Theorem limccnp2 22274

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
limccnp2.s	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
limccnp2.x	|- ( ph -> X C_ CC )
limccnp2.y	|- ( ph -> Y C_ CC )
limccnp2.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
limccnp2.j	|- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
limccnp2.c	|- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
limccnp2.d	|- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
limccnp2.h	|- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )

Assertion

Ref	Expression
limccnp2	|- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, C   x, D   x, H   ph, x   x, X   x, A   x, Y

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   J( x)   K( x)

Proof of Theorem limccnp2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
2		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
3	2	cnprcl 19724	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) -> <. C , D >. e. U. J )
4	1, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> <. C , D >. e. U. J )
5		limccnp2.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) )
6		limccnp2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	cnfldtopon 21268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. (TopOn ` CC )
8		txtopon 20070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
9	7, 7, 8	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
10		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ CC )
11		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ CC )
12		xpss12 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14		resttopon 19640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
15	9, 13, 14	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
16	5, 15	syl5eqel 2535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
17		toponuni 19406	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) -> ( X X. Y ) = U. J )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X X. Y ) = U. J )
19	4, 18	eleqtrrd 2534	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. C , D >. e. ( X X. Y ) )
20		opelxp 5019	. . . . . . . . 9 |- ( <. C , D >. e. ( X X. Y ) <-> ( C e. X /\ D e. Y ) )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. X /\ D e. Y ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. X )
23	22	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> C e. X )
24		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> ph )
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> x e. ( A u. { B } ) )
26		elun 3630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A u. { B } ) <-> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
27	25, 26	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( x e. A \/ x e. { B } ) )
28	27	ord 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x e. { B } ) )
29		elsni 4039	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { B } -> x = B )
30	28, 29	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x e. A -> x = B ) )
31	30	con1d 124	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> ( -. x = B -> x e. A ) )
32	31	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> x e. A )
33		limccnp2.r	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. X )
34	24, 32, 33	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> R e. X )
35	23, 34	ifclda 3958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , C , R ) e. X )
36	21	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. Y )
37	36	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ x = B ) -> D e. Y )
38		limccnp2.s	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. Y )
39	24, 32, 38	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) /\ -. x = B ) -> S e. Y )
40	37, 39	ifclda 3958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> if ( x = B , D , S ) e. Y )
41		opelxpi 5021	. . . . 5 |- ( ( if ( x = B , C , R ) e. X /\ if ( x = B , D , S ) e. Y ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
42	35, 40, 41	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A u. { B } ) ) -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. e. ( X X. Y ) )
43		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
44	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
45		cnpf2 19729	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
46	16, 44, 1, 45	syl3anc 1229	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( X X. Y ) --> CC )
47	46	feqmptd 5911	. . . 4 |- ( ph -> H = ( y e. ( X X. Y ) |-> ( H ` y ) ) )
48		fveq2 5856	. . . . 5 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) )
49		df-ov 6284	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
50		ovif12 6366	. . . . . 6 |- ( if ( x = B , C , R ) H if ( x = B , D , S ) ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
51	49, 50	eqtr3i 2474	. . . . 5 |- ( H ` <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) )
52	48, 51	syl6eq 2500	. . . 4 |- ( y = <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. -> ( H ` y ) = if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) )
53	42, 43, 47, 52	fmptco 6049	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) )
54		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
55	54, 33	dmmptd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) = A )
56		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) )
57		limcrcl 22256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> R ) : dom ( x e. A |-> R ) --> CC /\ dom ( x e. A |-> R ) C_ CC /\ B e. CC ) )
59	58	simp2d 1010	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> R ) C_ CC )
60	55, 59	eqsstr3d 3524	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
61	58	simp3d 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
62	61	snssd 4160	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { B } C_ CC )
63	60, 62	unssd 3665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A u. { B } ) C_ CC )
64		resttopon 19640	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ ( A u. { B } ) C_ CC ) -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
65	7, 63, 64	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) )
66		ssun2 3653	. . . . . . . 8 |- { B } C_ ( A u. { B } )
67		snssg 4148	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
68	61, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B e. ( A u. { B } ) <-> { B } C_ ( A u. { B } ) ) )
69	66, 68	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A u. { B } ) )
70	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> X C_ CC )
71	70, 33	sseldd 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. CC )
72		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = ( K ↾t ( A u. { B } ) )
73	60, 61, 71, 72, 6	limcmpt 22265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C e. ( ( x e. A |-> R ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
74	56, 73	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , C , R ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
75		limccnp2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) )
76	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Y C_ CC )
77	76, 38	sseldd 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> S e. CC )
78	60, 61, 77, 72, 6	limcmpt 22265	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( ( x e. A |-> S ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
79	75, 78	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , D , S ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
80	65, 44, 44, 69, 74, 79	txcnp 20099	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) )
81	9	topontopi 19410	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. Top
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K tX K ) e. Top )
83		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) = ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. )
84	42, 83	fmptd 6040	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) )
85		toponuni 19406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) e. (TopOn ` ( A u. { B } ) ) -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
86	65, 85	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) )
87	86	feq2d 5708	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : ( A u. { B } ) --> ( X X. Y ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) ) )
88	84, 87	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) )
89		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) = U. ( K ↾t ( A u. { B } ) )
90	9	toponunii 19411	. . . . . . . 8 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
91	89, 90	cnprest2 19769	. . . . . . 7 |- ( ( ( K tX K ) e. Top /\ ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) : U. ( K ↾t ( A u. { B } ) ) --> ( X X. Y ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
92	82, 88, 13, 91	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( K tX K ) ) ` B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) ) )
93	80, 92	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B ) )
94	5	oveq2i 6292	. . . . . 6 |- ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) = ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) )
95	94	fveq1i 5857	. . . . 5 |- ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) = ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP ( ( K tX K ) ↾t ( X X. Y ) ) ) ` B )
96	93, 95	syl6eleqr 2542	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) )
97		iftrue 3932	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , C , R ) = C )
98		iftrue 3932	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> if ( x = B , D , S ) = D )
99	97, 98	opeq12d 4210	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. = <. C , D >. )
100		opex 4701	. . . . . . . 8 |- <. C , D >. e. _V
101	99, 83, 100	fvmpt 5941	. . . . . . 7 |- ( B e. ( A u. { B } ) -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
102	69, 101	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) = <. C , D >. )
103	102	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) = ( ( J CnP K ) ` <. C , D >. ) )
104	1, 103	eleqtrrd 2534	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) )
105		cnpco 19746	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP J ) ` B ) /\ H e. ( ( J CnP K ) ` ( ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ` B ) ) ) -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
106	96, 104, 105	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( H o. ( x e. ( A u. { B } ) |-> <. if ( x = B , C , R ) , if ( x = B , D , S ) >. ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
107	53, 106	eqeltrrd 2532	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) )
108	46	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> H : ( X X. Y ) --> CC )
109	108, 33, 38	fovrnd 6432	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R H S ) e. CC )
110	60, 61, 109, 72, 6	limcmpt 22265	. 2 |- ( ph -> ( ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) <-> ( x e. ( A u. { B } ) |-> if ( x = B , ( C H D ) , ( R H S ) ) ) e. ( ( ( K ↾t ( A u. { B } ) ) CnP K ) ` B ) ) )
111	107, 110	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( C H D ) e. ( ( x e. A |-> ( R H S ) ) lim CC B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   u. cun 3459   C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   <.cop 4020   U.cuni 4234   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   dom cdm 4989   o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   ↾_t crest 14800   TopOpenctopn 14801  ℂ_fldccnfld 18399   Topctop 19372  TopOnctopon 19373   CnP ccnp 19704   tX ctx 20039   lim CC climc 22244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cnp 19707  df-tx 20041  df-xms 20801  df-ms 20802  df-limc 22248

This theorem is referenced by:  dvcnp2  22301  dvaddbr  22319  dvmulbr  22320  dvcobr  22327  lhop1lem  22392  taylthlem2  22747