MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlsubg Structured version   Unicode version

Theorem lidlsubg 17296
Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lidlcl.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
lidlsubg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)

Proof of Theorem lidlsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lidlcl.u . . . 4  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2lidlss 17290 . . 3  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
5 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
62, 5lidl0cl 17293 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  R )  e.  I )
7 ne0i 3642 . . 3  |-  ( ( 0g `  R )  e.  I  ->  I  =/=  (/) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  =/=  (/) )
9 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
102, 9lidlacl 17294 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  I )
1110anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U
)  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  I )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I )
1211ralrimiva 2798 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  A. y  e.  I  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  I
)
13 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
142, 13lidlnegcl 17295 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  I )  ->  (
( invg `  R ) `  x
)  e.  I )
15143expa 1187 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( invg `  R ) `
 x )  e.  I )
1612, 15jca 532 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  I
)  ->  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( invg `  R
) `  x )  e.  I ) )
1716ralrimiva 2798 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  I  ( A. y  e.  I  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  I  /\  ( ( invg `  R
) `  x )  e.  I ) )
18 rnggrp 16649 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  R  e.  Grp )
201, 9, 13issubg2 15695 . . 3  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  (SubGrp `  R )  <->  ( I  C_  ( Base `  R
)  /\  I  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  I 
( A. y  e.  I  ( x ( +g  `  R ) y )  e.  I  /\  ( ( invg `  R ) `  x
)  e.  I ) ) ) )
224, 8, 17, 21mpbir3and 1171 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  e.  (SubGrp `  R )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   +g cplusg 14237   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409   invgcminusg 15410  SubGrpcsubg 15674   Ringcrg 16644  LIdealclidl 17250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-lidl 17254
This theorem is referenced by:  2idlcpbl  17315  divs1  17316  divsrhm  17318  divscrng  17321  zndvds  17981
  Copyright terms: Public domain W3C validator