Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limccog Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem limccog 37797
 Description: Limit of the composition of two functions. If the limit of at is and the limit of at is , then the limit of at is . With respect to limcco 22927 and limccnp 22925, here we drop continuity assumptions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limccog.1
limccog.2 lim
limccog.3 lim
Assertion
Ref Expression
limccog lim

Proof of Theorem limccog
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . 3 lim
2 limccog.3 . . 3 lim
31, 2sseldi 3416 . 2
4 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . . 12 lim
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11
65simp1d 1042 . . . . . . . . . 10
75simp2d 1043 . . . . . . . . . 10
85simp3d 1044 . . . . . . . . . 10
9 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 fld fld
106, 7, 8, 9ellimc2 22911 . . . . . . . . 9 lim fld fld
112, 10mpbid 215 . . . . . . . 8 fld fld
1211simprd 470 . . . . . . 7 fld fld
1312r19.21bi 2776 . . . . . 6 fld fld
1413imp 436 . . . . 5 fld fld
15 simp1ll 1093 . . . . . . . 8 fld fld
16 simp2 1031 . . . . . . . 8 fld fld fld
17 simp3l 1058 . . . . . . . 8 fld fld
18 limccog.2 . . . . . . . . . . . 12 lim
19 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . . . . . 15 lim
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
2120simp1d 1042 . . . . . . . . . . . . 13
2220simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . 13
2320simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . 13
2421, 22, 23, 9ellimc2 22911 . . . . . . . . . . . 12 lim fld fld
2518, 24mpbid 215 . . . . . . . . . . 11 fld fld
2625simprd 470 . . . . . . . . . 10 fld fld
2726r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 fld fld
2827imp 436 . . . . . . . 8 fld fld
2915, 16, 17, 28syl21anc 1291 . . . . . . 7 fld fld fld
30 imaco 5347 . . . . . . . . . . 11
3115ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
32 simpl3r 1086 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld fld
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
34 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 fld fld fld
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37 limccog.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3836, 37syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4035, 39ssind 3647 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
44 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12
4631, 33, 34, 45syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11 fld fld fld
4730, 46syl5eqss 3462 . . . . . . . . . 10 fld fld fld
4847ex 441 . . . . . . . . 9 fld fld fld
4948anim2d 575 . . . . . . . 8 fld fld fld
5049reximdva 2858 . . . . . . 7 fld fld fld fld
5129, 50mpd 15 . . . . . 6 fld fld fld
5251rexlimdv3a 2873 . . . . 5 fld fld fld
5314, 52mpd 15 . . . 4 fld fld
5453ex 441 . . 3 fld fld
5554ralrimiva 2809 . 2 fld fld
56 ffun 5742 . . . . . . 7
5721, 56syl 17 . . . . . 6
58 fdmrn 5756 . . . . . 6
5957, 58sylib 201 . . . . 5
6037difss2d 3552 . . . . 5
6159, 60fssd 5750 . . . 4
62 fco 5751 . . . 4
636, 61, 62syl2anc 673 . . 3
6463, 22, 23, 9ellimc2 22911 . 2 lim fld fld
653, 55, 64mpbir2and 936 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  csn 3959   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   ccom 4843   wfun 5583  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   lim climc 22896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900 This theorem is referenced by:  dirkercncflem2  38078  fourierdlem53  38135  fourierdlem93  38175  fourierdlem111  38193
 Copyright terms: Public domain W3C validator