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Mathbox for Glauco Siliprandi |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > limccog | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Limit of the composition
of two functions. If the limit of ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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limccog.1 |
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limccog.2 |
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limccog.3 |
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Ref | Expression |
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limccog |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | limccl 22909 |
. . 3
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2 | limccog.3 |
. . 3
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3 | 1, 2 | sseldi 3416 |
. 2
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4 | limcrcl 22908 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | 2, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | simp1d 1042 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 5 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 5 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . . 10
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9 | eqid 2471 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 6, 7, 8, 9 | ellimc2 22911 |
. . . . . . . . 9
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11 | 2, 10 | mpbid 215 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | simprd 470 |
. . . . . . 7
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13 | 12 | r19.21bi 2776 |
. . . . . 6
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14 | 13 | imp 436 |
. . . . 5
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15 | simp1ll 1093 |
. . . . . . . 8
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16 | simp2 1031 |
. . . . . . . 8
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17 | simp3l 1058 |
. . . . . . . 8
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18 | limccog.2 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | limcrcl 22908 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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21 | 20 | simp1d 1042 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | 20 | simp2d 1043 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 20 | simp3d 1044 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | 21, 22, 23, 9 | ellimc2 22911 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 18, 24 | mpbid 215 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | simprd 470 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | r19.21bi 2776 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | imp 436 |
. . . . . . . 8
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29 | 15, 16, 17, 28 | syl21anc 1291 |
. . . . . . 7
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30 | imaco 5347 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 15 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | simpl3r 1086 |
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33 | 32 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | simpr 468 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | simpr 468 |
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36 | imassrn 5185 |
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37 | limccog.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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38 | 36, 37 | syl5ss 3429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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39 | 38 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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40 | 35, 39 | ssind 3647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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41 | imass2 5210 |
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42 | 40, 41 | syl 17 |
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43 | 42 | adantlr 729 |
. . . . . . . . . . . . 13
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44 | simplr 770 |
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45 | 43, 44 | sstrd 3428 |
. . . . . . . . . . . 12
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46 | 31, 33, 34, 45 | syl21anc 1291 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 30, 46 | syl5eqss 3462 |
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48 | 47 | ex 441 |
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49 | 48 | anim2d 575 |
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50 | 49 | reximdva 2858 |
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51 | 29, 50 | mpd 15 |
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52 | 51 | rexlimdv3a 2873 |
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53 | 14, 52 | mpd 15 |
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54 | 53 | ex 441 |
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55 | 54 | ralrimiva 2809 |
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56 | ffun 5742 |
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57 | 21, 56 | syl 17 |
. . . . . 6
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58 | fdmrn 5756 |
. . . . . 6
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59 | 57, 58 | sylib 201 |
. . . . 5
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60 | 37 | difss2d 3552 |
. . . . 5
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61 | 59, 60 | fssd 5750 |
. . . 4
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62 | fco 5751 |
. . . 4
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63 | 6, 61, 62 | syl2anc 673 |
. . 3
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64 | 63, 22, 23, 9 | ellimc2 22911 |
. 2
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65 | 3, 55, 64 | mpbir2and 936 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-pm 7493 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-fz 11811 df-seq 12252 df-exp 12311 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-starv 15283 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-unif 15291 df-rest 15399 df-topn 15400 df-topgen 15420 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-cnfld 19048 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-topsp 20001 df-cnp 20321 df-xms 21413 df-ms 21414 df-limc 22900 |
This theorem is referenced by: dirkercncflem2 38078 fourierdlem53 38135 fourierdlem93 38175 fourierdlem111 38193 |
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