MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp2 Structured version   Unicode version

Theorem limccnp2 21326
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
limccnp2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
limccnp2.x  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
limccnp2.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
limccnp2.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp2.j  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
limccnp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
limccnp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
limccnp2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp2  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, C    x, D    x, H    ph, x    x, X    x, A    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem limccnp2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 18808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  <. C ,  D >. )  ->  <. C ,  D >.  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e. 
U. J )
5 limccnp2.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )
6 limccnp2.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 20321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 txtopon 19123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( K  tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) ) )
97, 7, 8mp2an 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )
10 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
11 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
12 xpss12 4941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  C_  CC  /\  Y  C_  CC )  ->  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )
1310, 11, 12syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )
14 resttopon 18724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( CC  X.  CC ) )  /\  ( X  X.  Y )  C_  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
159, 13, 14sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
165, 15syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
17 toponuni 18491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. J )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. J
)
194, 18eleqtrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
) )
20 opelxp 4865 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y ) )
2119, 20sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  X  /\  D  e.  Y
) )
2221simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
2322ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  X )
24 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ph )
25 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { B } ) )
26 elun 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2725, 26sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
2827ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  e.  { B } ) )
29 elsni 3899 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
3028, 29syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  e.  A  ->  x  =  B ) )
3130con1d 124 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( -.  x  =  B  ->  x  e.  A ) )
3231imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
33 limccnp2.r . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  X )
3424, 32, 33syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  R  e.  X )
3523, 34ifclda 3818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  e.  X )
3621simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
3736ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  D  e.  Y )
38 limccnp2.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  Y )
3924, 32, 38syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  S  e.  Y )
4037, 39ifclda 3818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  e.  Y )
41 opelxpi 4867 . . . . 5  |-  ( ( if ( x  =  B ,  C ,  R )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  D ,  S )  e.  Y
)  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
4235, 40, 41syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
43 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
447a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
45 cnpf2 18813 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  H  e.  (
( J  CnP  K
) `  <. C ,  D >. ) )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4616, 44, 1, 45syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
4746feqmptd 5741 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  =  ( y  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( H `
 y ) ) )
48 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  ( H `  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)
49 df-ov 6093 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )
50 iftrue 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R )  =  C )
51 iftrue 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S )  =  D )
5250, 51oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  ( C H D ) )
53 iftrue 3794 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( C H D ) )
5452, 53eqtr4d 2476 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
55 iffalse 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  R
)  =  R )
56 iffalse 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  D ,  S
)  =  S )
5755, 56oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  ( R H S ) )
58 iffalse 3796 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )  =  ( R H S ) )
5957, 58eqtr4d 2476 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( if ( x  =  B ,  C ,  R ) H if ( x  =  B ,  D ,  S
) )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6054, 59pm2.61i 164 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  C ,  R
) H if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  =  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) )
6149, 60eqtr3i 2463 . . . . 5  |-  ( H `
 <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) )
6248, 61syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( y  =  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>.  ->  ( H `  y )  =  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) )
6342, 43, 47, 62fmptco 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( C H D ) ,  ( R H S ) ) ) )
64 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
6533, 64fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X )
66 fdm 5560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) : A --> X  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  =  A )
68 limccnp2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B ) )
69 limcrcl 21308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  B )  -> 
( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) : dom  ( x  e.  A  |->  R ) --> CC 
/\  dom  ( x  e.  A  |->  R ) 
C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
7170simp2d 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  R )  C_  CC )
7267, 71eqsstr3d 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
7370simp3d 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7473snssd 4015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
7572, 74unssd 3529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
76 resttopon 18724 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
777, 75, 76sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
78 ssun2 3517 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
79 snssg 4004 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8073, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
8178, 80mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
8210adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  X  C_  CC )
8382, 33sseldd 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  CC )
84 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
8572, 73, 83, 84, 6limcmpt 21317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
8668, 85mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  R )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
87 limccnp2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B ) )
8811adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  C_  CC )
8988, 38sseldd 3354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  S  e.  CC )
9072, 73, 89, 84, 6limcmpt 21317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( x  e.  A  |->  S ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
9187, 90mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
9277, 44, 44, 81, 86, 91txcnp 19152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
) )
939topontopi 18495 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  K )  e. 
Top
9493a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  tX  K
)  e.  Top )
95 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
9642, 95fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y ) )
97 toponuni 18491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9877, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
9998feq2d 5544 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : ( A  u.  { B } ) --> ( X  X.  Y )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) ) )
10096, 99mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y ) )
101 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
1029toponunii 18496 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  CC )  = 
U. ( K  tX  K )
103101, 102cnprest2 18853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  tX  K
)  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) ) --> ( X  X.  Y )  /\  ( X  X.  Y
)  C_  ( CC  X.  CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10494, 100, 13, 103syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( K  tX  K
) ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) ) )
10592, 104mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K  tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) ) `
 B ) )
1065oveq2i 6101 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( ( K 
tX  K )t  ( X  X.  Y ) ) )
107106fveq1i 5689 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  (
( K  tX  K
)t  ( X  X.  Y
) ) ) `  B )
108105, 107syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
10950, 51opeq12d 4064 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >.  =  <. C ,  D >. )
110 opex 4553 . . . . . . . 8  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
111109, 95, 110fvmpt 5771 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
11281, 111syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B )  =  <. C ,  D >. )
113112fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `
 <. C ,  D >. ) )
1141, 113eleqtrrd 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R
) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. ) `  B ) ) )
115 cnpco 18830 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  H  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) `  B ) ) )  ->  ( H  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S ) >. )
)  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
116108, 114, 115syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  <. if ( x  =  B ,  C ,  R ) ,  if ( x  =  B ,  D ,  S )
>. ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )
)
11763, 116eqeltrrd 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
11846adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : ( X  X.  Y ) --> CC )
119118, 33, 38fovrnd 6234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R H S )  e.  CC )
12072, 73, 119, 84, 6limcmpt 21317 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( C H D ) ,  ( R H S ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) ) )
121117, 120mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( C H D )  e.  ( ( x  e.  A  |->  ( R H S ) ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    u. cun 3323    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   <.cop 3880   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   dom cdm 4836    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    CnP ccnp 18788    tX ctx 19092   lim CC climc 21296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-rest 14357  df-topn 14358  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-xms 19854  df-ms 19855  df-limc 21300
This theorem is referenced by:  dvcnp2  21353  dvaddbr  21371  dvmulbr  21372  dvcobr  21379  lhop1lem  21444  taylthlem2  21798
  Copyright terms: Public domain W3C validator