Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limccog Structured version   Unicode version

Theorem limccog 31485
 Description: Limit of the composition of two functions. If the limit of at is and the limit of at is , then the limit of at is . With respect to limcco 22165 and limccnp 22163, here we drop continuity assumptions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limccog.1
limccog.2 lim
limccog.3 lim
Assertion
Ref Expression
limccog lim

Proof of Theorem limccog
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22147 . . . 4 lim
2 limccog.3 . . . 4 lim
31, 2sseldi 3507 . . 3
4 limcrcl 22146 . . . . . . . . . . . . 13 lim
52, 4syl 16 . . . . . . . . . . . 12
65simp1d 1008 . . . . . . . . . . 11
75simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11
85simp3d 1010 . . . . . . . . . . 11
9 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 fld fld
106, 7, 8, 9ellimc2 22149 . . . . . . . . . 10 lim fld fld
112, 10mpbid 210 . . . . . . . . 9 fld fld
1211simprd 463 . . . . . . . 8 fld fld
1312r19.21bi 2836 . . . . . . 7 fld fld
1413imp 429 . . . . . 6 fld fld
15 simp1ll 1059 . . . . . . . . . . 11 fld fld
16 simp2 997 . . . . . . . . . . 11 fld fld fld
1715, 16jca 532 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
18 simp3l 1024 . . . . . . . . . 10 fld fld
19 limccog.2 . . . . . . . . . . . . . 14 lim
20 limcrcl 22146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 lim
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15
2421simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15
2522, 23, 24, 9ellimc2 22149 . . . . . . . . . . . . . 14 lim fld fld
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
2726simprd 463 . . . . . . . . . . . 12 fld fld
2827r19.21bi 2836 . . . . . . . . . . 11 fld fld
2928imp 429 . . . . . . . . . 10 fld fld
3017, 18, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9 fld fld fld
3115ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld fld
32 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 fld fld fld
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 fld fld fld
3431, 33jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld fld
35 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 fld fld fld
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 imassrn 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 limccog.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3937, 38syl5ss 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4136, 40jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42 ssin 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4341, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
44 imass2 5378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . 14
4934, 35, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld fld
50 imaco 5518 . . . . . . . . . . . . . 14
5150sseq1i 3533 . . . . . . . . . . . . 13
5249, 51sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
5352ex 434 . . . . . . . . . . 11 fld fld fld
5453anim2d 565 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
5554reximdva 2942 . . . . . . . . 9 fld fld fld fld
5630, 55mpd 15 . . . . . . . 8 fld fld fld
57563exp 1195 . . . . . . 7 fld fld fld
5857rexlimdv 2957 . . . . . 6 fld fld fld
5914, 58mpd 15 . . . . 5 fld fld
6059ex 434 . . . 4 fld fld
6160ralrimiva 2881 . . 3 fld fld
623, 61jca 532 . 2 fld fld
63 ffun 5739 . . . . . . 7
6422, 63syl 16 . . . . . 6
65 fdmrn 5752 . . . . . 6
6664, 65sylib 196 . . . . 5
6738difss2d 3639 . . . . 5
68 fss 5745 . . . . 5
6966, 67, 68syl2anc 661 . . . 4
70 fco 5747 . . . 4
716, 69, 70syl2anc 661 . . 3
7271, 23, 24, 9ellimc2 22149 . 2 lim fld fld
7362, 72mpbird 232 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818   cdif 3478   cin 3480   wss 3481  csn 4033   cdm 5005   crn 5006  cima 5008   ccom 5009   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  ctopn 14694  ℂfldccnfld 18290   lim climc 22134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cnp 19597  df-xms 20691  df-ms 20692  df-limc 22138 This theorem is referenced by:  dirkercncflem2  31727  fourierdlem53  31783  fourierdlem93  31823  fourierdlem111  31841
 Copyright terms: Public domain W3C validator