Theorem limccnp2 22031

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, X   x, A   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
2		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 19512	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) -> <. C , D >. e. U. J )
4	1, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
5		limccnp2.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
6		limccnp2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 21025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. (TopOn ` CC )
8		txtopon 19827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
9	7, 7, 8	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
10		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
11		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ CC )
12		xpss12 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14		resttopon 19428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15	9, 13, 14	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	5, 15	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17		toponuni 19195	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
19	4, 18	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
20		opelxp 5028	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
23	22	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. X )
24		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) )
26		elun 3645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
28	27	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x e. { B } ) )
29		elsni 4052	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { B } -> x = B )
30	28, 29	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x = B ) )
31	30	con1d 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x = B -> x e. A ) )
32	31	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
33		limccnp2.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
34	24, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> R e. X )
35	23, 34	ifclda 3971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , R ) e. X )
36	21	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
37	36	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> D e. Y )
38		limccnp2.s	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
39	24, 32, 38	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> S e. Y )
40	37, 39	ifclda 3971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , D , S ) e. Y )
41		opelxpi 5030	. . . . 5 |- ( ( if ( x = B , C , R ) e. X /\ if ( x = B , D , S ) e. Y ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
43		eqidd 2468	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
44	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
45		cnpf2 19517	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
46	16, 44, 1, 45	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
47	46	feqmptd 5918	. . . 4 |- ( ph -> H = ( y e. ( X X. Y ) |-> ( H ` y ) ) )
48		fveq2 5864	. . . . 5 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
49		df-ov 6285	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
50		iftrue 3945	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , C , R ) = C )
51		iftrue 3945	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , D , S ) = D )
52	50, 51	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( C H D ) )
53		iftrue 3945	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( C H D ) )
54	52, 53	eqtr4d 2511	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
55		iffalse 3948	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , C , R ) = R )
56		iffalse 3948	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , D , S ) = S )
57	55, 56	oveq12d 6300	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( R H S ) )
58		iffalse 3948	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( R H S ) )
59	57, 58	eqtr4d 2511	. . . . . . 7 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
60	54, 59	pm2.61i 164	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
61	49, 60	eqtr3i 2498	. . . . 5 |- ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
62	48, 61	syl6eq 2524	. . . 4 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
63	42, 43, 47, 62	fmptco 6052	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) )
64		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
65	33, 64	fmptd 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> X )
66		fdm 5733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> R ) : A --> X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
68		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
69		limcrcl 22013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
71	70	simp2d 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
72	67, 71	eqsstr3d 3539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
73	70	simp3d 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
74	73	snssd 4172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ CC )
75	72, 74	unssd 3680	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
76		resttopon 19428	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
77	7, 75, 76	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
78		ssun2 3668	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
79		snssg 4160	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
81	78, 80	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
82	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
83	82, 33	sseldd 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
84		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
85	72, 73, 83, 84, 6	limcmpt 22022	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
86	68, 85	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
87		limccnp2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
88	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
89	88, 38	sseldd 3505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
90	72, 73, 89, 84, 6	limcmpt 22022	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
91	87, 90	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
92	77, 44, 44, 81, 86, 91	txcnp 19856	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) )
93	9	topontopi 19199	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. Top
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
95		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
96	42, 95	fmptd 6043	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) )
97		toponuni 19195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
98	77, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
99	98	feq2d 5716	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) ) )
100	96, 99	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) )
101		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
102	9	toponunii 19200	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
103	101, 102	cnprest2 19557	. . . . . . 7 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
104	94, 100, 13, 103	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
105	92, 104	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) )
106	5	oveq2i 6293	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) )
107	106	fveq1i 5865	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B )
108	105, 107	syl6eleqr 2566	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
109	50, 51	opeq12d 4221	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. = <. C , D >. )
110		opex 4711	. . . . . . . 8 |- <. C , D >. e. _V
111	109, 95, 110	fvmpt 5948	. . . . . . 7 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
112	81, 111	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
113	112	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
114	1, 113	eleqtrrd 2558	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) )
115		cnpco 19534	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) ) -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
116	108, 114, 115	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
117	63, 116	eqeltrrd 2556	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
118	46	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
119	118, 33, 38	fovrnd 6429	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
120	72, 73, 119, 84, 6	limcmpt 22022	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
121	117, 120	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   u. cun 3474   C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   dom cdm 4999   o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   ↾_t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ℂ_fldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   CnP ccnp 19492   tX ctx 19796   lim CC climc 22001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-xms 20558  df-ms 20559  df-limc 22005

This theorem is referenced by:  dvcnp2  22058  dvaddbr  22076  dvmulbr  22077  dvcobr  22084  lhop1lem  22149  taylthlem2  22503