MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Structured version   Unicode version

Theorem limcmo 21500
Description: If  B is a limit point of the domain of the function  F, then there is at most one limit value of  F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
limcmo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, K    x, A    ph, x

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 20506 . . . 4  |-  K  e. 
Haus
32a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
4 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcflf.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  =  ( A 
\  { B }
)
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) )
94, 5, 6, 1, 7, 8limcflflem 21498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) ) )
10 difss 3594 . . . 4  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
11 fssres 5689 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  ( A  \  { B } )  C_  A
)  ->  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
124, 10, 11sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  \  { B }
) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )
131cnfldtopon 20504 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
1413toponunii 18679 . . . 4  |-  CC  =  U. K
1514hausflf 19712 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) )  e.  ( Fil `  ( A  \  { B }
) )  /\  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) : ( A  \  { B } ) --> CC )  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
163, 9, 12, 15syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
174, 5, 6, 1, 7, 8limcflf 21499 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) )
1817eleq2d 2524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  ( A  \  { B } ) ) ) `  ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
1918mobidv 2286 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  E* x  x  e.  ( ( K  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { B }
)t  ( A  \  { B } ) ) ) `
 ( F  |`  ( A  \  { B } ) ) ) ) )
2016, 19mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   E*wmo 2263    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988    |` cres 4953   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   ↾t crest 14482   TopOpenctopn 14483  ℂfldccnfld 17953   neicnei 18843   limPtclp 18880   Hauscha 19054   Filcfil 19560    fLimf cflf 19650   lim CC climc 21480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7776  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-icc 11422  df-fz 11559  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-rest 14484  df-topn 14485  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-fbas 17949  df-fg 17950  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-nei 18844  df-lp 18882  df-cnp 18974  df-haus 19061  df-fil 19561  df-fm 19653  df-flim 19654  df-flf 19655  df-xms 20037  df-ms 20038  df-limc 21484
This theorem is referenced by:  perfdvf  21521
  Copyright terms: Public domain W3C validator