Theorem limccnp2 22834

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, X   x, A   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
2		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 20248	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) -> <. C , D >. e. U. J )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
5		limccnp2.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
6		limccnp2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 21790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. (TopOn ` CC )
8		txtopon 20593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
9	7, 7, 8	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
10		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
11		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ CC )
12		xpss12 4956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14		resttopon 20164	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15	9, 13, 14	sylancr 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	5, 15	syl5eqel 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17		toponuni 19929	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
19	4, 18	eleqtrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
20		opelxp 4880	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
21	19, 20	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
22	21	simpld 460	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
23	22	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. X )
24		simpll 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
25		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) )
26		elun 3606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
27	25, 26	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
28	27	ord 378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x e. { B } ) )
29		elsni 4021	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { B } -> x = B )
30	28, 29	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x = B ) )
31	30	con1d 127	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x = B -> x e. A ) )
32	31	imp 430	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
33		limccnp2.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
34	24, 32, 33	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> R e. X )
35	23, 34	ifclda 3941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , R ) e. X )
36	21	simprd 464	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
37	36	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> D e. Y )
38		limccnp2.s	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
39	24, 32, 38	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> S e. Y )
40	37, 39	ifclda 3941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , D , S ) e. Y )
41		opelxpi 4882	. . . . 5 |- ( ( if ( x = B , C , R ) e. X /\ if ( x = B , D , S ) e. Y ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
43		eqidd 2423	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
44	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
45		cnpf2 20253	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
46	16, 44, 1, 45	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
47	46	feqmptd 5931	. . . 4 |- ( ph -> H = ( y e. ( X X. Y ) |-> ( H ` y ) ) )
48		fveq2 5878	. . . . 5 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
49		df-ov 6305	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
50		ovif12 6386	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
51	49, 50	eqtr3i 2453	. . . . 5 |- ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
52	48, 51	syl6eq 2479	. . . 4 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
53	42, 43, 47, 52	fmptco 6068	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) )
54		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
55	54, 33	dmmptd 5723	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
56		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
57		limcrcl 22816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
59	58	simp2d 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
60	55, 59	eqsstr3d 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
61	58	simp3d 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
62	61	snssd 4142	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ CC )
63	60, 62	unssd 3642	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
64		resttopon 20164	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
65	7, 63, 64	sylancr 667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
66		ssun2 3630	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
67		snssg 4130	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
68	61, 67	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
69	66, 68	mpbiri 236	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
70	10	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
71	70, 33	sseldd 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
72		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
73	60, 61, 71, 72, 6	limcmpt 22825	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
74	56, 73	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
75		limccnp2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
76	11	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
77	76, 38	sseldd 3465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
78	60, 61, 77, 72, 6	limcmpt 22825	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
79	75, 78	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
80	65, 44, 44, 69, 74, 79	txcnp 20622	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) )
81	9	topontopi 19933	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. Top
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
83		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
84	42, 83	fmptd 6058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) )
85		toponuni 19929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
86	65, 85	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
87	86	feq2d 5730	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) ) )
88	84, 87	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) )
89		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
90	9	toponunii 19934	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
91	89, 90	cnprest2 20293	. . . . . . 7 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
92	82, 88, 13, 91	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
93	80, 92	mpbid 213	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) )
94	5	oveq2i 6313	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) )
95	94	fveq1i 5879	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B )
96	93, 95	syl6eleqr 2521	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
97		iftrue 3915	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , C , R ) = C )
98		iftrue 3915	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , D , S ) = D )
99	97, 98	opeq12d 4192	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. = <. C , D >. )
100		opex 4682	. . . . . . . 8 |- <. C , D >. e. _V
101	99, 83, 100	fvmpt 5961	. . . . . . 7 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
102	69, 101	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
103	102	fveq2d 5882	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
104	1, 103	eleqtrrd 2513	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) )
105		cnpco 20270	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) ) -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
106	96, 104, 105	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
107	53, 106	eqeltrrd 2511	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
108	46	adantr 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
109	108, 33, 38	fovrnd 6452	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
110	60, 61, 109, 72, 6	limcmpt 22825	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
111	107, 110	mpbird 235	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   u. cun 3434   C_ wss 3436   ifcif 3909   {csn 3996   <.cop 4002   U.cuni 4216   |-> cmpt 4479   X. cxp 4848   dom cdm 4850   o. ccom 4854   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   ↾_t crest 15307   TopOpenctopn 15308  ℂ_fldccnfld 18958   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   CnP ccnp 20228   tX ctx 20562   lim CC climc 22804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-fz 11786  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-rest 15309  df-topn 15310  df-topgen 15330  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cnp 20231  df-tx 20564  df-xms 21322  df-ms 21323  df-limc 22808

This theorem is referenced by:  dvcnp2  22861  dvaddbr  22879  dvmulbr  22880  dvcobr  22887  lhop1lem  22952  taylthlem2  23316