Theorem limcleqr 37725

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcleqr.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcleqr.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limcleqr.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
limcleqr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcleqr.b	|- ( ph -> B e. RR )
limcleqr.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
limcleqr.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
limcleqr.leqr	|- ( ph -> L = R )

Assertion

Ref	Expression
limcleqr	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcleqr

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22830	. . 3 |- ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) C_ CC
2		limcleqr.l	. . 3 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
3	1, 2	sseldi 3430	. 2 |- ( ph -> L e. CC )
4		simp-4r 777	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> a e. RR+ )
5		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> b e. RR+ )
6	4, 5	ifcld 3924	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
7		nfv 1761	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ x e. RR+ )
8		nfv 1761	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z a e. RR+
9	7, 8	nfan 2011	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ )
10		nfra1 2769	. . . . . . . . . 10 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
11	9, 10	nfan 2011	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
12		nfv 1761	. . . . . . . . 9 |- F/ z b e. RR+
13	11, 12	nfan 2011	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ )
14		nfra1 2769	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
15	13, 14	nfan 2011	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
16		simp-6l 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> ph )
17	16	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ph )
18		simpl2 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. A )
19		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z < B )
20		mnfxr 11414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo e. RR* )
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> B e. RR* )
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
26	25	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
27	26	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. RR )
28	27	mnfltd 11426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo < z )
29		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z < B )
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 37595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
32		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
33	32	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
34	33	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) )
35	34	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
37		simp-4r 777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
38	37	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
39	18, 31	elind 3618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) )
40	38, 39	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) )
41		simpl3l 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z =/= B )
42	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
43	42	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
44	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
45	44	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
46		simpl3r 1064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
47		simpl1 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ph )
48		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> z e. A )
49	26	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
50	22	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. CC )
51	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. CC )
52	49, 51	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z - B ) e. CC )
53	52	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
54	47, 48, 53	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
55		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. RR+ -> a e. RR )
56	55	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
57		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. RR+ -> b e. RR )
58	57	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
59	56, 58	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
62	56	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> a e. RR )
64		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
65	58	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
66		min1 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
67	62, 65, 66	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
68	67	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
71	41, 70	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) )
72		rspa 2755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
73	40, 71, 72	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
74	36, 73	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
75		simp-6l 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B e. RR )
78		simpl2 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. A )
79	76, 78, 26	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. RR )
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= B -> z =/= B )
81	80	necomd 2679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z =/= B -> B =/= z )
82	81	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
83	82	3ad2antl3 1172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
84		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> -. z < B )
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 37517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B < z )
86		simp-6l 780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> ph )
87	86	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ph )
88		simpl2 1012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. A )
89		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> B < z )
90	23	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B e. RR* )
91		pnfxr 11412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> +oo e. RR* )
93	26	3adant3 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. RR )
94		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B < z )
95	93	ltpnfd 11423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z < +oo )
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 37595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
98		fvres 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
99	98	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) )
100	99	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) )
101	100	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
103		simpl1r 1060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
104	88, 97	elind 3618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) )
105	103, 104	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) )
106		simpl3l 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z =/= B )
107	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
108	107	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
109	5	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
110	109	3ad2antl1 1170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
111		simpl3r 1064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
112	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> b e. RR )
113		min2 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
114	62, 65, 113	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
115	114	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
116	54, 61, 112, 64, 115	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
117	87, 108, 110, 111, 88, 116	syl32anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
118	106, 117	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) )
119		rspa 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
120	105, 118, 119	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
121	102, 120	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
122	85, 121	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
123	74, 122	pm2.61dan 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
124	123	3exp 1207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
125	15, 124	ralrimi 2788	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
126		breq2 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
127	126	anbi2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) <-> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
128	127	imbi1d 319	. . . . . . . 8 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidv 2827	. . . . . . 7 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
130	129	rspcev 3150	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
131	6, 125, 130	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
132		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
133		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> CC )
134		fresin 5752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
136		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ ( B (,) +oo )
137		ioosscn 37591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) +oo ) C_ CC
138	136, 137	sstri 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC )
140	135, 139, 50	ellimc3 22834	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) <-> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) ) )
141	132, 140	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
142	141	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
143	142	r19.21bi 2757	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
144		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L = R )
145	144	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) )
146	145	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) )
147	146	breq1d 4412	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
148	147	imbi2d 318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
149	148	rexralbidv 2909	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
150	149	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
151	143, 150	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
152	151	ad2antrr 732	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
153	131, 152	r19.29a 2932	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
154		fresin 5752	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
155	133, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
156		inss2 3653	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ ( -oo (,) B )
157		ioossre 11696	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) B ) C_ RR
158	156, 157	sstri 3441	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ RR
159		ax-resscn 9596	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
160	159	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
161	158, 160	syl5ss 3443	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ CC )
162	155, 161, 50	ellimc3 22834	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
163	2, 162	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) )
164	163	simprd 465	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
165	164	r19.21bi 2757	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
166	153, 165	r19.29a 2932	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
167	166	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
168	25, 159	syl6ss 3444	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
169	133, 168, 50	ellimc3 22834	. 2 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
170	3, 167, 169	mpbir2and 933	1 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13297   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   lim CC climc 22817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821

This theorem is referenced by:  limclr  37736