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Theorem limcflf 19721
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of  B restricted to  A  \  { B }, to the topology of the complexes. (If  B is not a limit point of  A, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcflf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
limcflf.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limcflf.c  |-  C  =  ( A  \  { B } )
limcflf.l  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
Assertion
Ref Expression
limcflf  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables  t 
s  u  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
21inex1 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  i^i  C )  e. 
_V
32rgenw 2733 . . . . . . . . 9  |-  A. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e. 
_V
4 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )  =  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) )
5 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( ( F  |`  C ) " (
t  i^i  C )
) )
6 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  i^i  C )  C_  C
7 resima2 5138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  i^i  C ) 
C_  C  ->  (
( F  |`  C )
" ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  C ) " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
t  i^i  C )
)
95, 8syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( F  |`  C )
" s )  =  ( F " (
t  i^i  C )
) )
109sseq1d 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( t  i^i 
C )  ->  (
( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
114, 10rexrnmpt 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( t  i^i  C )  e.  _V  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
123, 11mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u ) )
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )
14 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  e.  _V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  =  ( A  \  { B } )
16 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
\  { B }
)  C_  A
1715, 16eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  C_  A
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
1917, 18syl5ss 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  C_  CC )
20 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
2120ssex 4307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
C_  CC  ->  C  e. 
_V )
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  C  e.  _V )
24 restval 13609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { B } )  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( ( nei `  K ) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2514, 23, 24sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( (
( nei `  K
) `  { B } )t  C )  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2613, 25syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  L  =  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) )
2726rexeqdv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. s  e.  L  (
( F  |`  C )
" s )  C_  u 
<->  E. s  e.  ran  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  |->  ( t  i^i  C ) ) ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e. 
Top
30 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
3129, 30mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w )  ->  w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) )
32 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  t  =  w )
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  w  ->  C  =  ( A  \  { B } ) )
3432, 33ineq12d 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  w  ->  (
t  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )
3534imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  w  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  =  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) )
3635sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  w  ->  (
( F " (
t  i^i  C )
)  C_  u  <->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u ) )
3736rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3831, 37sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  K  /\  B  e.  w
)  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
3938anasss 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  K  /\  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
4039rexlimiva 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  E. t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) ( F
" ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
41 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } ) )
4228cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
4342toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. K
4443neii1 17125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) )  ->  t  C_  CC )
4529, 41, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  t  C_  CC )
4643ntropn 17068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  e.  K )
4729, 45, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  e.  K )
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  K  e.  Top )
4943lpss 17161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  CC )  -> 
( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
5029, 18, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  K
) `  A )  C_  CC )
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  K ) `  A ) )
5250, 51sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5352snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5453ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  CC )
5543neiint 17123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  { B }  C_  CC  /\  t  C_  CC )  ->  ( t  e.  ( ( nei `  K
) `  { B } )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
5648, 54, 45, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  <->  { B }  C_  ( ( int `  K
) `  t )
) )
5741, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) )
5852ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  CC )
59 snssg 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  <->  { B }  C_  ( ( int `  K ) `  t
) ) )
6157, 60mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  B  e.  ( ( int `  K
) `  t )
)
6243ntrss2 17076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  t  C_  CC )  -> 
( ( int `  K
) `  t )  C_  t )
6329, 45, 62sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  (
( int `  K
) `  t )  C_  t )
64 ssrin 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( int `  K
) `  t )  C_  t  ->  ( (
( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )
)
65 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C )  C_  (
t  i^i  C )  ->  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
6663, 64, 653syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  ( F " ( t  i^i  C ) ) )
67 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( t  i^i 
C ) )  C_  u )
6866, 67sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u )
69 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( B  e.  w  <->  B  e.  (
( int `  K
) `  t )
) )
7015ineq2i 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  C )  =  ( w  i^i  ( A  \  { B }
) )
71 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  C )  =  ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )
7270, 71syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( w  i^i  ( A  \  { B } ) )  =  ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)
7372imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B }
) ) )  =  ( F " (
( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) ) )
7473sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u  <->  ( F " ( ( ( int `  K ) `  t
)  i^i  C )
)  C_  u )
)
7569, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( ( int `  K ) `  t
)  ->  ( ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  ( B  e.  ( ( int `  K ) `
 t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K
) `  t )  i^i  C ) )  C_  u ) ) )
7675rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( int `  K
) `  t )  e.  K  /\  ( B  e.  ( ( int `  K ) `  t )  /\  ( F " ( ( ( int `  K ) `
 t )  i^i 
C ) )  C_  u ) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )
7747, 61, 68, 76syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  ( u  e.  K  /\  x  e.  u
) )  /\  (
t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
)  /\  ( F " ( t  i^i  C
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
7877rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. t  e.  ( ( nei `  K ) `  { B } ) ( F " ( t  i^i  C ) ) 
C_  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
7940, 78impbid2 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. t  e.  ( ( nei `  K ) `
 { B }
) ( F "
( t  i^i  C
) )  C_  u
) )
8012, 27, 793bitr4rd 278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
u  e.  K  /\  x  e.  u )
)  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u )  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C )
" s )  C_  u ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K
)  /\  x  e.  u )  ->  ( E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
)  <->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
)
8281pm5.74da 669 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  K )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8382ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A. u  e.  K  (
x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) )  <->  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) )
8483pm5.32da 623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " ( w  i^i  ( A  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
85 limcflf.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
8685, 18, 52, 28ellimc2 19717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. w  e.  K  ( B  e.  w  /\  ( F " (
w  i^i  ( A  \  { B } ) ) )  C_  u
) ) ) ) )
8742a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8885, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 19720 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  C ) )
89 fssres 5569 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> CC )
9085, 17, 89sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C ) : C --> CC )
91 isflf 17978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  L  e.  ( Fil `  C
)  /\  ( F  |`  C ) : C --> CC )  ->  ( x  e.  ( ( K 
fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) " s
)  C_  u )
) ) )
9287, 88, 90, 91syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `
 ( F  |`  C ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  K  ( x  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( ( F  |`  C ) "
s )  C_  u
) ) ) )
9384, 86, 923bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
x  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) ) )
9493eqrdv 2402 1  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  ( ( K  fLimf  L ) `  ( F  |`  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   neicnei 17116   limPtclp 17153   Filcfil 17830    fLimf cflf 17920   lim CC climc 19702
This theorem is referenced by:  limcmo  19722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-cnp 17246  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706
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