MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccl Structured version   Unicode version

Theorem limccl 22387
Description: Closure of the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limccl  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC

Proof of Theorem limccl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 22386 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
2 eqid 2396 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( dom  F  u.  { B } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( dom  F  u.  { B } ) )
3 eqid 2396 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3limcfval 22384 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F lim
CC  B )  =  { y  |  ( z  e.  ( dom 
F  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B , 
y ,  ( F `
 z ) ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( dom  F  u.  { B } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  B ) }  /\  ( F lim CC  B )  C_  CC ) )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
( F lim CC  B
)  =  { y  |  ( z  e.  ( dom  F  u.  { B } )  |->  if ( z  =  B ,  y ,  ( F `  z ) ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( dom  F  u.  { B } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  B
) }  /\  ( F lim CC  B )  C_  CC ) )
65simprd 461 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F lim CC  B )  C_  CC )
7 id 22 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  ( F lim CC  B
) )
86, 7sseldd 3435 . 2  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  CC )
98ssriv 3438 1  |-  ( F lim
CC  B )  C_  CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   {cab 2381    u. cun 3404    C_ wss 3406   ifcif 3874   {csn 3961    |-> cmpt 4442   dom cdm 4930   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   ↾t crest 14851   TopOpenctopn 14852  ℂfldccnfld 18556    CnP ccnp 19835   lim CC climc 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932  df-limc 22378
This theorem is referenced by:  ellimc2  22389  limcres  22398  limcco  22405  limciun  22406  limcun  22407  dvfval  22409  dvcl  22411  lhop1lem  22522  mullimc  31827  limcdm0  31829  limccog  31831  mullimcf  31834  limcperiod  31839  limcrecl  31840  limcleqr  31855  neglimc  31858  addlimc  31859  limclner  31862  sublimc  31863  reclimc  31864  divlimc  31867  cncfiooicclem1  31901  cncfiooicc  31902  itgioocnicc  31981  iblcncfioo  31982  fourierdlem60  32154  fourierdlem61  32155  fourierdlem73  32167  fourierdlem74  32168  fourierdlem75  32169  fourierdlem81  32175  fourierdlem103  32197  fourierdlem104  32198  fourierdlem112  32206
  Copyright terms: Public domain W3C validator