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Theorem limccnp 22461
Description: If the limit of  F at  B is  C and  G is continuous at  C, then the limit of  G  o.  F at  B is  G ( C ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
limccnp.d  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
limccnp.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
limccnp.j  |-  J  =  ( Kt  D )
limccnp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
limccnp.b  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
Assertion
Ref Expression
limccnp  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 C ) )
2 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
32cnprcl 19913 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  C )  ->  C  e.  U. J )
41, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  U. J
)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( Kt  D )
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtopon 21456 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
9 resttopon 19829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
107, 8, 9sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
115, 10syl5eqel 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  D ) )
12 toponuni 19595 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  =  U. J )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  U. J
)
144, 13eleqtrrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1514ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  x  =  B )  ->  C  e.  D )
16 limccnp.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> D )
1716ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  F : A
--> D )
18 elun 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } ) )
19 elsni 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  ->  x  =  B )
2019orim2i 516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { B } )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  B )
)
2118, 20sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2221adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  B
) )
2322orcomd 386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( x  =  B  \/  x  e.  A
) )
2423orcanai 911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  x  e.  A )
2517, 24ffvelrnd 6008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( F `  x )  e.  D
)
2615, 25ifclda 3961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  e.  D )
27 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
287a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
29 cnpf2 19918 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  D )  /\  K  e.  (TopOn `  CC )  /\  G  e.  (
( J  CnP  K
) `  C )
)  ->  G : D
--> CC )
3011, 28, 1, 29syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : D --> CC )
3130feqmptd 5901 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  D  |->  ( G `
 y ) ) )
32 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3326, 27, 31, 32fmptco 6040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
34 fvco3 5925 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
3517, 24, 34syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  -.  x  =  B
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
3635ifeq2da 3960 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
37 fvif 5859 . . . . . 6  |-  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( G `  ( F `  x ) ) )
3836, 37syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
)  =  ( G `
 if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )
3938mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  ( G `  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) ) )
4033, 39eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) ) )
41 limccnp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F lim
CC  B ) )
42 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  =  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )
43 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )
4416, 8fssd 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
45 fdm 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> D  ->  dom  F  =  A )
4616, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
47 limcrcl 22444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4841, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
4948simp2d 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
5046, 49eqsstr3d 3524 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5148simp3d 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5242, 6, 43, 44, 50, 51ellimc 22443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
5341, 52mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) )
546cnfldtop 21457 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
5554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5626, 43fmptd 6031 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D )
5751snssd 4161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { B }  C_  CC )
5850, 57unssd 3666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  C_  CC )
59 resttopon 19829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A  u.  { B } )  C_  CC )  ->  ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
607, 58, 59sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) ) )
61 toponuni 19595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  e.  (TopOn `  ( A  u.  { B } ) )  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) )
6362feq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : ( A  u.  { B } ) --> D  <-> 
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D ) )
6456, 63mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D )
65 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  = 
U. ( Kt  ( A  u.  { B }
) )
667toponunii 19600 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. K
6765, 66cnprest2 19958 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) : U. ( Kt  ( A  u.  { B } ) ) --> D  /\  D  C_  CC )  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  K
) `  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6855, 64, 8, 67syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
)  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) ) )
6953, 68mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B ) )
705oveq2i 6281 . . . . . 6  |-  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J )  =  ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  ( Kt  D ) )
7170fveq1i 5849 . . . . 5  |-  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  J ) `  B )  =  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B }
) )  CnP  ( Kt  D ) ) `  B )
7269, 71syl6eleqr 2553 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
) )
73 ssun2 3654 . . . . . . . 8  |-  { B }  C_  ( A  u.  { B } )
74 snssg 4149 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7551, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( A  u.  { B } )  <->  { B }  C_  ( A  u.  { B } ) ) )
7673, 75mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A  u.  { B }
) )
77 iftrue 3935 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `
 x ) )  =  C )
7877, 43fvmptg 5929 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( A  u.  { B }
)  /\  C  e.  D )  ->  (
( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
7976, 14, 78syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B )  =  C )
8079fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) )  =  ( ( J  CnP  K ) `  C ) )
811, 80eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `  B
) ) )
82 cnpco 19935 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
J ) `  B
)  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) `
 B ) ) )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8372, 81, 82syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  (
x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  C ,  ( F `  x ) ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
8440, 83eqeltrrd 2543 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B , 
( G `  C
) ,  ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP  K ) `  B ) )
85 eqid 2454 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  u.  { B } )  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F
) `  x )
) )  =  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )
86 fco 5723 . . . 4  |-  ( ( G : D --> CC  /\  F : A --> D )  ->  ( G  o.  F ) : A --> CC )
8730, 16, 86syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : A --> CC )
8842, 6, 85, 87, 50, 51ellimc 22443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  C )  e.  ( ( G  o.  F
) lim CC  B )  <->  ( x  e.  ( A  u.  { B }
)  |->  if ( x  =  B ,  ( G `  C ) ,  ( ( G  o.  F ) `  x ) ) )  e.  ( ( ( Kt  ( A  u.  { B } ) )  CnP 
K ) `  B
) ) )
8984, 88mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( G `  C
)  e.  ( ( G  o.  F ) lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    C_ wss 3461   ifcif 3929   {csn 4016   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615   Topctop 19561  TopOnctopon 19562    CnP ccnp 19893   lim CC climc 22432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cnp 19896  df-xms 20989  df-ms 20990  df-limc 22436
This theorem is referenced by:  limcco  22463  dvcjbr  22518  dvcnvlem  22543
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