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Theorem limccnp2 19732
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, X    x, A    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
2 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 17263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  ->  <. C ,  D >.  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 txtopon 17576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
97, 7, 8mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
12 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1310, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
14 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
159, 13, 14sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
165, 15syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
17 toponuni 16947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
194, 18eleqtrrd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
20 opelxp 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
2119, 20sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
2221simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
2322ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  X )
24 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ph )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
26 elun 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2725, 26sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2827ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  e.  { B } ) )
29 elsni 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
3028, 29syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  =  B ) )
3130con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  =  B  ->  x  e.  A ) )
3231imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
33 limccnp2.r . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
3424, 32, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  R  e.  X )
3523, 34ifclda 3726 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  e.  X )
3621simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
3736ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  D  e.  Y )
38 limccnp2.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
3924, 32, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  S  e.  Y )
4037, 39ifclda 3726 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  e.  Y )
41 opelxpi 4869 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  =  B ,  C ,  R )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  D ,  S )  e.  Y
)  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
4235, 40, 41syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
43 eqidd 2405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
447a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
45 cnpf2 17268 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4616, 44, 1, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4746feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( H `
 y ) ) )
48 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  ( H `  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
49 df-ov 6043 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )
50 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R )  =  C )
51 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S )  =  D )
5250, 51oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( C H D ) )
53 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( C H D ) )
5452, 53eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
55 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  =  R )
56 iffalse 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  =  S )
5755, 56oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  ( R H S ) )
58 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( R H S ) )
5957, 58eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6054, 59pm2.61i 158 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) )
6149, 60eqtr3i 2426 . . . . 5  |-  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )
6248, 61syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6342, 43, 47, 62fmptco 5860 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) ) )
64 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
6533, 64fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X )
66 fdm 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
68 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
69 limcrcl 19714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7170simp2d 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7267, 71eqsstr3d 3343 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7370simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7473snssd 3903 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
7572, 74unssd 3483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
76 resttopon 17179 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
777, 75, 76sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
78 ssun2 3471 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
79 snssg 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8073, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8178, 80mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
8210adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8382, 33sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
84 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
8572, 73, 83, 84, 6limcmpt 19723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
8668, 85mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
87 limccnp2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
8811adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
8988, 38sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9072, 73, 89, 84, 6limcmpt 19723 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
9187, 90mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
9277, 44, 44, 81, 86, 91txcnp 17605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
) )
939topontopi 16951 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  e. 
Top
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
95 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
9642, 95fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y ) )
97 toponuni 16947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9877, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9998feq2d 5540 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) ) )
10096, 99mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) )
101 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
1029toponunii 16952 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
103101, 102cnprest2 17308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10494, 100, 13, 103syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10592, 104mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) )
1065oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K 
tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) )
107106fveq1i 5688 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) ) ) `  B )
108105, 107syl6eleqr 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
10950, 51opeq12d 3952 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  =  <. C ,  D >. )
110 opex 4387 . . . . . . . 8  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
111109, 95, 110fvmpt 5765 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
11281, 111syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
113112fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
1141, 113eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B ) ) )
115 cnpco 17285 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) ) )  ->  ( H  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
116108, 114, 115syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )
)
11763, 116eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
11846adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
119118, 33, 38fovrnd 6177 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
12072, 73, 119, 84, 6limcmpt 19723 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
121117, 120mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    CnP ccnp 17243    tX ctx 17545   lim CC climc 19702
This theorem is referenced by:  dvcnp2  19759  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcobr  19785  lhop1lem  19850  taylthlem2  20243
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706
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