Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limclr Structured version   Unicode version

Theorem limclr 31907
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. In this case, the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limclr.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
limclr.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
limclr.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limclr.lp1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ) )
limclr.lp2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
limclr.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
limclr.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
Assertion
Ref Expression
limclr  |-  ( ph  ->  ( ( ( F lim
CC  B )  =/=  (/) 
<->  L  =  R )  /\  ( L  =  R  ->  L  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )

Proof of Theorem limclr
StepHypRef Expression
1 neqne 31680 . . . . . 6  |-  ( -.  L  =  R  ->  L  =/=  R )
2 limclr.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
3 limclr.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  A  C_  RR )
5 limclr.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 limclr.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  F : A
--> CC )
8 limclr.lp1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ) )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  B  e.  ( ( limPt `  J
) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ) )
10 limclr.lp2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  B  e.  ( ( limPt `  J
) `  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
12 limclr.l . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
14 limclr.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) lim CC  B )
)
16 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  L  =/=  R )
172, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16limclner 31903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  ( F lim CC  B )  =  (/) )
18 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( F lim CC  B
)  =/=  (/)  <->  ( F lim CC  B )  =  (/) )
1917, 18sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =/=  R )  ->  -.  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
201, 19sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  L  =  R )  ->  -.  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
2120ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  L  =  R  ->  -.  ( F lim CC  B )  =/=  (/) ) )
2221con4d 105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F lim CC  B )  =/=  (/)  ->  L  =  R ) )
233adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  A  C_  RR )
246adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  F : A --> CC )
25 retop 21485 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
265, 25eqeltri 2541 . . . . . . . . 9  |-  J  e. 
Top
27 inss2 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  ( -oo (,) B )
28 ioossre 11611 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) B )  C_  RR
2927, 28sstri 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  RR
30 uniretop 21486 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
315eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
3231unieqi 4260 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. J
3330, 32eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  RR  =  U. J
3433lpss 19861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) 
C_  RR )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) )  C_  RR )
3526, 29, 34mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
limPt `  J ) `  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) )  C_  RR
3635, 8sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  B  e.  RR )
3812adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
3914adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) lim CC  B )
)
40 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  L  =  R )
412, 23, 5, 24, 37, 38, 39, 40limcleqr 31896 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  L  e.  ( F lim CC  B
) )
42 ne0i 3799 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
4341, 42syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  =  R )  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) )
4443ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  =  R  ->  ( F lim CC  B )  =/=  (/) ) )
4522, 44impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F lim CC  B )  =/=  (/)  <->  L  =  R ) )
4641ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  =  R  ->  L  e.  ( F lim CC  B ) ) )
4745, 46jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( F lim
CC  B )  =/=  (/) 
<->  L  =  R )  /\  ( L  =  R  ->  L  e.  ( F lim CC  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   (,)cioo 11554   TopOpenctopn 14930   topGenctg 14946  ℂfldccnfld 18638   Topctop 19612   limPtclp 19853   lim CC climc 22483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-plusg 14816  df-mulr 14817  df-starv 14818  df-tset 14822  df-ple 14823  df-ds 14825  df-unif 14826  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-cnfld 18639  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855  df-cnp 19947  df-xms 21040  df-ms 21041  df-limc 22487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator