Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Unicode version

Theorem limccnp 22058
 Description: If the limit of at is and is continuous at , then the limit of at is . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f
limccnp.d
limccnp.k fld
limccnp.j t
limccnp.c lim
limccnp.b
Assertion
Ref Expression
limccnp lim

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9
2 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
32cnprcl 19540 . . . . . . . . 9
41, 3syl 16 . . . . . . . 8
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10 t
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12 fld
76cnfldtopon 21053 . . . . . . . . . . 11 TopOn
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11
9 resttopon 19456 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . . 10 t TopOn
115, 10syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9 TopOn
12 toponuni 19223 . . . . . . . . 9 TopOn
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8
144, 13eleqtrrd 2558 . . . . . . 7
1514ad2antrr 725 . . . . . 6
16 limccnp.f . . . . . . . 8
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7
18 elun 3645 . . . . . . . . . . 11
19 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12
2019orim2i 518 . . . . . . . . . . 11
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . 10
2221adantl 466 . . . . . . . . 9
2322orcomd 388 . . . . . . . 8
2423orcanai 911 . . . . . . 7
2517, 24ffvelrnd 6022 . . . . . 6
2615, 25ifclda 3971 . . . . 5
27 eqidd 2468 . . . . 5
287a1i 11 . . . . . . 7 TopOn
29 cnpf2 19545 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3011, 28, 1, 29syl3anc 1228 . . . . . 6
3130feqmptd 5920 . . . . 5
32 fveq2 5866 . . . . 5
3326, 27, 31, 32fmptco 6054 . . . 4
34 fvco3 5944 . . . . . . . 8
3517, 24, 34syl2anc 661 . . . . . . 7
3635ifeq2da 3970 . . . . . 6
37 fvif 5877 . . . . . 6
3836, 37syl6eqr 2526 . . . . 5
3938mpteq2dva 4533 . . . 4
4033, 39eqtr4d 2511 . . 3
41 limccnp.c . . . . . . 7 lim
42 eqid 2467 . . . . . . . 8 t t
43 eqid 2467 . . . . . . . 8
44 fss 5739 . . . . . . . . 9
4516, 8, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8
46 fdm 5735 . . . . . . . . . 10
4716, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 limcrcl 22041 . . . . . . . . . . 11 lim
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . 10
5049simp2d 1009 . . . . . . . . 9
5147, 50eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8
5249simp3d 1010 . . . . . . . 8
5342, 6, 43, 45, 51, 52ellimc 22040 . . . . . . 7 lim t
5441, 53mpbid 210 . . . . . 6 t
556cnfldtop 21054 . . . . . . . 8
5655a1i 11 . . . . . . 7
5726, 43fmptd 6045 . . . . . . . 8
5852snssd 4172 . . . . . . . . . . . 12
5951, 58unssd 3680 . . . . . . . . . . 11
60 resttopon 19456 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
617, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . 10 t TopOn
62 toponuni 19223 . . . . . . . . . 10 t TopOn t
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9 t
6463feq2d 5718 . . . . . . . 8 t
6557, 64mpbid 210 . . . . . . 7 t
66 eqid 2467 . . . . . . . 8 t t
677toponunii 19228 . . . . . . . 8
6866, 67cnprest2 19585 . . . . . . 7 t t t t
6956, 65, 8, 68syl3anc 1228 . . . . . 6 t t t
7054, 69mpbid 210 . . . . 5 t t
715oveq2i 6295 . . . . . 6 t t t
7271fveq1i 5867 . . . . 5 t t t
7370, 72syl6eleqr 2566 . . . 4 t
74 ssun2 3668 . . . . . . . 8
75 snssg 4160 . . . . . . . . 9
7652, 75syl 16 . . . . . . . 8
7774, 76mpbiri 233 . . . . . . 7
78 iftrue 3945 . . . . . . . 8
7978, 43fvmptg 5948 . . . . . . 7
8077, 14, 79syl2anc 661 . . . . . 6
8180fveq2d 5870 . . . . 5
821, 81eleqtrrd 2558 . . . 4
83 cnpco 19562 . . . 4 t t
8473, 82, 83syl2anc 661 . . 3 t
8540, 84eqeltrrd 2556 . 2 t
86 eqid 2467 . . 3
87 fco 5741 . . . 4
8830, 16, 87syl2anc 661 . . 3
8942, 6, 86, 88, 51, 52ellimc 22040 . 2 lim t
9085, 89mpbird 232 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   cun 3474   wss 3476  cif 3939  csn 4027  cuni 4245   cmpt 4505   cdm 4999   ccom 5003  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284  cc 9490   ↾t crest 14676  ctopn 14677  ℂfldccnfld 18219  ctop 19189  TopOnctopon 19190   ccnp 19520   lim climc 22029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cnp 19523  df-xms 20586  df-ms 20587  df-limc 22033 This theorem is referenced by:  limcco  22060  dvcjbr  22115  dvcnvlem  22140
 Copyright terms: Public domain W3C validator