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Theorem limccnp 22925
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
2 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 20338 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C )  ->  C  e.  U. J )
41, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  U. J
)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  D )
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
9 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
107, 8, 9sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
115, 10syl5eqel 2553 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
12 toponuni 20019 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  =  U. J )
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  U. J
)
144, 13eleqtrrd 2552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1514ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  D )
16 limccnp.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
1716ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  F : A
--> D )
18 elun 3565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
19 elsni 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
2019orim2i 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  B )
)
2118, 20sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2221adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2322orcomd 395 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  =  B  \/  x  e.  A
) )
2423orcanai 927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
2517, 24ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( F `  x )  e.  D
)
2615, 25ifclda 3904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  e.  D )
27 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
287a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
29 cnpf2 20343 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
3011, 28, 1, 29syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
3130feqmptd 5932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  D  |->  ( G `
 y ) ) )
32 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3326, 27, 31, 32fmptco 6072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
34 fvco3 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3517, 24, 34syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
3635ifeq2da 3903 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
37 fvif 5890 . . . . . 6  |-  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( G `  ( F `  x ) ) )
3836, 37syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3938mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
4033, 39eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) ) )
41 limccnp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
42 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
43 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )
4416, 8fssd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
45 fdm 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> D  ->  dom  F  =  A )
4616, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
47 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4948simp2d 1043 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
5046, 49eqsstr3d 3453 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5148simp3d 1044 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5242, 6, 43, 44, 50, 51ellimc 22907 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5341, 52mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
546cnfldtop 21882 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
5554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5626, 43fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D )
5751snssd 4108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5850, 57unssd 3601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
59 resttopon 20254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
607, 58, 59sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
61 toponuni 20019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6362feq2d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D ) )
6456, 63mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D )
65 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
667toponunii 20024 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. K
6765, 66cnprest2 20383 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D  /\  D  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6855, 64, 8, 67syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6953, 68mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) )
705oveq2i 6319 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) )
7170fveq1i 5880 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B )
7269, 71syl6eleqr 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
73 ssun2 3589 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
74 snssg 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7551, 74syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7673, 75mpbiri 241 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
77 iftrue 3878 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `
 x ) )  =  C )
7877, 43fvmptg 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  D )  ->  (
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
7976, 14, 78syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8079fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )
811, 80eleqtrrd 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `  B
) ) )
82 cnpco 20360 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) ) )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8372, 81, 82syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8440, 83eqeltrrd 2550 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
85 eqid 2471 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )
86 fco 5751 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
8730, 16, 86syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
8842, 6, 85, 87, 50, 51ellimc 22907 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
8984, 88mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    CnP ccnp 20318   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  limcco  22927  dvcjbr  22982  dvcnvlem  23007
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