Theorem limccnp2 19732

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, X   x, A   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
2		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 17263	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) -> <. C , D >. e. U. J )
4	1, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
5		limccnp2.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
6		limccnp2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 18770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. (TopOn ` CC )
8		txtopon 17576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
9	7, 7, 8	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
10		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
11		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ CC )
12		xpss12 4940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14		resttopon 17179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15	9, 13, 14	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	5, 15	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17		toponuni 16947	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
19	4, 18	eleqtrrd 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
20		opelxp 4867	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
21	19, 20	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
22	21	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
23	22	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. X )
24		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
25		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) )
26		elun 3448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
27	25, 26	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
28	27	ord 367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x e. { B } ) )
29		elsni 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { B } -> x = B )
30	28, 29	syl6 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x = B ) )
31	30	con1d 118	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x = B -> x e. A ) )
32	31	imp 419	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
33		limccnp2.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
34	24, 32, 33	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> R e. X )
35	23, 34	ifclda 3726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , R ) e. X )
36	21	simprd 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
37	36	ad2antrr 707	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> D e. Y )
38		limccnp2.s	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
39	24, 32, 38	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> S e. Y )
40	37, 39	ifclda 3726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , D , S ) e. Y )
41		opelxpi 4869	. . . . 5 |- ( ( if ( x = B , C , R ) e. X /\ if ( x = B , D , S ) e. Y ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
43		eqidd 2405	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
44	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
45		cnpf2 17268	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
46	16, 44, 1, 45	syl3anc 1184	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
47	46	feqmptd 5738	. . . 4 |- ( ph -> H = ( y e. ( X X. Y ) |-> ( H ` y ) ) )
48		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
49		df-ov 6043	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
50		iftrue 3705	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , C , R ) = C )
51		iftrue 3705	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , D , S ) = D )
52	50, 51	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( C H D ) )
53		iftrue 3705	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( C H D ) )
54	52, 53	eqtr4d 2439	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
55		iffalse 3706	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , C , R ) = R )
56		iffalse 3706	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , D , S ) = S )
57	55, 56	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( R H S ) )
58		iffalse 3706	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( R H S ) )
59	57, 58	eqtr4d 2439	. . . . . . 7 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
60	54, 59	pm2.61i 158	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
61	49, 60	eqtr3i 2426	. . . . 5 |- ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
62	48, 61	syl6eq 2452	. . . 4 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
63	42, 43, 47, 62	fmptco 5860	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) )
64		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
65	33, 64	fmptd 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> X )
66		fdm 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> R ) : A --> X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
68		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
69		limcrcl 19714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
71	70	simp2d 970	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
72	67, 71	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
73	70	simp3d 971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
74	73	snssd 3903	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ CC )
75	72, 74	unssd 3483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
76		resttopon 17179	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
77	7, 75, 76	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
78		ssun2 3471	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
79		snssg 3892	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
81	78, 80	mpbiri 225	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
82	10	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
83	82, 33	sseldd 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
84		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
85	72, 73, 83, 84, 6	limcmpt 19723	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
86	68, 85	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
87		limccnp2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
88	11	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
89	88, 38	sseldd 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
90	72, 73, 89, 84, 6	limcmpt 19723	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
91	87, 90	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
92	77, 44, 44, 81, 86, 91	txcnp 17605	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) )
93	9	topontopi 16951	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. Top
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
95		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
96	42, 95	fmptd 5852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) )
97		toponuni 16947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
98	77, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
99	98	feq2d 5540	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) ) )
100	96, 99	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) )
101		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
102	9	toponunii 16952	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
103	101, 102	cnprest2 17308	. . . . . . 7 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
104	94, 100, 13, 103	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
105	92, 104	mpbid 202	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) )
106	5	oveq2i 6051	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) )
107	106	fveq1i 5688	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B )
108	105, 107	syl6eleqr 2495	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
109	50, 51	opeq12d 3952	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. = <. C , D >. )
110		opex 4387	. . . . . . . 8 |- <. C , D >. e. _V
111	109, 95, 110	fvmpt 5765	. . . . . . 7 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
112	81, 111	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
113	112	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
114	1, 113	eleqtrrd 2481	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) )
115		cnpco 17285	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) ) -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
116	108, 114, 115	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
117	63, 116	eqeltrrd 2479	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
118	46	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
119	118, 33, 38	fovrnd 6177	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
120	72, 73, 119, 84, 6	limcmpt 19723	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
121	117, 120	mpbird 224	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   u. cun 3278   C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   dom cdm 4837   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂ_fldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   CnP ccnp 17243   tX ctx 17545   lim CC climc 19702

This theorem is referenced by:  dvcnp2  19759  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcobr  19785  lhop1lem  19850  taylthlem2  20243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706