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Theorem limcleqr 37822
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcleqr.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
limcleqr.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
limcleqr.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcleqr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
limcleqr.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
limcleqr.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
limcleqr.leqr  |-  ( ph  ->  L  =  R )
Assertion
Ref Expression
limcleqr  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B )  C_  CC
2 limcleqr.l . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim CC  B ) )
31, 2sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
4 simp-4r 785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  a  e.  RR+ )
5 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  b  e.  RR+ )
64, 5ifcld 3915 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  if (
a  <_  b , 
a ,  b )  e.  RR+ )
7 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ph  /\  x  e.  RR+ )
8 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  a  e.  RR+
97, 8nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )
10 nfra1 2785 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )
119, 10nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )
12 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  b  e.  RR+
1311, 12nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )
14 nfra1 2785 . . . . . . . 8  |-  F/ z A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
1513, 14nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
16 simp-6l 788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  ph )
17163ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ph )
18 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  A )
19 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  <  B )
20 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  e.  RR*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  -> -oo  e.  RR* )
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2322rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
24233ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  B  e.  RR* )
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2625sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
27263adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  RR )
2827mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  -> -oo  <  z
)
29 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  <  B )
3021, 24, 27, 28, 29eliood 37691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( -oo (,) B ) )
3117, 18, 19, 30syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( -oo (,) B ) )
32 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
3332oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L )  =  ( ( F `  z )  -  L
) )
3433eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  (
( F `  z
)  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L
) )
3534fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( -oo (,) B )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) ) )
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `
 z )  -  L ) ) )
37 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
38373ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
3918, 31elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) )
4038, 39jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ) )
41 simpl3l 1085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  z  =/=  B )
424adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  a  e.  RR+ )
43423ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  a  e.  RR+ )
445adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  < 
B )  ->  b  e.  RR+ )
45443ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  b  e.  RR+ )
46 simpl3r 1086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
47 simpl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ph )
48 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
4926recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
5022recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5249, 51subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  -  B )  e.  CC )
5352abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  e.  RR )
5447, 48, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  e.  RR )
55 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  RR+  ->  a  e.  RR )
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
57 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  RR+  ->  b  e.  RR )
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
5956, 58ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
60593adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  e.  RR )
62563adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  a  e.  RR )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  a  e.  RR )
64 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) )
65583adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  b  e.  RR )
66 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  a
)
6762, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_ 
a )
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  a )
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
a )
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)
7141, 70jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
) )
72 rspa 2774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) )  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
7340, 71, 72sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
7436, 73eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  z  <  B
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
75 simp-6l 788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  -.  z  <  B )  ->  ph )
76753ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  ph )
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  e.  RR )
78 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  z  e.  A )
7976, 78, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  z  e.  RR )
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  B  ->  z  =/=  B )
8180necomd 2698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/=  B  ->  B  =/=  z )
8281ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b ) )  /\  -.  z  <  B )  ->  B  =/=  z )
83823ad2antl3 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  =/=  z )
84 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  -.  z  <  B )
8577, 79, 83, 84lttri5d 37605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  B  <  z )
86 simp-6l 788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  ph )
87863ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ph )
88 simpl2 1034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  A )
89 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  B  <  z )
90233ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  B  e.  RR* )
91 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- +oo  e.  RR*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  -> +oo  e.  RR* )
93263adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  RR )
94 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  B  <  z )
9593ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  < +oo )
9690, 92, 93, 94, 95eliood 37691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( B (,) +oo )
)
9787, 88, 89, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( B (,) +oo )
)
98 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  =  ( F `
 z ) )
9998eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( F `  z )  =  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z ) )
10099oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( ( F `  z )  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )
101100fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( B (,) +oo )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z )  -  L ) ) )
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  =  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `
 z )  -  L ) ) )
103 simpl1r 1082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
10488, 97elind 3609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) )
105103, 104jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ) )
106 simpl3l 1085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  z  =/=  B )
1074adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  a  e.  RR+ )
1081073ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  a  e.  RR+ )
1095adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  B  < 
z )  ->  b  e.  RR+ )
1101093ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  b  e.  RR+ )
111 simpl3r 1086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )
11265adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  b  e.  RR )
113 min2 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  <_  b
)
11462, 65, 113syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ 
/\  b  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_ 
b )
115114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  <_  b )
11654, 61, 112, 64, 115ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  (
( abs `  (
z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b , 
a ,  b )  /\  z  e.  A
) )  ->  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )
11787, 108, 110, 111, 88, 116syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)
118106, 117jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
) )
119 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  /\  z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) )  ->  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x ) )
120105, 118, 119sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )
121102, 120eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  B  <  z
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  L
) )  <  x
)
12285, 121syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  /\  -.  z  < 
B )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )
12374, 122pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B
) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  a )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
if ( a  <_ 
b ,  a ,  b ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x )
1241233exp 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
12515, 124ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
126 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) )
127126anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) ) ) )
128127imbi1d 324 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )  <->  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
129128ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( y  =  if ( a  <_  b ,  a ,  b )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
130129rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( if ( a  <_ 
b ,  a ,  b )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  if ( a  <_  b ,  a ,  b ) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
1316, 125, 130syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
132 limcleqr.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim CC  B ) )
133 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
134 fresin 5764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) : ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) --> CC )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) : ( A  i^i  ( B (,) +oo )
) --> CC )
136 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) )  C_  ( B (,) +oo )
137 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B (,) +oo )  C_  CC
138136, 137sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) )  C_  CC
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) 
C_  CC )
140135, 139, 50ellimc3 22913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) lim
CC  B )  <->  ( R  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) ) )
141132, 140mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
142141simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) )
143142r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) )
144 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  =  R )
145144oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L )  =  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  R
) )
146145fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  =  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  R ) ) )
147146breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x  <->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  R ) )  < 
x ) )
148147imbi2d 323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  L
) )  <  x
)  <->  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z )  -  R
) )  <  x
) ) )
149148rexralbidv 2898 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
150149adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x )  <->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  R ) )  <  x ) ) )
151143, 150mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  b
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( B (,) +oo ) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
152151ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. b  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( B (,) +oo ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  ( B (,) +oo )
) `  z )  -  L ) )  < 
x ) )
153131, 152r19.29a 2918 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  a  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
154 fresin 5764 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) : ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) --> CC )
155133, 154syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) : ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) --> CC )
156 inss2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  ( -oo (,) B )
157 ioossre 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) B )  C_  RR
158156, 157sstri 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) )  C_  RR
159 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
160159a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
161158, 160syl5ss 3429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) 
C_  CC )
162155, 161, 50ellimc3 22913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) lim
CC  B )  <->  ( L  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  a )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  ( -oo (,) B ) ) `  z )  -  L ) )  <  x ) ) ) )
1632, 162mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) )
164163simprd 470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
165164r19.21bi 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  A. z  e.  ( A  i^i  ( -oo (,) B ) ) ( ( z  =/= 
B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  a
)  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  ( -oo (,) B
) ) `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
166153, 165r19.29a 2918 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  L ) )  < 
x ) )
167166ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) )
16825, 159syl6ss 3430 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
169133, 168, 50ellimc3 22913 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( L  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  L ) )  <  x ) ) ) )
1703, 167, 169mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  L  e.  ( F lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  limclr  37833
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