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Theorem limciun 19734
Description: A point is a limit of  F on the finite union  U_ x  e.  A B ( x ) iff it is the limit of the restriction of  F to each  B ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limciun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
limciun.2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
limciun.3  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
limciun.4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
limciun  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, F
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)

Proof of Theorem limciun
Dummy variables  g 
a  k  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 19715 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  CC
2 limcresi 19725 . . . . . 6  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )
32rgenw 2733 . . . . 5  |-  A. x  e.  A  ( F lim CC  C )  C_  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )
4 ssiin 4101 . . . . 5  |-  ( ( F lim CC  C ) 
C_  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  A. x  e.  A  ( F lim CC  C ) 
C_  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) )
53, 4mpbir 201 . . . 4  |-  ( F lim
CC  C )  C_  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C )
61, 5ssini 3524 . . 3  |-  ( F lim
CC  C )  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
76a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  C_  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
8 elriin 4123 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_
x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim
CC  C ) )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
9 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  CC )
10 limciun.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
1110ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A  e.  Fin )
12 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )
13 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
14 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ a  /  x ]_ B
1513, 14nfres 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
16 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x lim CC
17 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x C
1815, 16, 17nfov 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
1918nfcri 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C )
20 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  B  =  [_ a  /  x ]_ B )
2120reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( F  |`  B )  =  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) )
2221oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B ) lim
CC  C )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
2322eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  <->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2419, 23rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) ) )
2512, 24mpan9 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim CC  C ) )
26 limciun.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
2726ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  F : U_ x  e.  A  B --> CC )
28 ssiun2 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
)
29 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a B
3029, 14, 20cbviun 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  A  B  =  U_ a  e.  A  [_ a  /  x ]_ B
3128, 30syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  A  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B
)
3231adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )
33 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : U_ x  e.  A  B --> CC  /\  [_ a  /  x ]_ B  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
3427, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) : [_ a  /  x ]_ B --> CC )
35 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
36 limciun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
38 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x CC
3914, 38nfss 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x [_ a  /  x ]_ B  C_  CC
4020sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( B  C_  CC  <->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4139, 40rspc 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  C_  CC  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC ) )
4235, 37, 41sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  x ]_ B  C_  CC )
43 limciun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  C  e.  CC )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4634, 42, 44, 45ellimc2 19717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4746adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
4825, 47mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  ( y  e.  CC  /\ 
A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
4948simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  A. u  e.  (
TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
50 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)
51 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  y  e.  u )
52 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( y  e.  u  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )  ->  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  ->  ( y  e.  u  ->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3c 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  a  e.  A )  ->  E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
5453ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
55 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. k  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
56 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( TopOpen ` fld )
57 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x  C  e.  k
58 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
k
59 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x { C }
6014, 59nfdif 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } )
6158, 60nfin 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6215, 61nfima 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
63 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x u
6462, 63nfss 3301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
6557, 64nfan 1842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )  C_  u
)
6656, 65nfrex 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
6720difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( B  \  { C }
)  =  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) )
6867ineq2d 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) )
6921, 68imaeq12d 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) " (
k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) )
7069sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B )
" ( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7170anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7271rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  E. k  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7355, 66, 72cbvral 2888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  A. a  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  [_ a  /  x ]_ B ) "
( k  i^i  ( [_ a  /  x ]_ B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7454, 73sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
75 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  k  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
76 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
k  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )
7776imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( F  |`  B )
" ( k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
7877sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  ( ( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
7975, 78anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( g `  x )  ->  (
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  <->  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8079ac6sfi 7310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. k  e.  ( TopOpen ` fld )
( C  e.  k  /\  ( ( F  |`  B ) " (
k  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. g
( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8111, 74, 80syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. g ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )
8245cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8382a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  Top )
84 frn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
) )
8584ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  C_  ( TopOpen ` fld ) )
8611adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A  e.  Fin )
87 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  g  Fn  A )
8887ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g  Fn  A
)
89 dffn4 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
9088, 89sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  g : A -onto-> ran  g )
91 fofi 7351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
9286, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
9345cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
9493toponunii 16952 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
9594rintopn 16937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\ 
ran  g  C_  ( TopOpen
` fld
)  /\  ran  g  e. 
Fin )  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9683, 85, 92, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
9743adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  C  e.  CC )
9897ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  CC )
99 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ( g `
 x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
)  ->  C  e.  ( g `  x
) )
10099ralimi 2741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
101100ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) )
102 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  x )  ->  ( C  e.  z  <->  C  e.  ( g `  x
) ) )
103102ralrn 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x
) ) )
10488, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( A. z  e.  ran  g  C  e.  z  <->  A. x  e.  A  C  e.  ( g `  x ) ) )
105101, 104mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. z  e.  ran  g  C  e.  z
)
106 elrint 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. z  e.  ran  g  C  e.  z ) )
10798, 105, 106sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g ) )
108 indifcom 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  (
U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
109 iunin1 4116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )  =  ( U_ x  e.  A  B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) )
110108, 109eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  U_ x  e.  A  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )
111110imaeq2i 5160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
112 imaiun 5951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" U_ x  e.  A  ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
113111, 112eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( F "
( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) )
114 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
115 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( g `  x
)  e.  ran  g
)
11687, 115sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( g `  x )  e.  ran  g )
117 intss1 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g `  x )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  x )
)
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  x
) )
119114, 118syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  x ) )
120119ssdifd 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( CC  i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
)  C_  ( (
g `  x )  \  { C } ) )
121 sslin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } )  C_  (
( g `  x
)  \  { C } )  ->  ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) )  C_  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
122 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) )  C_  ( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( F " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) ) )
123120, 121, 1223syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) ) )
124 indifcom 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C } ) )  =  ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) )
125124imaeq2i 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )
126 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) 
C_  B
127 resima2 5138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  i^i  ( ( g `  x ) 
\  { C }
) )  C_  B  ->  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `
 x )  \  { C } ) ) )  =  ( F
" ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) ) )
128126, 127ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  B ) " ( B  i^i  ( ( g `  x )  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
129125, 128eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  |`  B ) " ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  =  ( F "
( B  i^i  (
( g `  x
)  \  { C } ) ) )
130123, 129syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) )
131 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  ->  (
( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u  ->  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u )
)
133132adantld 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( C  e.  ( g `  x )  /\  (
( F  |`  B )
" ( ( g `
 x )  i^i  ( B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  -> 
( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u ) )
134133ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  ->  ( A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
135134imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  (
g `  x )  /\  ( ( F  |`  B ) " (
( g `  x
)  i^i  ( B  \  { C } ) ) )  C_  u
) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
136135adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
137 iunss 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  \  { C } ) ) )  C_  u  <->  A. x  e.  A  ( F " ( B  i^i  (
( CC  i^i  |^| ran  g )  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
138136, 137sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  U_ x  e.  A  ( F " ( B  i^i  ( ( CC 
i^i  |^| ran  g ) 
\  { C }
) ) )  C_  u )
139113, 138syl5eqss 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  ( F "
( ( CC  i^i  |^|
ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )
140 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( C  e.  v  <-> 
C  e.  ( CC 
i^i  |^| ran  g ) ) )
141 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) )  =  ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )
142141imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( F " (
v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) )  =  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) ) )
143142sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( F "
( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u 
<->  ( F " (
( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )
144140, 143anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u )  <->  ( C  e.  ( CC  i^i  |^| ran  g )  /\  ( F " ( ( CC 
i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
145144rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  e.  (
TopOpen ` fld )  /\  ( C  e.  ( CC  i^i  |^|
ran  g )  /\  ( F " ( ( CC  i^i  |^| ran  g )  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C }
) ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14696, 107, 139, 145syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  CC  /\ 
A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen ` fld )  /\  y  e.  u ) )  /\  ( g : A --> ( TopOpen ` fld )  /\  A. x  e.  A  ( C  e.  ( g `  x
)  /\  ( ( F  |`  B ) "
( ( g `  x )  i^i  ( B  \  { C }
) ) )  C_  u ) ) )  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
14781, 146exlimddv 1645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  ( u  e.  ( TopOpen
` fld
)  /\  y  e.  u ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) )
148147expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C
) ) )  /\  u  e.  ( TopOpen ` fld )
)  ->  ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
149148ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) )
15026adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  F : U_ x  e.  A  B
--> CC )
151 iunss 4092 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_  CC  <->  A. x  e.  A  B  C_  CC )
15236, 151sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
153152adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  CC )
154150, 153, 97, 45ellimc2 19717 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  (
y  e.  ( F lim
CC  C )  <->  ( y  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( y  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( C  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( U_ x  e.  A  B  \  { C } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
1559, 149, 154mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C
) )
156155ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  A  y  e.  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  C ) ) )
1578, 156syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  -> 
y  e.  ( F lim
CC  C ) ) )
158157ssrdv 3314 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) )  C_  ( F lim CC  C ) )
1597, 158eqssd 3325 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  C
)  =  ( CC 
i^i  |^|_ x  e.  A  ( ( F  |`  B ) lim CC  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   [_csb 3211    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   |^|cint 4010   U_ciun 4053   |^|_ciin 4054   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913   lim CC climc 19702
This theorem is referenced by:  limcun  19735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706
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