Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Unicode version

Theorem limcdif 22015
 Description: It suffices to consider functions which are not defined at to define the limit of a function. In particular, the value of the original function at does not affect the limit of . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f
Assertion
Ref Expression
limcdif lim lim

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8
2 fdm 5733 . . . . . . . 8
31, 2syl 16 . . . . . . 7
43adantr 465 . . . . . 6 lim
5 limcrcl 22013 . . . . . . . 8 lim
65adantl 466 . . . . . . 7 lim
76simp2d 1009 . . . . . 6 lim
84, 7eqsstr3d 3539 . . . . 5 lim
96simp3d 1010 . . . . 5 lim
108, 9jca 532 . . . 4 lim
1110ex 434 . . 3 lim
12 undif1 3902 . . . . . . 7
13 difss 3631 . . . . . . . . . . . 12
14 fssres 5749 . . . . . . . . . . . 12
151, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
16 fdm 5733 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10
1817adantr 465 . . . . . . . . 9 lim
19 limcrcl 22013 . . . . . . . . . . 11 lim
2019adantl 466 . . . . . . . . . 10 lim
2120simp2d 1009 . . . . . . . . 9 lim
2218, 21eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8 lim
2320simp3d 1010 . . . . . . . . 9 lim
2423snssd 4172 . . . . . . . 8 lim
2522, 24unssd 3680 . . . . . . 7 lim
2612, 25syl5eqssr 3549 . . . . . 6 lim
2726unssad 3681 . . . . 5 lim
2827, 23jca 532 . . . 4 lim
2928ex 434 . . 3 lim
30 eqid 2467 . . . . . 6 fldt fldt
31 eqid 2467 . . . . . 6 fld fld
32 eqid 2467 . . . . . 6
331adantr 465 . . . . . 6
34 simprl 755 . . . . . 6
35 simprr 756 . . . . . 6
3630, 31, 32, 33, 34, 35ellimc 22012 . . . . 5 lim fldt fld
3712eqcomi 2480 . . . . . . 7
3837oveq2i 6293 . . . . . 6 fldt fldt
39 eqid 2467 . . . . . . . 8
4037, 39mpteq12i 4531 . . . . . . 7
41 elun 3645 . . . . . . . . 9
42 elsn 4041 . . . . . . . . . . 11
4342orbi2i 519 . . . . . . . . . 10
44 pm5.61 712 . . . . . . . . . . . 12
45 fvres 5878 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4744, 46sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
4847ifeq2da 3970 . . . . . . . . . 10
4943, 48sylbi 195 . . . . . . . . 9
5041, 49sylbi 195 . . . . . . . 8
5150mpteq2ia 4529 . . . . . . 7
5240, 51eqtr4i 2499 . . . . . 6
5315adantr 465 . . . . . 6
5434ssdifssd 3642 . . . . . 6
5538, 31, 52, 53, 54, 35ellimc 22012 . . . . 5 lim fldt fld
5636, 55bitr4d 256 . . . 4 lim lim
5756ex 434 . . 3 lim lim
5811, 29, 57pm5.21ndd 354 . 2 lim lim
5958eqrdv 2464 1 lim lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3473   cun 3474   wss 3476  cif 3939  csn 4027   cmpt 4505   cdm 4999   cres 5001  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486   ↾t crest 14672  ctopn 14673  ℂfldccnfld 18191   ccnp 19492   lim climc 22001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cnp 19495  df-xms 20558  df-ms 20559  df-limc 22005 This theorem is referenced by:  dvcnp2  22058  dvmulbr  22077  dvrec  22093  fourierdlem62  31469
 Copyright terms: Public domain W3C validator