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Theorem limccnp 21364
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 18847 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C )  ->  C  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  U. J
)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  D )
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 20360 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
9 resttopon 18763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
115, 10syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
12 toponuni 18530 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  =  U. J )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  U. J
)
144, 13eleqtrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1514ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  D )
16 limccnp.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  F : A
--> D )
18 elun 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
19 elsni 3900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
2019orim2i 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  B )
)
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2322orcomd 388 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  =  B  \/  x  e.  A
) )
2423orcanai 904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
2517, 24ffvelrnd 5842 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( F `  x )  e.  D
)
2615, 25ifclda 3819 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  e.  D )
27 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
287a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
29 cnpf2 18852 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
3011, 28, 1, 29syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
3130feqmptd 5742 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  D  |->  ( G `
 y ) ) )
32 fveq2 5689 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3326, 27, 31, 32fmptco 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
34 fvco3 5766 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3517, 24, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
3635ifeq2da 3818 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
37 fvif 5700 . . . . . 6  |-  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( G `  ( F `  x ) ) )
3836, 37syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3938mpteq2dva 4376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
4033, 39eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) ) )
41 limccnp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
42 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
43 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )
44 fss 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> D  /\  D  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
4516, 8, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
46 fdm 5561 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> D  ->  dom  F  =  A )
4716, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
48 limcrcl 21347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
5049simp2d 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
5147, 50eqsstr3d 3389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5249simp3d 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5342, 6, 43, 45, 51, 52ellimc 21346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5441, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
556cnfldtop 20361 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5726, 43fmptd 5865 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D )
5852snssd 4016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5951, 58unssd 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
60 resttopon 18763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
617, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
62 toponuni 18530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6463feq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D ) )
6557, 64mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D )
66 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
677toponunii 18535 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. K
6866, 67cnprest2 18892 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D  /\  D  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6956, 65, 8, 68syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
7054, 69mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) )
715oveq2i 6100 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) )
7271fveq1i 5690 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B )
7370, 72syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
74 ssun2 3518 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
75 snssg 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7652, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7774, 76mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
78 iftrue 3795 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `
 x ) )  =  C )
7978, 43fvmptg 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  D )  ->  (
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8077, 14, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8180fveq2d 5693 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )
821, 81eleqtrrd 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `  B
) ) )
83 cnpco 18869 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) ) )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8473, 82, 83syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8540, 84eqeltrrd 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
86 eqid 2441 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )
87 fco 5566 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
8830, 16, 87syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
8942, 6, 86, 88, 51, 52ellimc 21346 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9085, 89mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3324    C_ wss 3326   ifcif 3789   {csn 3875   U.cuni 4089    e. cmpt 4348   dom cdm 4838    o. ccom 4842   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   ↾t crest 14357   TopOpenctopn 14358  ℂfldccnfld 17816   Topctop 18496  TopOnctopon 18497    CnP ccnp 18827   lim CC climc 21335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-fz 11436  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-rest 14359  df-topn 14360  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cnp 18830  df-xms 19893  df-ms 19894  df-limc 21339
This theorem is referenced by:  limcco  21366  dvcjbr  21421  dvcnvlem  21446
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