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Theorem limcleqr 37725
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcleqr.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
limcleqr.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
limcleqr.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcleqr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcleqr.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
limcleqr.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
limcleqr.leqr  |-  ( ph  ->  L  =  R )
Assertion
Ref Expression
limcleqr  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22830 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B )  C_  CC
2 limcleqr.l . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
31, 2sseldi 3430 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
4 simp-4r 777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  a  e.  RR+ )
5 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  b  e.  RR+ )
64, 5ifcld 3924 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
7 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ph  /\  x  e.  RR+ )
8 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  a  e.  RR+
97, 8nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )
10 nfra1 2769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )
119, 10nfan 2011 . . . . . . . . 9  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )
12 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  b  e.  RR+
1311, 12nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )
14 nfra1 2769 . . . . . . . 8  |-  F/ z A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
1513, 14nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
16 simp-6l 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  ph )
17163ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ph )
18 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  A )
19 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  <  B )
20 mnfxr 11414 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  -> -oo  e.  RR* )
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
24233ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  B  e.  RR* )
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2625sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
27263adant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  RR )
2827mnfltd 11426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  -> -oo  <  z
)
29 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  <  B )
3021, 24, 27, 28, 29eliood 37595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( -oo (,) B ) )
3117, 18, 19, 30syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( -oo (,) B ) )
32 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
3332oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L )  =  ( ( F `  z )  -  L
) )
3433eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( F `  z
)  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L
) )
3534fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) ) )
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `
 z )  -  L ) ) )
37 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
38373ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
3918, 31elind 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) )
4038, 39jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ) )
41 simpl3l 1063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  =/=  B )
424adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  a  e.  RR+ )
43423ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  a  e.  RR+ )
445adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  b  e.  RR+ )
45443ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  b  e.  RR+ )
46 simpl3r 1064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
47 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ph )
48 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
4926recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
5022recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5249, 51subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  -  B )  e.  CC )
5352abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  e.  RR )
5447, 48, 53syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  e.  RR )
55 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
57 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
5956, 58ifcld 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
60593adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
62563adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
6362adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  a  e.  RR )
64 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) )
65583adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
66 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
6762, 65, 66syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_ 
a )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
a )
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)
7141, 70jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
) )
72 rspa 2755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) )  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
7340, 71, 72sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
7436, 73eqbrtrd 4423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
75 simp-6l 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  -.  z  <  B )  ->  ph )
76753ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  ph )
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  e.  RR )
78 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  z  e.  A )
7976, 78, 26syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  z  e.  RR )
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  B  ->  z  =/=  B )
8180necomd 2679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/=  B  ->  B  =/=  z )
8281ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b ) )  /\  -.  z  <  B )  ->  B  =/=  z )
83823ad2antl3 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  =/=  z )
84 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  -.  z  <  B )
8577, 79, 83, 84lttri5d 37517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  <  z )
86 simp-6l 780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  ph )
87863ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ph )
88 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  A )
89 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  B  <  z )
90233ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  B  e.  RR* )
91 pnfxr 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  -> +oo  e.  RR* )
93263adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  RR )
94 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  B  <  z )
9593ltpnfd 11423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  < +oo )
9690, 92, 93, 94, 95eliood 37595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( B (,) +oo )
)
9787, 88, 89, 96syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( B (,) +oo )
)
98 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  =  ( F `
 z ) )
9998eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( F `  z )  =  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z ) )
10099oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( ( F `  z )  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )
101100fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z )  -  L ) ) )
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z )  -  L ) ) )
103 simpl1r 1060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
10488, 97elind 3618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) )
105103, 104jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
106 simpl3l 1063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  =/=  B )
1074adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  a  e.  RR+ )
1081073ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  a  e.  RR+ )
1095adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  b  e.  RR+ )
1101093ad2antl1 1170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  b  e.  RR+ )
111 simpl3r 1064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
11265adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  b  e.  RR )
113 min2 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
11462, 65, 113syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_ 
b )
115114adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
11654, 61, 112, 64, 115ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )
11787, 108, 110, 111, 88, 116syl32anc 1276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)
118106, 117jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
) )
119 rspa 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x ) )
120105, 118, 119sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
121102, 120eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
12285, 121syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )
12374, 122pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x )
1241233exp 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
12515, 124ralrimi 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
126 breq2 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )
127126anbi2d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) ) )
128127imbi1d 319 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )  <->  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
129128ralbidv 2827 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
130129rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
1316, 125, 130syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
132 limcleqr.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
133 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
134 fresin 5752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) : ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) --> CC )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) : ( A  i^i  ( B (,) +oo )
) --> CC )
136 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) )  C_  ( B (,) +oo )
137 ioosscn 37591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B (,) +oo )  C_  CC
138136, 137sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) )  C_  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) 
C_  CC )
140135, 139, 50ellimc3 22834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim
CC  B )  <->  ( R  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) ) )
141132, 140mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
142141simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) )
143142r19.21bi 2757 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) )
144 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  =  R )
145144oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  R
) )
146145fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  R ) ) )
147146breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  R ) )  < 
x ) )
148147imbi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  L
) )  <  x
)  <->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  R
) )  <  x
) ) )
149148rexralbidv 2909 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
150149adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
151143, 150mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
152151ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x ) )
153131, 152r19.29a 2932 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
154 fresin 5752 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) : ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) --> CC )
155133, 154syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) : ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) --> CC )
156 inss2 3653 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  ( -oo (,) B )
157 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) B )  C_  RR
158156, 157sstri 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  RR
159 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
160159a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
161158, 160syl5ss 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) 
C_  CC )
162155, 161, 50ellimc3 22834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim
CC  B )  <->  ( L  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) ) ) )
1632, 162mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
164163simprd 465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
165164r19.21bi 2757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
166153, 165r19.29a 2932 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
167166ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
16825, 159syl6ss 3444 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
169133, 168, 50ellimc3 22834 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) ) )
1703, 167, 169mpbir2and 933 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13297   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   lim CC climc 22817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cnp 20244  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821
This theorem is referenced by:  limclr  37736
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