ wss 3403   ifcif 3880   {csn 3967   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   ↾_t crest 15312   TopOpenctopn 15313  ℂ_fldccnfld 18963   CnP ccnp 20234   lim CC climc 22810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-rest 15314  df-topn 15315  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cnp 20237  df-xms 21328  df-ms 21329  df-limc 22814

This theorem is referenced by:  dvcnp  22866