Theorem limccnp2 21326

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, X   x, A   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
2		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 18808	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) -> <. C , D >. e. U. J )
4	1, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
5		limccnp2.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
6		limccnp2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 20321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. (TopOn ` CC )
8		txtopon 19123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
9	7, 7, 8	mp2an 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
10		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
11		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ CC )
12		xpss12 4941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14		resttopon 18724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15	9, 13, 14	sylancr 658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	5, 15	syl5eqel 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17		toponuni 18491	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
19	4, 18	eleqtrrd 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
20		opelxp 4865	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
22	21	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
23	22	ad2antrr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. X )
24		simpll 748	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
25		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) )
26		elun 3494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
28	27	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x e. { B } ) )
29		elsni 3899	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { B } -> x = B )
30	28, 29	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x = B ) )
31	30	con1d 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x = B -> x e. A ) )
32	31	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
33		limccnp2.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
34	24, 32, 33	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> R e. X )
35	23, 34	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , R ) e. X )
36	21	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
37	36	ad2antrr 720	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> D e. Y )
38		limccnp2.s	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
39	24, 32, 38	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> S e. Y )
40	37, 39	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , D , S ) e. Y )
41		opelxpi 4867	. . . . 5 |- ( ( if ( x = B , C , R ) e. X /\ if ( x = B , D , S ) e. Y ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
43		eqidd 2442	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
44	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
45		cnpf2 18813	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
46	16, 44, 1, 45	syl3anc 1213	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
47	46	feqmptd 5741	. . . 4 |- ( ph -> H = ( y e. ( X X. Y ) |-> ( H ` y ) ) )
48		fveq2 5688	. . . . 5 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
49		df-ov 6093	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
50		iftrue 3794	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , C , R ) = C )
51		iftrue 3794	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , D , S ) = D )
52	50, 51	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( C H D ) )
53		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( C H D ) )
54	52, 53	eqtr4d 2476	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
55		iffalse 3796	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , C , R ) = R )
56		iffalse 3796	. . . . . . . . 9 |- ( -. x = B -> if ( x = B , D , S ) = S )
57	55, 56	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( R H S ) )
58		iffalse 3796	. . . . . . . 8 |- ( -. x = B -> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) = ( R H S ) )
59	57, 58	eqtr4d 2476	. . . . . . 7 |- ( -. x = B -> ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
60	54, 59	pm2.61i 164	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
61	49, 60	eqtr3i 2463	. . . . 5 |- ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
62	48, 61	syl6eq 2489	. . . 4 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
63	42, 43, 47, 62	fmptco 5873	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) )
64		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
65	33, 64	fmptd 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> X )
66		fdm 5560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> R ) : A --> X -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
68		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
69		limcrcl 21308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
71	70	simp2d 996	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
72	67, 71	eqsstr3d 3388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
73	70	simp3d 997	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
74	73	snssd 4015	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ CC )
75	72, 74	unssd 3529	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
76		resttopon 18724	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
77	7, 75, 76	sylancr 658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
78		ssun2 3517	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
79		snssg 4004	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
80	73, 79	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
81	78, 80	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
82	10	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
83	82, 33	sseldd 3354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
84		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
85	72, 73, 83, 84, 6	limcmpt 21317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
86	68, 85	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
87		limccnp2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
88	11	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
89	88, 38	sseldd 3354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
90	72, 73, 89, 84, 6	limcmpt 21317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
91	87, 90	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
92	77, 44, 44, 81, 86, 91	txcnp 19152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) )
93	9	topontopi 18495	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. Top
94	93	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
95		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
96	42, 95	fmptd 5864	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) )
97		toponuni 18491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
98	77, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
99	98	feq2d 5544	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) ) )
100	96, 99	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) )
101		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
102	9	toponunii 18496	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
103	101, 102	cnprest2 18853	. . . . . . 7 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
104	94, 100, 13, 103	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
105	92, 104	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) )
106	5	oveq2i 6101	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) )
107	106	fveq1i 5689	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B )
108	105, 107	syl6eleqr 2532	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
109	50, 51	opeq12d 4064	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. = <. C , D >. )
110		opex 4553	. . . . . . . 8 |- <. C , D >. e. _V
111	109, 95, 110	fvmpt 5771	. . . . . . 7 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
112	81, 111	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
113	112	fveq2d 5692	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
114	1, 113	eleqtrrd 2518	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) )
115		cnpco 18830	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) ) -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
116	108, 114, 115	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
117	63, 116	eqeltrrd 2516	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
118	46	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
119	118, 33, 38	fovrnd 6234	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
120	72, 73, 119, 84, 6	limcmpt 21317	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
121	117, 120	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   u. cun 3323   C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   <.cop 3880   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   dom cdm 4836   o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   ↾_t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂ_fldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   CnP ccnp 18788   tX ctx 19092   lim CC climc 21296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-xms 19854  df-ms 19855  df-limc 21300

This theorem is referenced by:  dvcnp2  21353  dvaddbr  21371  dvmulbr  21372  dvcobr  21379  lhop1lem  21444  taylthlem2  21798