MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmpt Structured version   Unicode version

Theorem limcmpt 22715
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpt.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcmpt.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcmpt.f  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
limcmpt.j  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
limcmpt.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, C    ph, z
Allowed substitution hints:    D( z)    J( z)    K( z)

Proof of Theorem limcmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcmpt.j . . 3  |-  J  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
2 limcmpt.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ y if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )
4 nfv 1754 . . . . 5  |-  F/ z  y  =  B
5 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ z C
6 nffvmpt1 5889 . . . . 5  |-  F/_ z
( ( z  e.  A  |->  D ) `  y )
74, 5, 6nfif 3944 . . . 4  |-  F/_ z if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) )
8 eqeq1 2433 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  B  <->  y  =  B ) )
9 fveq2 5881 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  A  |->  D ) `  z
)  =  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y ) )
108, 9ifbieq2d 3940 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( y  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  y
) ) )
113, 7, 10cbvmpt 4517 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) ) )  =  ( y  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( y  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  y ) ) )
12 limcmpt.f . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  CC )
13 eqid 2429 . . . 4  |-  ( z  e.  A  |->  D )  =  ( z  e.  A  |->  D )
1412, 13fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  |->  D ) : A --> CC )
15 limcmpt.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
16 limcmpt.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
171, 2, 11, 14, 15, 16ellimc 22705 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )
) )
18 elun 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } ) )
19 elsn 4016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
2019orbi2i 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  A  \/  z  e.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
2118, 20bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( z  e.  A  \/  z  =  B ) )
22 pm5.61 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  <->  ( z  e.  A  /\  -.  z  =  B ) )
2322simplbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  A  \/  z  =  B
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2421, 23sylanb 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
2524adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  z  e.  A )
2624, 12sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  D  e.  CC )
2713fvmpt2 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2825, 26, 27syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  /\  -.  z  =  B )
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
2928anassrs 652 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  z  =  B
)  ->  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z )  =  D )
3029ifeq2da 3946 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( z  =  B ,  C ,  ( ( z  e.  A  |->  D ) `  z
) )  =  if ( z  =  B ,  C ,  D
) )
3130mpteq2dva 4512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  =  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) ) )
3231eleq1d 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  ( (
z  e.  A  |->  D ) `  z ) ) )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  B )  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D ) )  e.  ( ( J  CnP  K ) `  B ) ) )
3317, 32bitrd 256 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( z  e.  A  |->  D ) lim CC  B
)  <->  ( z  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  C ,  D )
)  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440    C_ wss 3442   ifcif 3915   {csn 4002    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279  ℂfldccnfld 18905    CnP ccnp 20172   lim CC climc 22694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cnp 20175  df-xms 21266  df-ms 21267  df-limc 22698
This theorem is referenced by:  limcmpt2  22716  limccnp2  22724  limcco  22725
  Copyright terms: Public domain W3C validator