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Theorem limccnp 22058
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
2 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 19540 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C )  ->  C  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  U. J
)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  D )
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 21053 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
9 resttopon 19456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
107, 8, 9sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
115, 10syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
12 toponuni 19223 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  =  U. J )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  U. J
)
144, 13eleqtrrd 2558 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1514ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  D )
16 limccnp.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
1716ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  F : A
--> D )
18 elun 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
19 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
2019orim2i 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  B )
)
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2221adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2322orcomd 388 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  =  B  \/  x  e.  A
) )
2423orcanai 911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
2517, 24ffvelrnd 6022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( F `  x )  e.  D
)
2615, 25ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  e.  D )
27 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
287a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
29 cnpf2 19545 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
3011, 28, 1, 29syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
3130feqmptd 5920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  D  |->  ( G `
 y ) ) )
32 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3326, 27, 31, 32fmptco 6054 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
34 fvco3 5944 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3517, 24, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
3635ifeq2da 3970 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
37 fvif 5877 . . . . . 6  |-  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( G `  ( F `  x ) ) )
3836, 37syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3938mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
4033, 39eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) ) )
41 limccnp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
42 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
43 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )
44 fss 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> D  /\  D  C_  CC )  ->  F : A --> CC )
4516, 8, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
46 fdm 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> D  ->  dom  F  =  A )
4716, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
48 limcrcl 22041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
5049simp2d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
5147, 50eqsstr3d 3539 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5249simp3d 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5342, 6, 43, 45, 51, 52ellimc 22040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5441, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
556cnfldtop 21054 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
5655a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5726, 43fmptd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D )
5852snssd 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5951, 58unssd 3680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
60 resttopon 19456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
617, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
62 toponuni 19223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6463feq2d 5718 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D ) )
6557, 64mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D )
66 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
677toponunii 19228 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. K
6866, 67cnprest2 19585 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D  /\  D  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6956, 65, 8, 68syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
7054, 69mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) )
715oveq2i 6295 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) )
7271fveq1i 5867 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B )
7370, 72syl6eleqr 2566 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
74 ssun2 3668 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
75 snssg 4160 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7652, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7774, 76mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
78 iftrue 3945 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `
 x ) )  =  C )
7978, 43fvmptg 5948 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  D )  ->  (
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8077, 14, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8180fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )
821, 81eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `  B
) ) )
83 cnpco 19562 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) ) )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8473, 82, 83syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8540, 84eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
86 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )
87 fco 5741 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
8830, 16, 87syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
8942, 6, 86, 88, 51, 52ellimc 22040 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
9085, 89mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677  ℂfldccnfld 18219   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    CnP ccnp 19520   lim CC climc 22029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cnp 19523  df-xms 20586  df-ms 20587  df-limc 22033
This theorem is referenced by:  limcco  22060  dvcjbr  22115  dvcnvlem  22140
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