MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt 21492
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcmpt.f  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
limcmpt.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcmpt.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
2 limcmpt.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ y if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )
4 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ z  y  =  B
5 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ z C
6 nffvmpt1 5808 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  D ) `  y )
74, 5, 6nfif 3927 . . . 4  |-  F/_ z if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) )
8 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  B  <->  y  =  B ) )
9 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  A  |->  D ) `  z
)  =  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y ) )
108, 9ifbieq2d 3923 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) ) )
113, 7, 10cbvmpt 4491 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) ) )  =  ( y  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( y  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  y ) ) )
12 limcmpt.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  D )  =  ( z  e.  A  |->  D )
1412, 13fmptd 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  D ) : A --> CC )
15 limcmpt.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
16 limcmpt.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
171, 2, 11, 14, 15, 16ellimc 21482 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
18 elun 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
19 elsn 4000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2019orbi2i 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2118, 20bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
22 pm5.61 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
2322simplbi 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2421, 23sylanb 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2524adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  z  e.  A )
2624, 12sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  D  e.  CC )
2713fvmpt2 5891 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2928anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
3029ifeq2da 3929 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  C ,  D
) )
3130mpteq2dva 4487 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) ) )
3231eleq1d 2523 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
3317, 32bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3435    C_ wss 3437   ifcif 3900   {csn 3986    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480  ℂfldccnfld 17944    CnP ccnp 18962   lim CC climc 21471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-fz 11556  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-rest 14481  df-topn 14482  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cnp 18965  df-xms 20028  df-ms 20029  df-limc 21475
This theorem is referenced by:  limcmpt2  21493  limccnp2  21501  limcco  21502
  Copyright terms: Public domain W3C validator