Theorem limcleqr 37822

Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcleqr.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limcleqr.a	|- ( ph -> A C_ RR )
limcleqr.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
limcleqr.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcleqr.b	|- ( ph -> B e. RR )
limcleqr.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
limcleqr.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
limcleqr.leqr	|- ( ph -> L = R )

Assertion

Ref	Expression
limcleqr	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Proof of Theorem limcleqr

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22909	. . 3 |- ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) C_ CC
2		limcleqr.l	. . 3 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) )
3	1, 2	sseldi 3416	. 2 |- ( ph -> L e. CC )
4		simp-4r 785	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> a e. RR+ )
5		simplr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> b e. RR+ )
6	4, 5	ifcld 3915	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ )
7		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ph /\ x e. RR+ )
8		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z a e. RR+
9	7, 8	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ )
10		nfra1 2785	. . . . . . . . . 10 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
11	9, 10	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ z ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
12		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ z b e. RR+
13	11, 12	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ )
14		nfra1 2785	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
15	13, 14	nfan 2031	. . . . . . 7 |- F/ z ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
16		simp-6l 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> ph )
17	16	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ph )
18		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. A )
19		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z < B )
20		mnfxr 11437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -oo e. RR*
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo e. RR* )
22		limcleqr.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> B e. RR* )
25		limcleqr.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
26	25	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. RR )
27	26	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. RR )
28	27	mnfltd 11449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> -oo < z )
29		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z < B )
30	21, 24, 27, 28, 29	eliood 37691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
31	17, 18, 19, 30	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( -oo (,) B ) )
32		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
33	32	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
34	33	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) )
35	34	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( -oo (,) B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) )
37		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
38	37	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
39	18, 31	elind 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) )
40	38, 39	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) )
41		simpl3l 1085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> z =/= B )
42	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
43	42	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> a e. RR+ )
44	5	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
45	44	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> b e. RR+ )
46		simpl3r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
47		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ph )
48		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> z e. A )
49	26	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
50	22	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. CC )
51	50	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> B e. CC )
52	49, 51	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( z - B ) e. CC )
53	52	abscld 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
54	47, 48, 53	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) e. RR )
55		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. RR+ -> a e. RR )
56	55	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
57		rpre 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. RR+ -> b e. RR )
58	57	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
59	56, 58	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
60	59	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
61	60	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) e. RR )
62	56	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
63	62	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> a e. RR )
64		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
65	58	3adant1 1048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
66		min1 11506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
67	62, 65, 66	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ a )
69	54, 61, 63, 64, 68	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
70	17, 43, 45, 46, 18, 69	syl32anc 1300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < a )
71	41, 70	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) )
72		rspa 2774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
73	40, 71, 72	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x )
74	36, 73	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
75		simp-6l 788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ph )
77	76, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B e. RR )
78		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. A )
79	76, 78, 26	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> z e. RR )
80		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= B -> z =/= B )
81	80	necomd 2698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z =/= B -> B =/= z )
82	81	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
83	82	3ad2antl3 1194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B =/= z )
84		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> -. z < B )
85	77, 79, 83, 84	lttri5d 37605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> B < z )
86		simp-6l 788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> ph )
87	86	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ph )
88		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. A )
89		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> B < z )
90	23	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B e. RR* )
91		pnfxr 11435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- +oo e. RR*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> +oo e. RR* )
93	26	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. RR )
94		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> B < z )
95	93	ltpnfd 11446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z < +oo )
96	90, 92, 93, 94, 95	eliood 37691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
97	87, 88, 89, 96	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( B (,) +oo ) )
98		fvres 5893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
99	98	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( F ` z ) = ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) )
100	99	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( ( F ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) )
101	100	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( B (,) +oo ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
102	97, 101	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) )
103		simpl1r 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
104	88, 97	elind 3609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) )
105	103, 104	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) )
106		simpl3l 1085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> z =/= B )
107	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
108	107	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> a e. RR+ )
109	5	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
110	109	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> b e. RR+ )
111		simpl3r 1086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) )
112	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> b e. RR )
113		min2 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
114	62, 65, 113	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
115	114	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> if ( a <_ b , a , b ) <_ b )
116	54, 61, 112, 64, 115	ltletrd 9812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ ( ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) /\ z e. A ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
117	87, 108, 110, 111, 88, 116	syl32anc 1300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < b )
118	106, 117	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) )
119		rspa 2774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) /\ z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
120	105, 118, 119	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x )
121	102, 120	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ B < z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
122	85, 121	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) /\ -. z < B ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
123	74, 122	pm2.61dan 808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
124	123	3exp 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
125	15, 124	ralrimi 2800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
126		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( abs ` ( z - B ) ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) )
127	126	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) <-> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) ) )
128	127	imbi1d 324	. . . . . . . 8 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
129	128	ralbidv 2829	. . . . . . 7 |- ( y = if ( a <_ b , a , b ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
130	129	rspcev 3136	. . . . . 6 |- ( ( if ( a <_ b , a , b ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < if ( a <_ b , a , b ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
131	6, 125, 130	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) /\ b e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
132		limcleqr.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) )
133		limcleqr.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A --> CC )
134		fresin 5764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) +oo ) ) : ( A i^i ( B (,) +oo ) ) --> CC )
136		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ ( B (,) +oo )
137		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) +oo ) C_ CC
138	136, 137	sstri 3427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A i^i ( B (,) +oo ) ) C_ CC )
140	135, 139, 50	ellimc3 22913	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R e. ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) lim CC B ) <-> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) ) )
141	132, 140	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R e. CC /\ A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
142	141	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
143	142	r19.21bi 2776	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
144		limcleqr.leqr	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L = R )
145	144	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) = ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) )
146	145	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) = ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) )
147	146	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x <-> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) )
148	147	imbi2d 323	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
149	148	rexralbidv 2898	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
150	149	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) <-> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - R ) ) < x ) ) )
151	143, 150	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
152	151	ad2antrr 740	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. b e. RR+ A. z e. ( A i^i ( B (,) +oo ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( B (,) +oo ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
153	131, 152	r19.29a 2918	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ a e. RR+ ) /\ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
154		fresin 5764	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
155	133, 154	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F |` ( -oo (,) B ) ) : ( A i^i ( -oo (,) B ) ) --> CC )
156		inss2 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ ( -oo (,) B )
157		ioossre 11721	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) B ) C_ RR
158	156, 157	sstri 3427	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ RR
159		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ CC
160	159	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR C_ CC )
161	158, 160	syl5ss 3429	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i ( -oo (,) B ) ) C_ CC )
162	155, 161, 50	ellimc3 22913	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L e. ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
163	2, 162	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) ) )
164	163	simprd 470	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
165	164	r19.21bi 2776	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. a e. RR+ A. z e. ( A i^i ( -oo (,) B ) ) ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( F |` ( -oo (,) B ) ) ` z ) - L ) ) < x ) )
166	153, 165	r19.29a 2918	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
167	166	ralrimiva 2809	. 2 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
168	25, 159	syl6ss 3430	. . 3 |- ( ph -> A C_ CC )
169	133, 168, 50	ellimc3 22913	. 2 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
170	3, 167, 169	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   abscabs 13374   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   lim CC climc 22896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900

This theorem is referenced by:  limclr  37833